1.1 Écoulement de couche limite urbaine naturelle
1.1.4 Signature de la turbulence
z z0 (1.1.10) En intégrant entre le niveau aérodynamique (caractérisé par la longueur de rugosité plus la hauteur de déplacement, où la vitesse longitudinale s’annule virtuellement) et une altitude appartenant à la SCI, on obtient la loi logarithmique suivante :
u (z) = u ∗ κ ln z − d z0 (1.1.11) avec κ, la constante de von Kármán que l’on considère dans ce document égale à 0, 40.
1.1.4 Signature de la turbulence
Outre la connaissance de la structure de la CLA et du comportement de l’écoulement moyen, il est indispensable de s’intéresser au comportement de la turbulence en vue d’une complète modélisation de la couche de surface.
L’existence de la turbulence au sein de l’écoulement atmosphérique induit des instabilités. De ces instabi-lités résultent des tourbillons chargés d’énergie cinétique turbulente. Comme tout écoulement turbulent, la CLA peut ainsi être décrite comme une superposition de tourbillons avec une large gamme de tailles (Kaimal et Finnigan, 1994). Ces tourbillons interagissent en permanence entre eux et avec l’écoulement moyen à partir duquel ces structures puisent leur énergie. Parmi toute cette population de tourbillons, les grosses structures contiennent le plus d’énergie et sont majoritairement responsables du transport de la turbulence. Celles-ci sont elles aussi sujettes aux instabilités, provoquées par d’autres tourbillons. Les tourbillons ainsi sollicités ont une durée de vie limitée et se fractionnent en tourbillons de plus petites tailles. Ce processus est reproduit à toutes les échelles jusqu’à ce que les tourbillons deviennent suffisam-ment petits pour être affectés par la viscosité et que leur énergie cinétique soit dissipée et convertie en chaleur. Cette cascade d’énergie peut être observée à l’aide d’un spectre d’énergie fournissant la distri-bution de l’énergie cinétique turbulente.
La figure 1.1.9 présente un exemple de spectre E (ω) (multiplié par la fréquence ω/2π) dans le domaine fréquentiel pour une CLA obtenue à une altitude de 100 m. Celui-ci présente trois pics distincts cor-respondants à des fréquences caractéristiques. Le premier pic est lié aux passages de fronts ou autres activités météorologiques de très grandes échelles. Le second pic, correspondant à une période de 12 heures, est lié au comportement du vent entre le jour et la nuit. Le dernier pic représente la distribution de l’énergie cinétique turbulente portée par des structures de micro-échelle ayant des durées comprises
Figure 1.1.9 – Exemple typique d’un spectre de la vitesse à l’altitude de 100 m (représentation pro-portionnelle à l’énergie cinétique, densité spectrale multipliée par la fréquence), d’après van der Hoven (1957).
entre 10 s et 10 min. Les deux pics de gauche sont liés à l’écoulement moyen alors que le pic de droite est lié à la turbulence.
Le spectre d’énergie, en fonction de l’altitude, permet de décrire la population des tourbillons, porteurs d’énergie cinétique turbulente, existant au sein de la CL. Pour une représentation du spectre dans le domaine temporel (telle que sur la fig. 1.1.9), chaque temps caractéristique de tourbillon est associé à une certaine quantité d’énergie. Suivant l’hypothèse de Taylor, si en un point donné d’un écoulement homogène les fluctuations de la vitesse sont négligeables par rapport à la vitesse moyenne u ≫
q u′
i 2
alors les fluctuations temporelles auront les mêmes caractéristiques que les fluctuations spatiales dans un repère se déplaçant à la vitesse u. En d’autres termes, il est possible de relier le spectre en fréquence au spectre en nombres d’onde par le biais de la relation temps-espace ω = 2π f/u.
1.1.4.1 Spectre d’énergie turbulente et cascade d’énergie
La figure 1.1.10 montre que le spectre d’énergie peut être décomposé en trois régions distinctes. La première région est appelée domaine de production. En termes de gamme de nombres d’onde, cette ré-gion comprend les plus faibles nombres d’onde. Ceux-ci correspondent à des tourbillons de grande échelle (par rapport à la gamme complète associée à ce spectre) puisant leur énergie au sein l’écoulement moyen. A partir du pic du spectre d’énergie, il est possible de déterminer des caractéristiques des tourbillons porteurs du maximum d’énergie (par exemple, leur taille Λ). Ayant atteint leurs temps de retournement, les tourbillons porteurs d’énergie se fractionnent et l’énergie résultante entre en "cascade" avec un taux de dissipation indépendant de la viscosité. Pour plus de détails à ce sujet, le lecteur peut se référer à Batchelor (1953).
