Implementing Disk Quotas - Managing Storage

II. Resource Management

5. Managing Storage

5.7. Implementing Disk Quotas

O teorema de Hahn-Banach também é crucial para estabelecer uma teoria satisfatória de operadores adjuntos. A partir desta se¸cão, frequentemente usaremos a nota¸cão

hf, xi = f (x)

se x ∈ E e f : E −→ R ´e um funcional linear.

3.11 Defini¸c˜ao. Sejam E, F espa¸cos vetoriais normados e A : E −→ F um operador linear limitado. O operador adjunto A∗_{: F}∗_{−→ E}∗_{´e o ´}_{unico operador linear limitado que satisfaz}

hg, Axi = hA∗g, xi

para todos x ∈ E e g ∈ F∗_.

3.12 Proposi¸c˜ao. O operador adjunto est´a bem definido. Al´em disso,

kA∗_{k = kAk .}

Prova. De fato, se A : E −→ F ´e um operador linear limitado e g ∈ F∗_{, ent˜ao o funcional f : E −→ R}

definido por

f (x) = g (Ax)

´e um funcional linear limitado, pois

|f (x)| = |g (Ax)| 6 kgk kAxk 6 kgk kAk kxk .

Logo, podemos definir A∗_{: F}∗_{−→ E}∗ _por

A∗_{g = f.}

A desigualdade que provamos acima implica que kA∗_{gk = kf k 6 kAk kgk, portanto}

kA∗_{k 6 kAk .}

Por outro lado,

kA∗_{k =} _sup g∈F∗_\{0}

kA∗_gk

kgk .

Pelo teorema de Hahn-Banach (Corolário 2.24), se x0∈ E é tal que kx0k = 1 e Ax06= 0, então existe g ∈ F∗

tal que kgk = 1 e g (Ax0) = kAx0k . Logo kA∗_gk kgk = kA ∗_{gk >} |hA∗g, x0i| kx0k = |hg, Ax0i| = kAx0k . Assim, kA∗_{k > kAx} 0k

para todo x0∈ E tal que kx0k = 1, donde

kA∗k > sup

kx0k=1

kAx0k = kAk .

3.13 Defini¸c˜ao. Sejam E, F espa¸cos vetoriais e A : E −→ F um operador linear. O n´ucleo de A ´e o subespa¸co vetorial de E definido por

N (A) = {x ∈ E : Ax = 0}

e a imagem de A ´e o subespa¸co vetorial de F definido por

R (A) = {y ∈ F : y = Ax para algum x ∈ E} .

Uma das razões de se considerar operadores adjuntos é dada a seguir. Muitos problemas em matemática pura e aplicada podem ser formulados da seguinte forma: dados espa¸cos vetoriais normados E, F e um operador linear A : E −→ F , encontrar uma solu¸cão para a equa¸cão

Ax = y.

Se y ∈ R (A), esta equa¸cão possuir uma solu¸cão x. Então, para cada g ∈ F∗ _{nós temos}

g (Ax) = g (y)

e tomando o operador adjunto segue que

(A∗_{g) (x) = g (y)}

Se g ∈ N (A∗_{), isto d´a}

g (y) = 0

Portanto, uma condi¸cão necessária para que y ∈ R (A) é que g (y) = 0 para todo g ∈ N (A∗_{). A questão}

fundamental a ser respondida é se esta condi¸cão também é suficiente. Em dimensão finita, esta condi¸cão é verdadeira, conhecida como a alternativa de Fredholm. Veremos como essa condi¸cão é traduzida para espa¸cos vetoriais normados em geral. Antes, estabelecemos nota¸cão.

