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Arquimedes, em sua obra O contador de grãos de areia, observou uma interessante relação en- tre as progressões aritméticas (PA) e geométricas (PG). Para ilustrar essa relação consideremos a PA 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... e a PG 1, 2, 4, 8, ... alinhadas conforme a tabela a seguir:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 · · ·

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 · · · (9.1) Podemos fazer umas brincadeiras. Por exemplo, para multiplicar entre si dois números da PG, digamos, 32×128, tomamos os números correspondentes da PA, que são 5 e 7, e somamos. Temos assim 5 + 7 = 12. Em seguida vemos que a 12 corresponde 4096. Por coincidência, 32× 128 = 4096. O estudante pode testar outros valores, e pode facilmente explicar por que a brincadeira funciona.

Outras propriedades foram observadas em livros de autoria de vários matemáticos. Em 1484 o matemático francês Nicolas Chuquet publicou sua obra Triparty en la science des nombres, em que observa a seguinte propriedade da tabela 9.1: tomando um número da PG, digamos 16, para calcular 16 × 16 × 16, basta tomar o número correspondente da PA, no caso 4, somar 4 + 4 + 4 = 12, e tomar o número da PG correspondente a 12, que é 4096. Este vem a ser 16× 16 × 16. O estudante pode conferir. Essas propriedades, relatadas por Arquimedes e Chuquet, também foram mencionadas por Christo Rudol em 1525 e por Peter Apian em 1527, ambos matemáticos alemães.

Alemão era também Michael Stifel, cuja obra Arithmetica Integra, publicada em 1544, era um tratado contendo todo o conhecimento de Álgebra de sua época. Nessa obra Stifel observa as propriedades acima descritas, e acrescenta mais duas propriedades. Para facilitar sua descrição, chamaremos de expoente de um termo da PG ao termo correspondente da PA. Assim, na tabela 9.1 acima, o expoente de 8 é 3 e o de 64 é 6. O termo expoente foi cunhado por Stifel, mas em uma obra posterior, de 1553.

Stifel observou que o quociente de dois termos da PG tem expoente igual à diferença dos expoentes dos dois termos. Assim, para calcular 512/64, tomamos seus expoentes 9 e 6, e calculamos 9 − 6 = 3. Como 3 é expoente de 8, então 512/64 = 8. Stifel observou também que se um termo da PG tem expoente par, então o expoente da raiz quadrada desse termo é a metade dele. Por exemplo, para calcular √256, consideramos o expoente 8. Como 8/2 = 4 é expoente de 16, então √256 = 16.

Stifel também considerou tabelas com expoentes negativos, por exemplo

· · · −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 · · · · · · 1 64 1 32 1 16 1 8 1 4 1 2 1 2 4 8 16 32 64 · · · (9.2)

O estudante poderá observar outras propriedades e calcular, por exemplo, √3

512ou√1024× 16 usando apenas os expoentes desses números. Mediante as propriedades das potências, o estudante poderá facilmente justicar todas essas armações. Justicativas gerais não eram fáceis naquela época, pois nem mesmo havia a notação para potências que utilizamos hoje.

No Século XVI os progressos da astronomia e da navegação trouxeram a necessidade do desenvolvimento do cálculo numérico. As tábuas trigonométricas se faziam muito necessárias. Sem as facilidades que temos hoje proporcionadas pelas máquinas digitais, matemáticos e as- trônomos procuravam descobrir uma forma de facilitar os extensos cálculos que precisavam fazer. Uma das ideias adotadas foi utilizar as relações já observadas entre PA's e PG's. Vimos como essas propriedades permitem simplicar cálculos, pois reduzem a multiplicação à adição, a divisão à subtração, a potenciação à multiplicação e a radiciação à divisão.

Dada uma correspondência entre uma PA e uma PG como em 9.2, se um número está na PG, o número da PA que lhe corresponde passou a ser chamado logaritmo. Escolhida uma base

a > 0 para a PG, uma relação do tipo

· · · −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 · · · · · · 1 a6 1 a5 1 a4 1 a3 1 a2 1 a a 0 _a1 _a2 _a3 _a4 _a5 _a6 _{· · ·} (9.3)

chama-se táboa de logaritmos de base a. Dado um número an da PG, seu logaritmo na base

a é n, e o logaritmo de 1/an é −n. Indicaremos por log_a(an) o logaritmo de an na base a. Portanto loga(an) = n e loga(1/an) = −n. Como 1/an = a−n, podemos unicar as duas

se omitirem os parêntesis quando não houver perda de clareza, escrevendo-se, por exemplo, log_aan _{= n.}

Notemos que

log_aanam = log_aan+m= n + m = log_aan+ log_aam

quaisquer que sejam os inteiros n e m.

Portanto, expressando-nos na linguagem matemática atual, o que zemos até agora foi denir uma função

log_a:{. . . , 1 a3, 1 a2, 1 a, 1, a, a 2 , a3, . . .} 7→ Z por log_aan = n satisfazendo a propriedade

log_a(wz) = log_aw + log_az

denominada propriedade fundamental dos logaritmos.

De tudo o que foi feito ca claro que a função loga é inversa da função exponencial fa:Z 7→

R+, fa(n) = an, no sentido de que sua composta é a identidade. Assim

log_a◦fa(n) = loga(a n

) = n e fa◦ loga(a n

) = fa(n) = an

para todo inteiro n.

Como essa observação constatamos que ca fácil estender a denição de loga e obter uma

função loga:R+ 7→ R. Isso é o que faremos detalhadamente na próxima seção.

Terminamos essa seção relatando que os matemáticos e astrônomos do Século XVI percebe- ram que uma táboa como a 9.1 tinha pouca utilidade, pois é grande a distância entre os termos consecutivos da PG. Para aproximar esses termos é preciso adotar, na táboa 9.3, um valor mais próximo de 1 para a base a, por exemplo, a = 0,0001. Basicamente foi isso o que foi feito naquela época. O primeiro que publicou uma táboa de logaritmos foi o matemático escocês John Napier, em 1614. Sua obra tinha o título signicativo Descrição da maravilhosa regra dos logaritmos. O matemático e instrumentista cientíco suiço Jost Bürgi também construiu uma táboa de logaritmos, e a publicou em 1620. Também em 1620 John Speidell publicou uma táboa de logaritmos usando como base o número e. O matemático inglês Henry Briggs se entusiasmou com os logaritmos de J. Napier, e o visitou na Escócia em 1615. Em 1624 publicou sua própria táboa, sendo o primeiro que utilizou a base 10.

Os trabalhos dos inventores dos logaritmos se tornaram rapidamente conhecidos na Europa, e foram produzidas muitas táboas. Em 1620 Edmund Gunther publicou a primeira táboa de logaritmos de funções trigonométricas, e em 1624 apareceu a primeira táboa de Johannes Kepler. O holandês Adriaan Vlacq completou e reeditou a táboa de H. Briggs em 1628, e esta versão foi publicada na China em 1713.