4.3 Cas tests de validation
4.3.3 Remplissage bi-dimensionnel orthotrope : cas d’une injection cen-
Le dernier cas test proposé a pour objectif de valider les outils numériques, en asso- ciant le couplage Stokes-Darcy à un front de fluide mobile. Il n’existe pas de solution analytique simple d’un tel couplage dans un contexte orthotrope instationnaire. Dans ces conditions, la simulation proposée concerne une injection centrale orthotrope plus clas- sique. La solution analytique est issue d’une résolution du problème de Darcy dans un convergent 2D (en annexe B.2.2). La solution analytique est obtenue de manière similaire à la solution stationnaire orthotrope 3D utilisée dans la section 3.2.3. Cette solution repose sur la transformation d’un système de coordonnées elliptique en un système cylindrique (annexe B.2.2) grâce à la transformation :
rx ry = s Kx Ky (4.38)
avec Kx et Ky les perméabilités dans les directions x et y correspondant au repère ma-
tériau. Sous réserve d’une buse d’injection elliptique de rapport rx
ry =
qK
x
Ky, il existe alors
deux solutions indépendantes, définissant l’évolution du front de fluide dans les directions principales du système : rx,t rx,0 2 h2 ln rx,t rx,0 − 1− 1i = 4 K(1−tv f )ηx (Pf−Pi) t ry,t ry,0 2 h2 ln ry,0 ry,0 − 1− 1i = 4 K(1−tv f )ηy(Pf−Pi) t (4.39) Cette solution est obtenue pour des conditions aux limites en pression imposées entre la buse d’entrée située à ri,0et le front de fluide à ri,t(i = x, y) notées respectivement Pf et Pi.
Afin de se rapprocher des conditions dans laquelle est définie la solution analytique, la figure 4.10 schématise l’analogie considérée. Le couplage Stokes-Darcy décrit ici l’écou- lement dans une buse d’entrée puis dans la préforme. Les écarts à la solution numérique sont alors :
— la modélisation de la buse d’entrée décrite par un modèle de Stokes, et donc non définie par la solution analytique.
— les conditions aux limites qui sont imposées sur le bord du domaine et non directe- ment sur la buse d’entrée (ri,0) et le front de fluide (ri,t).
Toutefois, comme le montre la figure 4.10 (b), les pertes de charge dans le domaine de Stokes et dans les parties non imprégnées du domaine de Darcy sont faibles et peuvent- être négligées. Dans ces conditions, il serait alors possible d’initialiser le front de fluide exactement sur l’interface Stokes-Darcy pour se placer dans des conditions très proches du cas analytique. Dans la simulation proposée, le front de fluide est initialisé dans la zone de Stokes permettant alors d’appréhender l’interaction front de fluide/interface Stokes-Darcy
pendant l’écoulement.
Figure 4.10: Représentation de l’écoulement bidirectionnel utilisé pour le cas test de crois- sance de l’ellipse. Paramètres Valeurs Perméabilité K ηr (×10 −13m2) " 1, 5 0 0 0, 3 #
Taux volumique de fibre associé au domaine de Darcy (tv f ) 0,5 Viscosité de l’air ηa(Pa.s) 10−5
Évolution des propriétés rhéologiques Hf Hsin
Séparation des domaines Stokes-Darcy Hd et Hs Hlinou SLR
Paramètre de bande ǫH 3he
Taille de maille he (m) 5.10−4
Tableau 4.4: Paramètres du problème Stokes-Darcy pour les cas tests de validation.
Le tableau 4.4 rassemble les paramètres de simulation utilisés pour ce cas test. Deux simulations ont été réalisées, la première avec une séparation des domaines Stokes-Darcy par approche continue et la seconde par la méthode SLR. Le choix de la fonction continue Hlinpour la séparation des domaines de Stokes et de Darcy est ici motivé par les travaux
antérieurs réalisés par L. Abou Orm [57] utilisant cette définition. La figure 4.11 présente l’évolution du front de fluide à différents temps caractéristiques de l’injection. Sur cette figure, il est possible de comparer l’évolution du front de fluide en fonction de l’approche considérée. Dans l’approche SLR, on observe que le front de fluide, initialement circulaire
4.3 Cas tests de validation 105 se déplace pour devenir elliptique et superposé à l’interface Stokes-Darcy (en bleu). Au contraire, dans l’approche continue le front de fluide devient elliptique dès les premiers pas de temps, alors qu’il reste à une distance significative de l’interface bleu (mais dans la bande ±ǫH). Dans l’approche continue, la forme bruitée du front de fluide manifeste la
présence de vitesses parasites. Ces vitesses parasites peuvent engendrer une mauvaise re- présentation des phénomènes physiques (front de fluide à 3, 5 s 4.11 (a)) potentiellement néfastes au calcul. Ces phénomènes ne sont pas observés avec l’approche SLR ce qui montre que l’intégration exacte des modèles permet d’améliorer la stabilité du problème couplé.