3.14 Defini¸c˜ao. Sejam E um espa¸co vetorial normado e V ⊂ E um subespa¸co vetorial. O anulador de V ´e o subespa¸co vetorial V⊥ _{de E}∗ _{dos funcionais lineares que anulam V , isto ´e,}

V⊥_{= {f ∈ E}∗_{: f (x) = 0 para todo x ∈ V } .}

Analogamente, se W ´e um subespa¸co vetorial de E∗_{, o anulador de W ´e o subespa¸co vetorial W}⊥ _de

E dos vetores que s˜ao anulados pelos funcionais lineares de W , ou seja, W⊥ _{= {x ∈ E : f (x) = 0 para todo f ∈ W } .}

3.15 Proposi¸c˜ao. Se E é um espa¸co vetorial normado, V é um subespa¸co vetorial de E e W é um subespa¸co

vetorial de E∗_{, então V}⊥ _{e W}⊥ _{são fechados. Além disso,}

V⊥¢⊥_{= V}

e _¡

W⊥¢⊥_{⊃ W}

Prova. Seja {fn}n∈N⊂ V⊥ tal que fn→ f em E∗. Ent˜ao

fn(x) → f (x) para todo x ∈ E.

Seja {xn}_n∈N⊂ W⊥ tal que xn→ x em E. Ent˜ao

f (xn) → f (x) para todo f ∈ E∗

pois f ´e cont´ınuo. Em particular isso vale para f ∈ W , logo f (x) = 0 para todo f ∈ W , donde x ∈ W⊥_.

Claramente V ⊂¡V⊥¢⊥_{e como}¡_V⊥¢⊥_{´e fechado, segue que V ⊂}¡_V⊥¢⊥_{. Reciprocamente, suponha por}

absurdo que existe x0∈

V⊥¢⊥ _{tal que x}

0∈ V . Pelo teorema de Hahn-Banach existe f ∈ E/ ∗ tal que f ≡ 0

em V e f (x0) 6= 0. Mas ent˜ao f ∈ V⊥ e n˜ao podemos ter x0∈

V⊥¢⊥_{. ¥}

Em particular, se V ´e um subespa¸co fechado de E, vale a igualdade ¡

V⊥¢⊥_{= V.}

Veremos no pr´oximo cap´ıtulo que se E ´e reflexivo vale a igualdade ¡

W⊥¢⊥_{= W}

3.16 Teorema. Sejam E, F espa¸cos vetoriais normados e A : E −→ F uma aplica¸c˜ao linear. Ent˜ao vale: (i) N (A) = R (A∗₎⊥ . (ii) N (A∗_{) = R (A)}⊥_. (iii) R (A) = N (A∗₎⊥ . (iv) R (A∗_{) ⊂ N (A)}⊥_.

Prova. (i) Se x ∈ N (A), ent˜ao

hA∗_{g, xi = hg, Axi = hg, 0i = 0}

para todo g ∈ F∗_{, ou seja, x ∈ R (A}∗₎⊥

. Reciprocamente, se x ∈ R (A∗₎⊥

, ent˜ao

hg, Axi = hA∗_{g, xi = 0}

para todo g ∈ F∗_{, ou seja, Ax = 0 e x ∈ N (A).}

(ii) Se g ∈ N (A∗_{), ent˜ao}

hg, Axi = hA∗g, xi = h0, xi = 0

para todo x ∈ E, logo g ∈ R (A)⊥. Reciprocamente, se g ∈ R (A)⊥, ent˜ao

hA∗g, xi = hg, Axi = 0

para todo x ∈ E, logo A∗_{g = 0 e g ∈ N (A}∗_).

(iii) e (iv) decorrem da aplica¸c˜ao da proposi¸c˜ao anterior a (ii) e (i), respectivamente. ¥

3.17 Corol´ario. Seja E um espa¸co vetorial normado de dimens˜ao finita e A : E −→ E um operador linear.

Ent˜ao

A ´e injetiva se e somente se A∗ ´e sobrejetiva e

A ´e sobrejetiva se e somente se A∗ _{´e injetiva.}

No caso de espa¸cos de Banach mais gerais, podemos concluir que se A é sobrejetiva então A∗_{é injetiva:}

3.18 Teorema. Sejam E, F espa¸cos de Banach e A : E −→ F uma aplica¸cão linear fechada. Então são

equivalentes

(ii) A∗ _{´e limitado inferiormente.}

(iii) A ´e uma aplica¸c˜ao aberta.

Prova. Pelo teorema do gr´afico fechado, A ´e limitada.

(i)⇒(ii) Como A ´e sobrejetiva, pelo teorema da aplica¸c˜ao aberta existe r > 0 tal que A (B1(0)) ⊃ Br(0).

