Comme on l’a vu, l’utilisation directe de m´ethodes classiques de reconstruction permet de retrouver la topographie de motifs vari´es, tant que les images SEM ne sont pas trop entach´ees d’artefacts ´electroniques. Cependant, lorsque l’on veut utiliser ces m´ethodes sur des motifs de tr`es petites tailles (qui sont aujourd’hui la norme en micro´electronique), on ne peut plus se soustraire `a la compr´ehension de ces artefacts de mani`ere `a les prendre en compte lors de la reconstruction. Pour cela des mod`eles physiques bas´es sur des m´ethodes dites ”Monte Carlo” (ainsi nomm´ees `a cause de l’utilisation de techniques probabilistes pour la r´esolution du probl`eme) ont ´et´e d´evelopp´es dans le but de pouvoir simuler une image SEM.
Le mod`ele physique JMONSEL
Il existe diff´erents programmes permettant de r´ealiser des simulations Monte Carlo (Casino, Electron Flight Simulation, Win X-Ray ...), mais le plus connu dans le milieu de la micro´electronique est celui d´evelopp´e notamment par J.Villarrubia du NIST (National Institute of Standards and Technology) : JMONSEL (Java MONte Carlo simulator for Secondary ELectrons) [41] [42].
Pour simuler la formation d’une image SEM, il faut simuler le parcours des ´electrons dans la mati`ere. JMONSEL ne fait pas une r´esolution exacte du probl`eme car les ´electrons sont trait´es ind´ependamment les uns des autres, il n’y a donc pas d’effets li´es au temps comme par exemple les effets d’accumulation de charges pouvant conduire `a des distorsions dans les images SEM `a cause de la r´epulsion coulombienne entre particules de mˆeme charge.
Figure 2.10 – R´esultat JMONSEL pour la trajectoire de 200 ´electrons envoy´es en un point d’un motif en silicium de type ligne de 150nm de hauteur et 88◦ de SWA (en bleu) avec une ´
energie incidente de 800eV et un spot size de 0,5nm. Les ´electrons du faisceau incident ne sont pas repr´esent´es. Les lignes rouges correspondent aux trajets des ´electrons en dehors du mat´eriau (soit vers le d´etecteur, soit r´e-entrants dans le mat´eriau). Les lignes noires correspondent aux trajets des ´electrons dans le mat´eriau.
Le mod`ele va calculer pour chaque ´electron son d´eplacement sans interaction dans la mati`ere tel que la probabilit´e de non diffusion ´evolue en e−γx, avec x la distance parcourue par l’´electron et γ le taux de diffusion (d´ependant du mat´eriau et de la section efficace elle mˆeme
d´ependante de l’´energie des ´electrons). La distance moyenne parcourue sans interaction par l’´electron, appel´ee le libre parcours moyen est ´egale `a 1/γ [41].
Entre chacun de ces d´eplacements, l’´electron subit l’une des interactions physiques possibles en fonction de la probabilit´e d’occurrence de cette interaction, jusqu’`a ce qu’il ait perdu toute son ´
energie (pi´eg´e dans la mati`ere) ou qu’il se soit ´echapp´e de la mati`ere.
Les interactions in´elastiques engendrent une perte d’´energie de l’´electron, mais la prise en compte de toutes les interactions in´elastiques possibles ´etant impossible (notamment celles dont le transfert d’´energie est faible), cette perte d’´energie est ramen´ee `a une fonction de perte d’´energie continue en fonction de la distance parcourue [43] [42]. La perte d’´energie li´ee `a une interaction in´elastique peut produire des ´electrons secondaires dont le parcours sera ´egalement ´
etudi´e.
Il existe diff´erents mod`eles physiques utilisables avec JMONSEL dont les principales diff´erences proviennent des approximations du traitement des sections efficaces, de la g´en´eration des ´
electrons secondaires, des propri´et´es des mat´eriaux, du traitement des ph´enom`enes de diffusion aux interfaces... [42].
Pour fonctionner ce programme va prendre en entr´ee :
— La taille de la zone d’analyse (x,y) ainsi que la topographie et les mat´eriaux de la zone `
a analyser.
— Les informations sur la physique des mat´eriaux ainsi que les ph´enom`enes physiques (et leur mod`ele associ´e) que l’on va prendre en compte pour ce mat´eriau. Exemple : Pour des simulations `a faible acc´el´eration des ´electrons on pr´ef`ere utiliser le mod`ele physique de Mott pour le calcul des sections efficaces, qui est plus pr´ecis dans ces conditions que le mod`ele classique de Rutherford, car prenant en compte des effets quantiques.
— La taille d’un pixel et le nombre d’´electrons envoy´es par pixel.
— L’´energie des ´electrons envoy´es et ´eventuellement (ce sera important pour mon travail) l’angle d’incidence des ´electrons sur l’´echantillon.
— Le diam`etre du faisceau d’´electrons au niveau de l’´echantillon (spot size).
— La surface de r´ecup´eration des ´electrons s’´echappant du mat´eriau. Pour simuler un d´etecteur d’´electrons secondaires, on prendra ici en g´en´eral une demi-sh`ere au dessus de l’´echantillon pour simuler le champ ´electrique qui ram`ene la majorit´e des ´electrons secondaires vers le d´etecteur.