Figure 4.11: Confrontation des résultats entre une approche continue (a) et une approche exacte (b) pour l’interface Stokes-Darcy.
La confrontation des courbes de remplissage du domaine de Darcy avec la solution analytique de l’équation 4.39 est proposée sur la figure 4.12 (cette solution est définie uniquement pour l’imprégnation dans le domaine de Darcy). Le temps de remplissage du domaine de Stokes étant négligeable devant le temps de remplissage du domaine de Darcy, il peut-être négligé dans le calcul de la solution analytique. La solution numérique associée à l’approche SLR montre que le remplissage du domaine de Stokes se fait en un temps d’environ 4 s pour ensuite présenter une très bonne corrélation avec les solutions analytiques dans chacune des directions principales. Les résultats numériques obtenus avec l’approche continue montrent un écart important pendant près de 1000 s. Cette solu- tion numérique présente alors un déphasage conséquent dû à l’interaction avec la largeur
4.4 Conclusion 107
4.4 Conclusion
La méthode utilisée pour capturer les interfaces est déterminante dans la représenta- tion et l’intégration des interfaces d’un modèle. Ce chapitre a premièrement été consacré à la présentation de la méthode Level-Set reposant sur la définition et la convection d’une fonction distance signée. Une fois doté d’une méthode de représentation des interfaces (front de fluide et interface Stokes-Darcy) la seconde partie de ce chapitre a permis de présenter l’approche monolithique considérée pour coupler les modèles de Stokes et de Darcy. Ce couplage étant réalisé sur un maillage non conforme et dont les interfaces sont représentées par des fonctions Level-Set, des traitements spécifiques ont été appliqués pour intégrer correctement les termes d’interfaces. Deux méthodes ont ainsi été propo- sées, la méthode continu et la méthode par reconstruction d’interface.
L’ensemble de ces outils a été validé sur des cas test. Les premiers ont permis de va- lider les étapes de convection et de réinitialisation des fonctions Level-Set. Sur un cas test simple mais sévère, l’intérêt de la réinitialisation a été démontré tout en limitant les risques de dégradation associés. Les autres cas tests on permis d’appréhender l’in- térêt d’une approche par reconstruction exacte pour intégrer les interfaces. En opposition avec une approche continue définissant une bande de diffusion, la reconstruction locale montre une meilleure intégration et une meilleure définition des interfaces aboutissant à un couplage plus stable. De plus, l’approche par reconstruction locale des interfaces permet d’envisager des traitements spécifiques (tels que des éléments finis enrichis) pour gérer des discontinuités dans le modèle. Pour le procédé, en vue de coupler les écoule- ments avec la déformation du renfort, il est alors nécessaire de modéliser, caractériser et simuler le comportement mécanique des préformes. Ces thématiques font l’objet du chapitre suivant.
5
Modélisation et
simulation du comportement mécanique
des préformes
Sommaire
5.1 Formulation du problème de mécanique des solides
5.2 Caractérisation du comportement méca- nique des préformes
5.3 Modélisation du comportement des préformes 5.4 Simulation du comportement des préformes 5.5 Conclusion
Introduction
Au cours du procédé d’élaboration par infusion, les préformes se déforment lors de la mise sous vide du système, lors de l’imprégnation des fibres par la résine ou encore durant l’étape de post-infusion. Pendant l’ensemble de ces étapes, l’état de déformation du renfort résulte d’un équilibre entre les forces suiveuses introduites par la pression at- mosphérique et la réponse mécanique modifiée par la pression du fluide dans le renfort. En fonction de l’état d’imprégnation du renfort et du niveau de vide, l’état d’équilibre est modifié et engendre une évolution de l’état de déformation du renfort. Ces déformations induisent des variations de l’épaisseur des pièces composites, des variations du taux vo- lumique de fibres à l’origine d’évolutions de la perméabilité des renforts, modifiant ainsi la vitesse de la résine au cours de l’infusion.
Afin de prendre en compte les déformations des préformes dans le procédé, cette partie aborde la modélisation, la caractérisation, et la simulation du comportement mécanique des renforts.
5.1 Formulation du problème de mécanique des solides
Pour pouvoir présenter et justifier les outils retenus pour la modélisation des déforma- tions mécaniques des préformes, il est nécessaire de réaliser quelques rappels des concepts de mécanique des milieux continus dans le cadre des grandes transformations.