Logo,

kA∗_{gk = sup} kxk61

|hA∗_{g, xi| = sup} kxk61

|hg, Axi| > r sup

kyk61

|hg, yi| = r kgk .

(ii)=⇒(iii)Vamos mostrar que A satisfaz o primeiro passo da demonstra¸c˜ao do teorema da aplica¸c˜ao aberta: existe r > 0 tal que

A (B1(0)) ⊃ Br(0) .

Como A é limitada, seguirá do segundo passo da demonstra¸cão daquele teorema que A é aberta. Seja r > 0 tal que

kA∗gk > r kgk

para todo g ∈ F∗_{. Equivalentemente, mostraremos que se y}

0 ∈ A (B/ 1(0)), ent˜ao ky0k > r. Aplicando a

segunda forma geom´etrica do teorema de Hanh-Banach aos conjuntos convexos {y} e A (B1(0)), obtemos

g ∈ F∗_{tal que}

|g (y)| < 1 < |g (y0)|

para todo y ∈ A (B1(0)) (podemos tomar g = f /α para f, α do enunciado daquele teorema). Em particular,

isto implica que

kA∗_{gk = sup} kxk61

|hA∗_{g, xi| = sup} kxk61

|hg, Axi| 6 1

r < r |g (y0)| 6 r kgk ky0k 6 kA∗gk ky0k 6 ky0k ,

conforme quer´ıamos.

(iii)⇒(i) Como A é aberta, R (A) é um subespa¸co vetorial aberto de F . Isso só é poss´ıvel se R (A) = F . ¥ 3.19 Teorema. (Teorema da Imagem Fechada de Banach) Sejam E, F espa¸cos de Banach e A : E −→ F

uma aplica¸cão linear fechada. Então são equivalentes

(i) R (A) ´e fechado. (ii) R (A∗_{) ´e fechado.}

(iii) R (A) = N (A∗₎⊥

(iv) R (A∗_{) = N (A)}⊥

Prova. (i)⇔(iii) segue diretamente do Teorema 3.16, logo ´e suficiente provar a cadeia de implica¸c˜oes (i)⇒(iv)⇒(ii)⇒(i).

(i)⇒(iv) Pelo Teorema 3.16, temos R (A∗_{) ⊂ N (A)}⊥

, logo resta apenas mostrar que N (A)⊥⊂ R (A∗_{). Seja}

f ∈ N (A)⊥; vamos obter g ∈ F∗ _{tal que A}∗_{g = f . Defina um funcional linear g}

0: R (A) −→ R por

g0(Ax) = f (x)

para todo x ∈ E. g0 est´a bem definido, porque se Ax1= Ax2 ent˜ao x1− x2 ∈ N (A), logo f (x1− x2) = 0.

Para ver que g0 é limitada, considere a restri¸cão de contradom´ınio A : E −→ R (A); como R (A) é um

subespa¸co vetorial fechado de um espa¸co de Banach, ele também é um espa¸co de Banach e podemos aplicar o teorema da aplica¸cão aberta para concluir que existe r > 0 tal que

onde Br(0)_R(A) denota a bola aberta de centro na origem e raio r no espa¸co de Banach R (A). Isso implica

que existe C > 0 tal que para todo y ∈ R (A) existe x ∈ E satisfazendo Ax = y e kxk 6 C kyk. De fato, se

y ∈ R (A), ent˜ao r

2 kyky ∈ Br(0)R(A), logo existe z ∈ B1(0) tal que

Az = r 2 kyky e podemos tomar x = 2 kyk r z de modo que Ax = y e kxk 6 r 2kyk. Da´ı,

|g0(y)| = |g0(Ax)| = |f (x)| 6 kf k kxk 6 C kf k kyk .

Portanto, pelo teorema de Hahn-Banach g0pode ser estendida a um funcional g ∈ F∗ com

hA∗_{g, xi = hg, Axi = hg}

0, Axi = f (x) .

(iv)⇒(ii) Pelo Teorema 3.16,

R (A∗_{) ⊂ R (A}∗_{) ⊂ N (A)}⊥_,

logo se R (A∗_{) = N (A)}⊥_{, segue que R (A}∗_{) = R (A}∗_).

