Cette dernière partie aborde la résolution du problème de mécanique défini à l’équa- tion 5.21 associée aux lois de comportement caractérisées sur les renforts de l’étude. Sera premièrement présenté l’algorithme de Newton-Raphson utilisé pour résoudre le problème non-linéaire. Puis, un cas test de simulation permettra de vérifier la bonne im- plémentation et résolution du problème.
5.4 Simulation du comportement des préformes 129
5.4.1 Résolution du problème avec un algorithme de Newton-Raphson
Principe de la méthode
En utilisant l’équation 5.21, le résidu de la formulation Lagrangienne totale R(u, w) est défini par :
R(u, w) =< S(u), ˙E(w) >Ω0− < F S(u)N , w >∂Ω0,N − < J f, w >Ω0 ,∀w ∈ H
1
0(Ω) (5.36)
et représente la différence entre les efforts internes et les efforts externes représentés sur la configuration initiale du problème. On peut remarquer que ce problème peut faire intervenir des non linéarités associées aux matériaux mais également des non linéarités dites géométriques associées à l’évolution des chargements externes en fonction du dé- placement de la géométrie. Pour résoudre ce problème, l’algorithme de Newton-Raphson piloté en force et implémenté dans le code Z-set est utilisé. En partant de l’état initial défini par (u0, w), la résolution est basée sous la forme d’un algorithme de prédiction-
correction. La correction δu recherchée est exprimée à partir d’un développement limité
de Taylor du premier ordre s’écrivant :
R(u0+δu, w) ≈ R(u0, w) + ∂R(u0, w)
∂u δu =0 (5.37)
où la correction δu est alors définie par : δu =− ∂R(u0, w)
∂u !−1
R(u0, w) (5.38)
Cette correction permet alors de définir un nouvel état (u1, w) = (u0 +δu, w) associé à
un nouveau résidu R(u1, w). La correction δu n’étant pas exacte alors R(u1, w) , 0. Il
est donc nécessaire de reproduire la procédure de manière itérative de manière à réduire progressivement le résidu R(uk,w) (avec k l’itération considérée ). Un critère d’arrêt doit
être défini pour stopper le système itératif. Dans le code Z-Set, le critère de convergence utilisé défini tel que |R(uk,w)|
|Fext,k| <10
−3où Fext,kreprésente le vecteur force généralisé associé
à l’ensemble des conditions aux limites imposées au système à l’itération k.
Figure 5.12: Représentation du comportement associé à la méthode de Newton-Raphson [30].
Limitation de la méthode
En règle générale, la résolution d’un problème avec un pilotage en force, tel que l’al- gorithme de Newton-Raphson présenté, convient bien tant que les forces internes du sys- tèmes sont des fonctions régulières du déplacement (sans phénomène de rigidification important). Comme le présente la figure 5.13, ces comportements ne concernent qu’une minorité de cas et d’autres modes de pilotages ont donc été développés. Par exemple, si la
Figure 5.13: Différents types de réponses mécaniques selon Besson & al [186]: (a) charge croissante avec couple unique dans tous les cas. (b) courbe charge déplacement avec charge limite présentant plusieurs solutions pour une charge donnée. (c) courbe charge déplacement avec rebroussement en déplacement présentant plusieurs solutions en charge pour un déplacement donné.
réponse du système présente une limite en charge, un pilotage en déplacement est à privi- légier. En revanche, s’il existe des points de rebroussement ou des bifurcations, il convient d’utiliser des modes de pilotages mixtes en chargement-déplacement [187]. Ces derniers sont très performants pour suivre des chemins de chargement présentant des accidents de type bifurcations ou rebroussements. Néanmoins, ces méthodes sont difficiles à utiliser dès qu’il s’agit d’atteindre un état de chargement défini [188].
Compte tenu du caractère fortement rigidifiant des préformes et de l’espace de dé- finition restreint du modèle de Gutowski (comportement asymptotique du modèle) les simulations pouvant être réalisées avec un algorithme classique de type Newton-Raphson ont montré des problèmes de convergence importants. D’autres méthodes de résolution pourraient être envisagées mais n’ont pas été testées dans ces travaux.
Tenant compte de ces difficultés, même si le modèle de Gutwoski présente une plus grande capacité à représenter le comportement des préformes, le choix s’est orienté ici sur le modèle polynomial d’ordre 3 modélisé sur la phase de charge uniquement. La fonction étant régulière et non bornée dans l’espace des déformations, l’utilisation d’un algorithme de Newton-Raphson est alors bien adapté. Ce choix a également également été motivé par le fait que le cycle de charge (bien représenté par ce modèle), permet de majorer l’effet du gonflement dans le procédé. C’est donc ce comportement qui sera simulé dans la suite de l’étude.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1 σ2 2 (Mpa)
Epaisseur adimensionnée (e/e0)
Mesure par LVDT Simulation 1 0 0,5 1 1,5 2 Epaisseur ad im en sionnée (e /e 0 ) T emps (s) Simulation (a) (b)
Figure 5.15: Évolution de l’épaisseur de la préforme en fonction de la contrainte (a) et du temps (b).
5.5 Conclusion
Ce chapitre a permis d’établir le cadre numérique utilisé pour traiter les grandes dé- formations des préformes pendant l’infusion. A partir d’une courbe expérimentale, un comportement transverse des préformes a été reproduit numériquement par le biais d’une mesure de déformation de Green-Lagrange conjuguée au second tenseur des contraintes de Piola-Kirchoff. La distinction du comportement sec et humide des préformes est modé- lisé par un modèle Terzaghi. Ce dernier représente l’interaction fluide-structure par le biais de la contrainte hydrostatique imposée par le fluide. La caractérisation des préformes a montré que de nombreux enjeux et problématiques sont encore associés à la modélisation du comportement transverse des préformes. Des incertitudes persistent sur la définition de l’épaisseur des préformes lorsqu’elles ne sont pas contraintes. Enfin, la simulation des lois de comportement montre de nombreuses limitations associées au mode de pilotage. En effet, le comportement très fortement rigidifiant des préformes peut engendrer des problèmes numériques pour converger vers la solution. Dans les simulations réalisées, un algorithme de Newton-Raphson est utilisé pour piloter le problème en contrainte mais a nécessité d’utiliser une loi de comportement moins représentative des essais. Au regard des hypothèses posées, la modélisation du comportement des préformes reste limitée à une première approche de ces phénomènes dans la simulation du procédé mais permet de représenter convenablement un essai expérimental.
6
Simulation du procédé de fabrication
par infusion
Sommaire