Reconhecer se um dado número real é racional ou irracional pode não ser uma tarefa simples. Um critério que pode ser útil em determinadas situações é o seguinte:
Teorema 8.2. Um número real é irracional se e somente se sua expansão decimal for não periódica.
Esse resultado é uma decorrência do Teorema 2.5, página 30. Ele nos permite construir exemplos de números irracionais, como
0,1010010001000010000010000001 . . .
em que temos o algarismo 1 seguido de um zero, depois o algarismo 1 seguido de dois zeros, depois o algarismo 1 seguido de três zeros, e assim por diante, esse número é construído por agrupamentos de dígitos, sendo que o n-ésimo agrupamento consiste do algarismo 1 seguido de n zeros. Podemos ver que essa expansão não é periódica, portanto se trata de um número irracional.
Dado um número racional a,a1a2. . . anb1b2. . . bm, podemos construir in nitos números ir-
racionais intercalando entre a primeira ocorrência do período e a segunda um agrupamento de dígitos c1c2. . . ck, depois entre a segunda ocorrência do período e a terceira o agrupamento
c1c2. . . ckc1c2. . . ck, e assim sucessivamente. Portanto a cada número racional podemos associar
in nitos números irracionais.
O teorema abaixo constitui um instrumento importante para o estudo de uma certa classe de números irracionais.
Teorema 8.3. Se α é raiz real do polinômio p(x) = xn+ c
n−1xn−1+· · · + c1x + c0, sendo n ≥ 1
e ci um número inteiro para todo 0 ≤ i ≤ n − 1, então α é inteiro ou irracional. Ainda, se α é
inteiro então ele é divisor de c0.
Demonstração. Suponhamos que α seja racional não inteiro. Escrevamos α = a/b, sendo a e b inteiros relativamente primos, com b > 1. Por hipótese p(α) = 0, ou
an bn + cn−1 an−1 bn−1 +· · · + c1 a b + c0 = 0
Multiplicando essa equação por bn vem
an+ cn−1an−1b +· · · + c1abn−1+ c0bn = 0
ou
an = b (−cn−1an−1− · · · − c1abn−2− c0bn−1)
Portanto b é divisor de an. Usando que mdc(a, b) = 1 e o Teorema 1.13, enunciado na página
16, temos que b é divisor de a. Portanto mdc(a, b) = b, contrariando o fato de ser b > 1. Segue que α é inteiro ou irracional.
Por outro lado, se α é inteiro, temos b = 1 e α = a, e a segunda relação acima ca
an+ cn−1an−1+· · · + c1a + c0 = 0
e está claro que α é divisor de c0. Isto termina a demonstração.
Exemplo 8.4. Vamos usar o resultado do Teorema 8.3 para dar outra demonstração de que√2 é irracional. Seja α =√2. Elevando essa identidade ao quadrado, vem α2 = 2, ou α2− 2 = 0.
Consequentemente α é raiz real do polinômio p(x) = x2 − 2. Notemos que esse polinômio tem
coe ciente líder igual a 1 e o outro coe ciente é inteiro. Podemos então aplicar o resultado do Teorema 8.3 e concluir que α é inteiro ou irracional. Observando que 1 < 2 < 4 ⇒ 1 <√2 < 2, vemos que α não é inteiro. Portanto α =√2é irracional.
Exemplo 8.5. √2 +√3 é irracional. De fato, seja α = √2 +√3. Elevando essa identidade ao quadrado, vem α2 = 2 +√3, ou α2 − 2 = √3. Elevando ao quadrado novamente vem α4− 4α2+ 1 = 0. Consequentemente α é raiz real do polinômio p(x) = x4− 4x2+ 1. De acordo
com o Teorema 8.3 α é inteiro ou irracional. Se fosse inteiro seria divisor de 1. Observando que √
2 +√3 > 1, vemos que não é. Portanto α = √2 +√3 é irracional. Exemplo 8.6. Se m e k são inteiros positivos tais que m√
k /∈ Z então m√k é irracional. De
fato, seja α = m√
k. Elevando essa identidade à potência m vem αm = k, ou αm − k = 0. Consequentemente α é raiz real do polinômio p(x) = xm− k. De acordo com o Teorema 8.3 α
é inteiro ou irracional. Como α não é inteiro por hipótese, segue que α é irracional. De acordo com esse exemplo são irracionais números como √3
2, √5
5, √7
19, etc.