(ii)⇒(i) Seja Z = R (A). Como R (A) é denso em Z, o anulador de R (A) em Z só pode ser o funcional nulo. Defina S : E −→ Z por Sx = Ax (S é uma extensão do contradom´ınio de A). Observe que como A é fechada, pelo teorema do gráfico fechado A é limitada e portanto S também é. Além disso, R (S) = R (A), donde

R (S)⊥ = 0, como acabamos de observar. Mas, pelo Teorema 3.16, N (S∗_{) = R (S)}⊥

, portanto conclu´ımos que S∗_{´e injetiva.}

Agora vamos mostrar que R (S∗_{) = R (A}∗_{). Seja g}

0∈ Z∗. Pelo teorema de Hahn-Banach, existe g ∈ F∗

extens˜ao de g0. Da´ı,

hA∗g, xi = hg, Axi = hg, Sxi = hg0, Sxi = hS∗g0, xi

para todo x ∈ E, o que mostra que S∗_g

0∈ R (A∗), ou seja, provamos que R (S∗) ⊂ R (A∗). Reciprocamente,

se g ∈ F∗_{, considere a restri¸c˜ao g}

0= g|Z. Temos, de modo an´alogo,

hS∗g0, xi = hg0, Sxi = hg, Sxi = hg, Axi = hA∗g, xi

para todo x ∈ E, donde R (A∗_{) ⊂ R (S}∗_{). Por hipótese, temos então que R (S}∗_{) é fechado, portanto é um}

espa¸co de Banach, j´a que ´e um subespa¸co vetorial fechado do espa¸co de Banach Z∗_{(lembre-se que o dual de}

um espa¸co vetorial normado sempre ´e um espa¸co de Banach).

Obtemos então que a restri¸cão de contradom´ınio S∗ _{: Z}∗ _{−→ R (S}∗_{) é um operador linear cont´ınuo}

bijetivo. Pelo Corol´ario 3.7, a inversa (S∗₎−1

existe e ´e cont´ınua. Em particular, S∗_{´e limitada inferiormente}

e existe m > 0 tal que

kS∗g0k > m kg0k

para todo g0∈ Z∗. O teorema anterior implica que R (S) = Z, logo R (A) = Z e portanto R (A) ´e fechado.

Portanto, se R (A) é fechado (por exemplo, se A for limitado), uma condi¸cão necessária e suficiente para que

3.4 Exerc´ıcios

3.1 Seja T : E −→ F um operador linear limitado inferiormente tal que Im T ´e um subespa¸co fechado de

F . Mostre que T−1_{´e um operador linear fechado.}

3.2 Mostre que se a inversa de um operador linear fechado existir, então ela também é um operador linear fechado.

3.3 Mostre que operador linear D : C1_{([0, 1]) −→ C ([0, 1]) definido por}

Df = f0 ´e fechado. 3.4 Seja E = ½ f ∈ C ([0, 1]) : existe lim t→0+ f (t) t ¾ .

Defina uma aplica¸c˜ao linear T : E −→ C ([0, 1]) por

T f (t) =      f (t) t se t 6= 0, lim t→0+ f (t) t se t = 0.

Mostre que T ´e fechado.

3.5 Sejam E, F espa¸cos de Banach e {Tn}n∈N ⊂ L (E, F ) tal que {f (Tnx)}n∈N ´e uma sequˆencia limitada

para todo x ∈ E e para todo f ∈ F∗_{. Mostre que {T}

n}n∈N ´e uniformemente limitada.

3.6 Se E, F s˜ao espa¸cos vetoriais normados, mostre que (E × F )∗= E∗_{× F}∗_.

3.7 Considere o seguinte subespa¸co de `1_:

F = ( (xn)_n∈N∈ `1: ∞ X n=1 n |xn| < ∞ )

a) Mostre que F é um subespa¸co vetorial próprio denso de `1_{, portanto F não é um espa¸co de}

Banach.

b) Verifique que a aplica¸c˜ao linear T : F −→ `1 _{definida por}

T¡(xn)n∈N

= (nxn)n∈N

é uma aplica¸cão fechada que não é limitada.

c) Mostre que a inversa de T está bem definida, é limitada, sobrejetiva, mas não é aberta.

