Description du problème

Choix de la description

Dans le cadre de la mécanique des milieux continus, deux approches peuvent être utilisées pour décrire la forme et le mouvement d’un solide :

— la description Lagrangienne (ou matérielle), pour laquelle la démarche consiste à fixer son attention sur une particule déterminée (généralement une particule du mi- lieu initial non déformé), et son évolution est suivie dans l’espace au cours du temps. — la description Eulérienne (ou spatiale), cette approche consiste à fixer l’attention en un point déterminé de l’espace, et d’étudier les variations au cours du temps des grandeurs en ce point. Dans cette description, les grandeurs sont étudiées sans se préoccuper de l’identité des particules matérielles.

Contrairement à la mécanique des fluides pour laquelle une approche Eulérienne paraît naturelle, cette dernière est très peu utilisée en mécanique des solides car elle ne permet pas d’identifier les particules matérielles. Cette description introduit donc une difficulté supplémentaire dans la définition et le transport de variables d’état (propriétés « d’his- toire » du matériau par exemple). Une approche Lagrangienne est souvent préférée et a été adoptée dans ces travaux.

Expérimentalement, il paraît naturel de quantifier des phénomènes sur la pièce cou- rante observée (donc déformée). Cette approche constitue une vision Eulérienne du pro- blème. Ainsi, l’écriture Lagrangienne du problème, et la définition des lois de compor- tement associées, nécessitent de pouvoir faire le lien entre ces deux visions. Dans cette partie, seront présentés les outils permettant représenter les états de contraintes et de dé- formations sur la configuration courante et sur la configuration initiale (de référence).

Formules de transport

On considère un milieu déformable dont la configuration initiale est notée Ω0(et ∂Ω0

représente sa frontière) et la configuration au temps t est notée Ω (Figure 5.1). X et x re- présentent les positions respectives d’un point matériel sur la configuration initiale (noté M0) et courante (noté M), le vecteur déplacement de ce point est noté u. La description

Lagrangienne consiste à caractériser entre deux instants t0 et t l’évolution d’un point ma-

tériel M0subissant une transformation. La transformation du système entre les instants 0

et t est notée X(X, t). Ainsi la position des particules à l’instant t peut s’écrire :

x = X(X, t) ∀t > 0 (5.1)

Le tenseur gradient de déformation F (X, t) est utilisé afin de caractériser ce qui se passe localement, au voisinage d’un point X. Cette grandeur est définie par :

F = ∂X(X, t)

∂X =

∂x

∂X (5.2)

Son déterminant est noté J et s’écrit ainsi :

Pour tout tenseurs F inversible, il existe deux tenseurs symétriques U et V uniques et un unique tenseur orthogonal R tels que :

F = RU = V R (5.7)

U et V représentent des tenseurs d’élongations pures et R est alors un tenseur carac- térisant la rotation locale entre la configuration initiale et la configuration déformée. Toutefois, ces décompositions sont peu utilisées car coûteuses en nombre d’opérations [164, 165].

En utilisant la relation 5.4, la différence entre le produit scalaire de deux vecteurs unitaires de la configuration courante avec son image dans la configuration de référence s’écrit : dxT 1dx2− dX T 1dX2 = (F dX1) T_{F dX} 2− dX₁TdX2 = dX1T (F T_F − I) dX2 (5.8) Ce qui permet de faire apparaître deux tenseurs caractéristiques :

— Le tenseur des dilatations de Cauchy-Green gauche C défini par C = FT_F

— Le tenseur des déformations de Green-Lagrange E défini par E = 1

2(FTF − I)

On peut noter que ces tenseurs possèdent la même information mécanique que U , et notamment on montre que :

C = F FT = (RU )TRU = UTRTRU = UTU = U2 (5.9) Plus généralement, afin de quantifier la déformation du système, il est nécessaire de dé- finir une mesure permettant de caractériser l’écart entre un état déformé et un état initial. Hill [166] propose de généraliser ce concept en définissant une famille de tenseurs de déformations Lagrangiens notés Em_{et définis par :}

Em = ( 1

m(Um− I) si m , 0

ln U si m =0 (5.10)

où l’argument m permet de définir différents tenseurs de déformations caractéristiques tel que le tenseur des déformations de Green-Lagrange avec m = 2 (le tenseur appelé tenseur des déformations de Biot est obtenu avec m = 0, 5 ou encore le tenseur des dé- formations logarithmiques pour m = 0). L’ensemble de ces mesures contient la même information mécanique. Il s’agit alors d’être cohérent dans leur utilisation et la définition des contraintes conjuguées utilisées (au sens énergétique).

Enfin, il est également possible d’introduire la notion de taux de déformation. Dans une approche Lagrangienne, le tenseur des taux de déformation Lagrangien noté ˙Edécrit la vitesse de déformation du produit scalaire de deux vecteurs. De manière similaire à l’équation 5.8, il est possible d’écrire :

d dt(dxT1dx2) = _dtd((F dX1)TF dX2) = _dtd(dXT 1CdX2) = dXT 1 CdX˙ 2 (5.11)

ce qui permet d’établir que dE

5.1 Formulation du problème de mécanique des solides 113 être étudiée en fonction de variables eulériennes pour montrer que ˙E = FTDF où D correspond au taux de déformation Eulérien et est défini comme la partie symétrique du gradient de vitesse Eulérien.

Afin de décrire le comportement d’un matériau, la définition et la caractérisation des déformations ne sont suffisantes et doivent pouvoir être reliées à un état de contraintes.

Définition des contraintes

Par définition le tenseur des contraintes permet de caractériser les efforts d’interac- tion entre deux éléments. Le tenseur de Cauchy (ou tenseur des contraintes vraies), est une grandeur Eulérienne qui permet d’exprimer une force élémentaire df sur une facette élémentaire d’aire déformée ds et de normale n :

df = σnds (5.12)

Les contraintes ainsi définies ne peuvent être associées à un état de déformation Em_{, car}

ces grandeurs ne sont pas définies sur la même configuration matérielle. En utilisant les relations de transport définies à la section 5.1.1, il est possible de changer de configuration et ainsi définir d’autres expressions du tenseur des contraintes. Ainsi, le remplacement de ndsdans l’expression précédente permet d’obtenir :

df = σJF−T_{NdS = ΠN dS (5.13)}

où Π = σJF−T _{correspond au premier tenseur de Piola-Kirchoff. Il exprime une unité}

de force df sur la configuration courante par rapport à une unité de surface non-déformée dS. Même si les forces sont alors définies sur une la configuration initiale (tenseur La- grangien), cette définition des contraintes reste très peux utilisée car n’a pas réellement de sens physique. Alors, il est possible de transporter cette force élémentaire df en utilisant la relation 5.4. La relation ainsi établie s’écrit :

Fdf0 =ΠN dS ⇔ df0 =F−1ΠN dS = F−1ΠN dS = SN dS (5.14)

où S = F−1_{Π est le second tenseur des contraintes de Piola-Kirchoff. Il exprime une unité}

de force sur la configuration de référence, par unité de surface non-déformée. Énergéti- quement conjugué au tenseur des déformation de Green-Lagrange E, c’est ce tenseur qui sera utilisé pour établir la loi de comportement du matériau ainsi que la formulation varia- tionnelle utilisée pour résoudre le problème de mécanique des solides par une approche éléments finis.