Figure 1.1.10 – Représentation schématique du spectre d’énergie en fonction du nombre d’ondes. Ce spectre est composé du domaine de production d’énergie comprenant les plus grosses tourbillons, un sous-domaine inertiel avec sa cascade d’énergie et d’un domaine de la dissipation. D’après Sagaut et al. (2006).
Elle est caractérisée par un transfert de l’énergie entre les échelles (spatiales) de plus en plus petites par le biais d’interactions non-linéaires et sans aucun effet de la viscosité. L’étendue de ce sous-domaine inertiel dépend du nombre de Reynolds et les propriétés de l’écoulement y sont déterminées uniquement par le taux de dissipation ε (seconde hypothèse de Kolmogorov). Puisque l’énergie (à l’origine de la cascade) est transférée sans pertes nous pouvons considérer le taux de dissipation de cette région proche du taux en début de cascade. Kolmogorov (1941) suggère que l’énergie, en fonction du nombre d’onde, suit la loi suivante :
E (ω) = K0ε23ω−53 . (1.1.12)
où K0 est la constante de Kolmogorov dont la valeur varie en fonction des auteurs (entre 1, 4 et 1, 7 d’après Sagaut et al. (2006)). Kaimal et Finnigan (1994) précisent que pour le spectre unidirectionnel de la composante longitudinale de la vitesse (Su) la constante de Kolmogorov est estimée entre 0, 5 et 0, 6. Ces derniers ajoutent que si la turbulence est isotropique localement pour ce domaine, alors les spectres des deux autres composantes de la vitesse se superposent et le segment linéaire de pente −5/3 de ces spectres (suivant une représentation log-log) est proportionnel à celui de la première composante :
Sv(ωu) = Sw(ωu) = 4
3Su(ωu) (1.1.13)
avec ωu, le nombre d’onde dans le sens de l’écoulement moyen, et Su, Svet Swles spectres unidirectionnels associés respectivement aux composantes longitudinale, transversale et verticale de la vitesse. De plus, cette hypothèse d’isotropie locale de la turbulence entraîne une disparition de toutes les corrélations croisées entre les fluctuations de deux composantes de la vitesse. En d’autres termes, il n’existe aucun flux turbulents dans le sous-domaine inertiel.
Figure 1.1.11 – Spectre unidirectionnel adimensionné de la composante longitudinale de la vitesse en fonction du régime de stabilité, d’après Kaimal et Finnigan (1994). Conditions neutres (excluded region) : z/L = ± 0.
La dernière région, appelé domaine de la dissipation, contient les plus petites échelles (spatiales) pour lesquelles les effets visqueux apparaissent et deviennent importants jusqu’à ce que l’énergie cinétique soit dissipée en chaleur.
1.1.4.2 Spectre dans la couche de surface
Dans la SCI, le spectre de la composante longitudinale de la vitesse Susuit les lois de similitude dès lors que la fréquence f et le spectre pondéré par la fréquence f Su(f ) sont respectivement adimensionnés par u/z et u∗2Φε2/3 (avec Φε = κzε/u∗3 fonction de z/L ; Kaimal et al., 1972). Ainsi, Kaimal et al. (1972) suggèrent, pour le sous-domaine inertiel de la SCI, la loi de puissance suivante :
f Su(f ) u∗2Φε2/3 = 0, 3 f z u −2 3 . (1.1.14)
S’intéressant à une CS en conditions neutres, le spectre unidirectionnel de la composante longitudinale de le vitesse correspond à la courbe z/L = ± 0 de la figure 1.1.11.
D’autres équations du spectre d’énergie existent dans la littérature. von Kármán (1948) se basant sur la théorie de la turbulence isotropique propose l’équation suivante :
f Su(z, f ) σu2 = 4 f Λ x uu/u h 1 + 70, 8(f Λx uu/u)2i5/6. (1.1.15)
Utilisant une formulation générale sans dimension de Olesen et al. (1984), Tieleman (1992a) développe des équations de spectres pour un terrain rugueux idéalement uniformément plat et un terrain accidenté respectivement (toujours pour la composante longitudinale de la vitesse) :
f Su(z, f ) σu2
= 20, 53 f
et
f Su(z, f )
σu2 = 40, 42 f
1 + 60, 62 f5/3. (1.1.17)
Une autre forme, largement utilisée par les aérodynamiciens, est proposée par Davenport (1961). Celle-ci (eqn. 1.1.18) est indépendante de l’altitude.
f Su(z, f ) σu2 = 2 3 x (1 + x2)4/3 (1.1.18) avec x = 1200 f /u (10).
Pour plus de détails sur les spectres unidirectionnels des autres composantes de vitesse ainsi que sur le spectre de la température pour les différents régimes de stabilité (qui ne sont pas traités dans ce document), le lecteur peut se référer à Cermak et al. (1999) et Kaimal et Finnigan (1994).