3.8 Sejam E, F espa¸cos de Banach e T : E −→ F um operador linear limitado. Suponha que existam um espa¸co de Banach G e operadores lineares A : E −→ G e B : G −→ F tais que T = B ◦ A. Usando o teorema do gráfico fechado, mostre que se B é limitado e injetivo, então A é limitado.

3.9 Sejam E um espa¸co de Banach e F um espa¸co vetorial normado. Seja {Tn}n∈N⊂ L (E, F ) uma sequˆencia

de operadores lineares limitados tal que sup

n∈NkTnk = ∞. Mostre que existe um ponto x ∈ E tal que

sup

3.10 Sejam E, F espa¸cos de Banach. Se T : E −→ F ´e uma aplica¸c˜ao linear tal que f ◦ T ∈ E∗ _{para todo}

f ∈ F∗_{, mostre que T ´e limitada.}

3.11 Sejam L, M subespa¸cos vetoriais fechados de um espa¸co vetorial normado E. Mostre que se L 6= M , ent˜ao L⊥_{6= M}⊥_.

3.12 Sejam E um espa¸co de Banach e F um subespa¸co vetorial pr´oprio de E. Mostre que se T0: F −→ `∞

é uma aplica¸cão linear limitada, então T se estende a uma aplica¸cão linear limitada T : E −→ `∞_com

kT k = kT0k.

3.13 Considere `∞ _{e suponha que k·k é outra norma em `}∞ _{tal que (`}∞_{, k·k) também é um espa¸co de}

Banach. Se para cada i ∈ N a proje¸c˜ao na i-´esima coordenada πi

(xn)n∈N

= xi´e cont´ınua na norma

k·k, mostre que existe uma constante C > 0 tal que kxk 6 C kxk_`∞

para todo x ∈ `∞ _{(sugest˜ao: use o teorema do gr´afico fechado). Conclua que as normas k·k}

`∞ e k·k

s˜ao equivalentes.

3.14 Mostre que a aplica¸cão identidade I :¡C0_{[0, 1] , L}1¢_−→¡_C0_{[0, 1] , L}∞¢ _{tem gráfico fechado mas não}

Cap´ıtulo 4

Espa¸cos Reflexivos

4.1 Espa¸cos Reflexivos

Seja E um espa¸co vetorial normado. Denote

(E∗₎∗

= E∗∗_.

E∗∗_{´e chamado o espa¸co bidual de E. Podemos definir um operador linear limitado canˆonico}

J : E −→ E∗∗ _(4.1)

da seguinte forma: para cada x ∈ E, o funcional linear limitado Jx : E∗_{−→ R ´e dado por}

(Jx) (f ) = f (x) (4.2)

para todo f ∈ E∗_{. De fato, Jx ´e um funcional linear limitado em E}∗ _pois

|(Jx) (f )| = |f (x)| 6 kf k kxk = kxk kf k ,

ou seja,

kJxk 6 kxk .

Al´em disso, J ´e realmente uma isometria de E sobre sua imagem J (E). Com efeito, pelo teorema de Hahn-Banach, para cada x ∈ X existe um funcional linear f0∈ E∗ tal que kf0k = 1 e f0(x) = kxk, logo

kJxk = sup

kf k=1

|(Jx) (f )| > |(Jx) (f0)| = f0(x) = kxk ,

portanto

kJxk = kxk (4.3)

para todo x ∈ E. Em particular, J é injetivo. Se J for também sobrejetivo, dizemos que E é reflexivo. Isso implica que J é ao mesmo tempo um isomorfismo e uma isometria, em particular é um isomorfismo topológico. Como E∗∗ _{= (E}∗₎∗

é um espa¸co de Banach, segue que uma condi¸cão necessária para que um espa¸co vetorial normado seja reflexivo é que ele seja de Banach. Em vista disso, definimos

4.1 Defini¸c˜ao. Dizemos que um espa¸co de Banach E ´e reflexivo se o operador J : E −→ E∗∗ _{for um}

isomorfismo isom´etrico. ´

E importante saber que E e E∗∗ _{serem isometricamente isomorfos atrav´es de um isomorfimo isom´etrico}

diferente do operador J n˜ao garante que E seja reflexivo, pois pode ocorrer que apesar disso o operador J n˜ao seja sobrejetivo (veja [James1] e [James2]).