A partir de ces param`etres d’entr´ee, l’analyse permet de trouver le nombre d’´electrons col- lect´es par le d´etecteur en chaque pixel analys´e, permettant de tracer en chaque pixel le rendement ´
electronique (rapport du nombre d’´electrons envoy´es sur le nombre d’´electrons collect´es) comme pr´esent´e en Fig 2.11. La courbe pr´esent´ee correspond au niveau de gris (en relatif) de l’image SEM qui sera obtenue si on analyse ce motif dans les conditions pr´ecis´ees en param`etres d’entr´ee. Lorsque l’on fait une analyse d’un motif dont la forme ne varie pas dans une direction (comme une ligne invariante selon l’axe y tel que pr´esent´ee en Fig 2.11), il est ´equivalent de simuler A lignes en envoyant B ´electrons par pixel que de simuler une ligne en envoyant A × B ´electrons par pixel. De mani`ere g´en´erale, plus un motif (voire mˆeme le proc´ed´e en g´en´eral) pr´esentera de sym´etries plus on pourra simplifier l’analyse. Par exemple sur la Fig2.11, la ligne poss`ede un axe de sym´etrie selon l’axe y ce qui nous aurait permis de simuler seulement la moiti´e du profil et donc diviser par deux le temps de calcul.
JMONSEL est un logiciel tr`es puissant mais son principal d´esavantage est sa lenteur ; en effet pour tracer une ligne avec des conditions suffisantes de pr´ecision, il faut simuler un grand nombre de trajectoires d’´electrons ce qui entraine un temps de calcul important, devenant critique si l’on souhaite simuler une zone 2D enti`ere, d’o`u l’utilit´e de simplifier le probl`eme en fonction des sym´etries.
Pour acc´el´erer le processus on peut utiliser des outils de calcul plus performants, comme par exemple r´ealiser les calculs en parall`ele sur plusieurs cœurs (multi-thread), ou encore comme
−100 −50 0 50 100 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 Re nd em en t e lec tro niq ue
Simulation JMONSEL : CDtop = 100nm, SWA = 88de , h = 150nm
JMONSEL −100 −50 0 50 100 , (nm) 0 25 50 75 100 125 150 z ( nm ) Topography
Figure 2.11 – R´esultat JMONSEL de la simulation d’une ligne (en haut) dont la vue en coupe est repr´esent´ee dans le cadre inf´erieur (Attention : Proportion (x,z) non conserv´ee pour pouvoir utiliser le mˆeme axe x). On observe facilement l’effet de flanc, c’est `a dire la forte probabilit´e de sortie des ´electrons dˆue aux flancs du motif.
pr´esent´e dans [44] o`u est propos´ee une r´esolution par utilisation de la puissance de calcul des GPU.
2.5.1 Les mod`eles compacts
Une alternative est d’utiliser d’autres mod`eles qui traiteront le probl`eme `a un niveau plus ”haut”, c’est `a dire ne pas r´esoudre le probl`eme ´electron par ´electron mais simuler le com- portement g´en´eral de la poire d’interaction ´electronique. C’est notamment la m´ethode qu’avait propos´e Nyyssonen [45] grˆace au calcul d’une fonction de densit´e de probabilit´e.
Figure 2.12 – Gauche : Fonction de densit´e de probabilit´e calcul´ee par JMONSEL pour une ´
energie de 500eV. Droite : Comparaison entre le r´esultat JMONSEL et la m´ethode de Nyyssonen sur une topographie pour une ´energie de 2500eV [46].
probabilit´e trouv´ee grˆace `a JMONSEL sur un tr`es grand nombre d’´electrons pour une ´energie et un mat´eriau donn´e (gauche de la Fig 2.12). Il a alors ´et´e montr´e que l’application de cette fonction de densit´e de probabilit´e appliqu´ee sur la topographie d’un motif permettait d’obtenir un r´esultat coh´erent avec JMONSEL (droite de la Fig 2.12). Les courbes obtenues par cette m´ethode sont tr`es lisses compar´ees `a celles obtenues par JMONSEL car elles se comportent comme si un nombre tr`es important d’´electrons ayant toujours exactement les mˆemes interactions avait ´et´e envoy´e en tout point de la topographie.
Seeger [47] propose quant `a lui une m´ethode interm´ediaire pour acc´el´erer la m´ethode JMON- SEL. Il pr´e-calcule des trajectoires d’´electrons dans un mat´eriau massif qui seront ensuite ”coll´ees” sur la topographie pour une ´energie et un mat´eriau donn´e ´egalement. Il peut ainsi `
a la fois obtenir la rapidit´e tout en gardant une part d’al´eatoire car il pourra par exemple utiliser 10000 trajectoires choisies al´eatoirement parmi le million pr´e-calcul´e en chaque point.
Figure 2.13 – Exemple de trajectoire pr´e-calcul´ee (gauche) dans un volume infini de mat´eriau (en gris) et sa trajectoire correspondante retrac´ee sur une topographie particuli`ere (droite) [47].
L’autre avantage des mod`eles compacts, c’est qu’il est possible `a partir de cette r´esolution du probl`eme dit ”direct” d’essayer de r´esoudre le probl`eme dit ”inverse”, c’est `a dire de partir de l’image (ou des images) SEM pour en d´eduire la topographie.