O Teorema 8.3 nos apresenta a seguinte questão: é todo número irracional raiz de um polinômio p(x) = cnxn+ cn−1xn−1+· · · + c1x + c0 com coe cientes inteiros? Este não é um
problema fácil, e foi respondido por Joseph Liouville em 1851. Estudando a forma com que os números irracionais são aproximados por números racionais, determinou condições necessárias para que um número seja raiz de um polinômio com coe cientes inteiros. Com isso encontrou exemplos de números irracionais que não satisfazem essa condição. Um exemplo é
∞ ∑ k=1 1 10k! (8.3) Isto motiva a
De nição 8.7. Um número real chama-se algébrico se é raiz de um polinômio p(x) = cnxn+
Vimos acima vários exemplos de números algébricos, como √2, √3
2, √5
5, etc. Observe que todo número racional a/b é algébrico, pois é raiz do polinômio p(x) = bx − a. Além do exemplo de Liouville dado acima, os números transcendentes mais famosos são a constante de Arquimedes π, o número e e 2√2. Não é simples veri car que esses números são transcendentes.
Em [45], página 490, pode-se estudar uma demonstração do
Teorema 8.8 (Gelfond, 1934). Sejam α e β números algébricos (reais ou complexos). Se α 6= 0 e α 6= 1 e se β não for racional então αβ é transcendente.
Exemplos de números transcendentes fornecidos por esse teorema: 2√n e √n√2 para todo
inteiro positivo n tal que√n não é inteiro; 2√−2; 2i; eπ, pois eπ = e−2i log i = i−2i.
Não é simples reconhecer números transcendentes, mas sabemos que, de um certo ponto de vista, eles são muito mais numerosos do que os números algébricos, devido ao seguinte resultado de 1874 de Georg Cantor:
Teorema 8.9. O conjunto dos números algébricos é enumerável, mas o conjunto dos números transcendentes não.
Um conjunto A se diz enumerável quando existe uma função bijetiva f : N 7→ A. Em outros termos, os elementos de A podem ser contados. Para obter uma demonstração do Teorema 8.9 consulte [29], páginas 15 e 16.
Para completar nossa lista de teoremas enunciamos os Teorema 8.10. O número e é irracional.
Estudaremos o número e e a demonstração desse teorema no Capítulo 9. Teorema 8.11 (Lambert, 1761). A constante de Arquimedes π é irracional.
Para estudar uma demonstração, con ra [29], página 9. Teorema 8.12 (Hermite, 1873). O número e é transcendente.
O estudante pode obter um roteiro de uma demonstração em [29], página 29. Teorema 8.13 (Lindemann, 1882). O número π é transcendente.
Para estudar uma demonstração, con ra [29], página 33 e seguintes.
Nesse campo de estudos existem inúmeras questões não respondidas. Por exemplo, não se sabe se os números πe, eπ, e + π são irracionais.
Não poderíamos terminar essa Seção sem observar o
Teorema 8.14. Todo número construtível (com régua e compasso) é algébrico.
Dessa forma o Teorema 8.13 de Lindemann resolveu um dos famosos problemas da antigui- dade, qual seja, dado um disco, construir com régua e compasso um quadrado com área igual à do disco dado. De fato, se fosse possível tal construção, seria possível construir o número√π
com régua e compasso, e, em virtude do Teorema 8.14, √π seria algébrico. Mas o produto de
números algébricos é algébrico (con ra [29], página 17), e então π seria algébrico, contrariando o teorema de Lindemann. Vemos também que não é possível reti car uma dada circunferência com régua e compasso, pois o comprimento da circunferência é proporcional a π.