Todo espa¸co vetorial normado de dimensão finita é reflexivo (veja Exerc´ıcio 4.1). Existem importante exemplos de espa¸cos de Banach de dimensão infinita que não são reflexivos, como veremos mais tarde.

4.2 Teorema. Seja E um espa¸co reflexivo. Se F ⊂ E é um subespa¸co vetorial fechado, então F é reflexivo. Prova. Dado f∗ _{∈ F}∗ _{temos que mostrar que existe x ∈ F tal que f}∗ _{= Jx. Considere a submersão}

cont´ınua I : E∗_{,→ F}∗ _{definida por}

If = f |F.

Pelo teorema de Hahn-Banach a submersão é sobrejetiva, pois todo funcional linear limitado definido em F se estende a um funcional linear limitado definido em E (obviamente ela não é injetiva se F é um subespa¸co próprio de E). Esta submersão é cont´ınua pois

kIf k_F∗= sup x∈F \{0} |If (x)| kxk =x∈F \{0}sup |f (x)| kxk 6x∈E\{0}sup |f (x)| kxk = kf kE∗, logo kIf k = sup f ∈E∗_\{0} kIf k_F∗ kf k_E∗ 6 1.

Atrav´es desta submers˜ao, f∗ _{induz um funcional linear g}∗_{∈ E}∗∗ _{quando definimos}

g∗(f ) = (f∗◦ I) (f ) = f∗(f |F) .

Como E ´e reflexivo, existe x ∈ E tal que g∗_{= Jx, ou seja,}

f∗_{(f |}

F) = (Jx) (f )

para todo f ∈ E. Afirmamos que x ∈ F . De fato, se x /∈ F , como F ´e fechado podemos aplicar o teorema

de Hahn-Banach para concluir que existe um funcional linear f0 que se anula em F tal que f0(x) = 1 o que

´e uma contradi¸c˜ao, pois

f∗_(f

0|F) = 0

enquanto que

(Jx) (f0) = f0(x) = 1.

Um subespa¸co vetorial de um espa¸co reflexivo que não é fechado obviamente não pode ser reflexivo, já que todo espa¸co reflexivo é de Banach.

4.3 Proposi¸c˜ao. Se E é um espa¸co reflexivo e W é um subespa¸co vetorial de E∗_{, então}

W⊥¢⊥ = W .

Prova. J´a vimos na Proposi¸c˜ao 4.15 que¡W⊥¢⊥_{⊃ W . Suponha por absurdo que existe f}

0∈

W⊥¢⊥_{tal que}

f0∈ W . Pelo teorema de Hahn-Banach, existe f/ ∗ ∈ E∗∗ tal que f∗(f ) = 0 para todo f ∈ W e f∗(f0) 6= 0.

Como E ´e reflexivo, existe x ∈ E tal que f∗_{(f ) = f (x) para todo f ∈ E}∗_{. Em particular, f (x) = 0 para}

todo f ∈ W , logo x ∈ W⊥_{. Mas ent˜ao f}

0(x) = 0, pois f0∈

W⊥¢⊥_{, contradizendo f}

0(x) = f∗(f0) 6= 0. ¥

4.4 Teorema. Seja E um espa¸co de Banach. Ent˜ao E ´e um espa¸co reflexivo se e somente se E∗ _for.

Prova. Suponha que E seja reflexivo. Sejam J : E −→ E∗∗ _{e J}∗ _{: E}∗ _{−→ E}∗∗∗ _{as aplica¸c˜oes canˆonicas,}

isto ´e,

(Jx) (f ) = f (x) e

Seja f∗∗_{∈ E}∗∗∗_{. Para provar que E}∗_{´e reflexivo, precisamos encontrar f ∈ E}∗_{tal que f}∗∗_{= J}∗_{f . Considere}

f := f∗∗_{◦ J ∈ E}∗_:

E−→ EJ ∗∗ f_{−→ R.}∗∗

Logo,

f∗∗_{(Jx) = f (x) = (Jx) (f )}

para todo x ∈ E. Como E ´e reflexivo, para todo f∗_{∈ E}∗∗ _{existe x ∈ E tal que f}∗_{= Jx. Substituindo na}

ultima equa¸c˜ao acima, segue que

f∗∗_(f∗_{) = f}∗_{(f )}

para todo f∗_{∈ E}∗∗_{, ou seja,}

f∗∗_{= J}∗_f.

