Simulation aux éléments finis non linéaires

Nous simulons à présent la machine aux éléments finis non linéaires, en conservant la même géométrie qu’au chapitre 2 p114. La seule différence est la définition des propriétés magnétiques du stator, qui est désormais caractérisé par une courbe B(H) anhystérétique définie sur la Figure 132 p119, comme pour le modèle non linéaire par réluctances du paragraphe précédent.

Nous simulons une seule paire de pôles, avec des conditions aux limites périodiques. L’ensemble est ensuite entouré d’un volume d’air dépassant de 5mm partout autour. Nous rappelons ci-dessous la géométrie et le maillage utilisés ; deux éléments superposés sont imposés dans l’entrefer.

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0 1 2 3 4 5

Couple moyen = f(I)

[Nm]

Figure 162 Géométrie et maillage pour la simulation éléments finis

Nous reconnaissons le bobinage induit en orange, les aimants en bleu et rouge, le circuit magnétique du stator en gris foncé (SMC) et la culasse rotor en gris clair (fer).

Nous effectuons la simulation à vitesse constante de 60/14=4,29 tours par minute, correspondant à une fréquence électrique de 1Hz. Nous simulons une période électrique complète, 1s, avec un échantillonnage tous les 9°, soit 40 points dans la période. La première simulation est effectuée à vide, sans courant induit ; la figure ci-dessous représente la tension à vide simulée (force électromotrice).

Figure 163 Force électromotrice à 1Hz simulée en non-linéaire

La tension présente cette fois un contenu harmonique beaucoup plus marqué que pour la simulation linéaire. La dérivée est notamment fortement atténuée autour de 0° et de 180° (angles électriques), en raison de la forte saturation du matériau : le flux est quasiment constant à sa valeur extrême autour de ces positions. La valeur efficace de la tension à vide est de 261mV/Hz, soit 30% de moins que pour la simulation linéaire. Le flux induit maximal est de 0,05Wb, soit presque 40% inférieur à la simulation linéaire. Ce résultat est peu surprenant au vu de la forte saturation du circuit magnétique. Ce flux correspond à une moyenne d’induction maximale dans l’entrefer de 0,58T, ce qui est assez faible : les aimants sont sous-utilisés, le flux étant bridé par la saturation du circuit magnétique. La modélisation par réseau de réluctances donne une courbe de tension à vide de même forme, mais avec un flux maximal inférieur d’environ 20% : l’erreur est du même ordre de grandeur que pour les calculs en régime linéaire.

-600 -400 -200 0 200 400 600 0 60 120 180 240 300 360

Tension à vide à 4,29rpm

La figure ci-dessous représente l’induction pour le point de flux maximal, lorsque les aimants du rotor sont alignés sur les dents du stator.

Figure 164 Induction à vide en régime non linéaire

Nous constatons que les niveaux d’induction sont très élevés dans la base de la dent stator, avec une induction maximale simulée à 2,08T, qui est totalement saturée (correspondant à une excitation de 70kA/m). Ce point devra être observé en détail pour l’amélioration de la machine. Le flux est bloqué par ce bouchon, ce qui explique la perte de force électromotrice. Les niveaux d’induction sont comparables avec le calcul du modèle par réseau de réluctances, qui donnait une induction maximal de 2,04T dans le pied de dent.

Nous simulons ensuite le couple à vide, présenté sur la figure ci-dessous.

Figure 165 Couple à vide (simulation non-linéaire)

Le couple à vide est bien plus faible que pour la simulation linéaire en raison de la saturation du circuit magnétique. La valeur crête est ici 200mNm, soit le tiers de la simulation non-linéaire. Sa période est la moitié de la période électrique. Le couple à vide simulé par le modèle analytique est 20 fois plus

-250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250 0 60 120 180 240 300 360

Couple à vide

élevé, avec une pointe à 4Nm, une très forte surévaluation que nous retrouvions déjà dans les calculs en régime linéaire. Cet écart important reste inexpliqué à ce stade.

Nous simulons à présent le couple pour différents courants. Chaque courant est sinusoïdal, en phase avec la rotation du rotor (courant nul lorsque les aimants du rotor sont alignés sur les dents stator). Nous simulons sur une période électrique, à vitesse constante correspondant à 1Hz (fréquence électrique). La valeur efficace du courant varie de 0A à 5A, par pas de 0,2A ; 5A correspond à une densité de courant de 20A/mm² dans le cuivre, ce qui est un courant élevé applicable pendant quelques secondes. La figure ci-dessous présente les courbes de couple simulé en fonction du temps, sur une période électrique. Plus le couple est élevé, plus le courant est élevé (de 0 à 5A).

Figure 166 Couples en charge simulés en régime non linéaire

Nous constatons que la forme générale du couple est préservée, conforme à une machine synchrone monophasée, mais avec une amplitude bien plus faible qu’en régime linéaire. Le couple moyen est de 0,94Nm pour un courant efficace de 3A, soit 61% de pertes par rapport à la simulation linéaire ! L’amplitude pour ce même courant est de 2,3Nm, soit une perte de 50% par rapport au régime linéaire. Cet écart de diminution entre régime linéaire et non-linéaire nous indique que le spectre est également modifié. Il semble en effet sur la courbe du couple en régime non-linéaire ci-dessus que le couple que le maximum se situe autour de 70° et 240°, alors qu’il était autour de 90° et 270° pour le régime linéaire. Le couple entre 90° et 180° est plus faible qu’entre 0° et 90°, alors qu’il est strictement symétrique en régime linéaire. Ce phénomène est dû à l’effet du courant sur l’induction dans le stator : entre 0° et 90° le courant a tendance à diminuer le flux, alors qu’il a tendance à l’augmenter entre 90° et 180°. La forte saturation du matériau magnétique fait qu’une augmentation additionnelle du flux est inefficace, alors que sa diminution est bien plus efficace, ce qui explique l’effet sur le couple.

Temps [s] Couple [Nm]

Nous retrouvons la même forme de couple utile que pour le modèle par réseau de réluctances, avec un couple moyen à 3A inférieur d’environ 20%, la même erreur que pour la tension à vide. Cette erreur pourrait potentiellement être corrigée en ajustant et en affinant le réseau de réluctances choisi.

Nous représentons à présent le couple moyen en fonction du courant sur la figure ci-dessous.

Figure 167 Couple moyen en fonction du courant (simulation non-linéaire)

Nous remarquons que la courbe de couple est linéaire, comme dans une machine synchrone classique, jusqu’à environ 2A, puis qu’elle sature très fortement, au point que le gain de couple entre de 3A à 5A est inférieur à 12%. Le rapport m¤n•£) F¤k,F £ ¡3)?k,Án)

m¤n•£) k¤Â)F ^{est donc très faible, la machine pouvant} difficilement être utilisée pour fournir un surcouple temporaire. La forte saturation du circuit magnétique du stator permet probablement d’expliquer ce phénomène.

La courbe est la même que celle simulée à l’aide du modèle analytique par réseau de réluctances, avec toutes les valeurs surévaluées d’environ 20%. Le modèle par réseau de réluctances rend donc bien compte de manière satisfaisante de l’effet de la saturation sur le couple utile.