Reciprocamente, suponha que E∗ _{é reflexivo. Para provar que E também é reflexivo, observamos em}

primeiro lugar que porque E ´e um espa¸co de Banach, o subespa¸co vetorial R (J) ´e um subespa¸co fechado de

E∗∗_{. De fato, como J ´e uma isometria, se Jx}

n→ f∗ em E∗∗ então em particular {xn} é uma sequência de

Cauchy em E. Como E ´e um espa¸co de Banach, existe x ∈ E tal que xn → x em E. Logo, Jxn → Jx e

portanto f∗_{= Jx ∈ R (J).}

Suponha por absurdo que R (J) 6= E∗∗_{. Seja f}∗ _{∈ E}∗∗_{\R (J). Pelo teorema de Hahn-Banach, existe}

f∗∗_{∈ E}∗∗∗ _{tal que f}∗∗_{= 0 em R (J) e f}∗∗_(f∗_{) 6= 0. Como E}∗ _{´e reflexivo, existe f ∈ E}∗ _{tal que f}∗∗ _{= J}∗_f

. Da´ı, para todo x ∈ E vale

f (x) = (Jx) (f ) = (J∗f ) (Jx) = f∗∗(Jx) = 0, isto ´e, f ´e o funcional nulo. Mas

f∗_{(f ) = (J}∗_{f ) (f}∗_{) = f}∗∗_(f∗_{) 6= 0,}

contradi¸c˜ao. ¥

4.2 Espa¸cos Separ´aveis

Lembramos que um espa¸co topológico é separável se ele possui um subconjunto denso enumerável. 4.5 Teorema. Seja E um espa¸co vetorial normado. Se E∗ _{é separável, então E também é.}

Prova. Seja {fn}n∈N um subconjunto enumer´avel denso em E∗. Como

kfnk = sup x∈E kxk=1

|fn(x)| ,

podemos escolher para cada n um elemento xn∈ E tal que kxnk = 1 e

|fn(xn)| > kfnk

2 . Seja

M = hx1, x2, . . .i

o fecho do subespa¸co gerado pelo conjunto {xn}n∈N. Observe que M ´e separ´avel, pois o subconjunto das

combina¸c˜oes lineares dos xn com coeficientes racionais formam um subconjunto enumer´avel denso em M .

Afirmamos que M = E. De fato, se x0 ∈ E\M , pelo teorema de Hahn-Banach (Corol´ario 2.23) existe

f ∈ E∗_{∩ M}⊥ _{tal que kf k = 1 e f (x}

0) 6= 0. Em particular, f (xn) = 0 para todo n, logo

kfnk

donde

1 = kf k 6 kfn− f k + kfnk 6 3 kfn− f k ,

ou seja,

kfn− f k > 1

3, contradizendo o fato que {fn} ´e denso em E∗. ¥

Vale a rec´ıproca quando E ´e um espa¸co reflexivo:

4.6 Corol´ario. Se E é um espa¸co reflexivo separável, então E∗ _{também é.}

Prova. Pela Proposi¸cão 4.4 temos que E∗ _{é reflexivo. Para mostrar que E}∗ _{é separável, pelo teorema}

anterior basta provar que E∗∗ _{´e separ´avel. Seja {x}

n}n∈N um subconjunto enumer´avel denso em E. Dado

f∗ _{∈ E}∗∗_{, existe x ∈ E tal que Jx = f}∗_{, e dado ε > 0 existe n ∈ N tal que kx}

n− xk < ε. Como J ´e uma

isometria, segue que kJxn− f∗k < ε. Vemos portanto que {Jxn}n∈N ´e um subconjunto enumer´avel denso

em E∗∗_{. ¥}

4.3 Exemplo 1: Espa¸cos `

Os espa¸cos `p_{(n) tem dimens˜ao finita, logo s˜ao reflexivos (veja o Exerc´ıcio 4.1). Por outro lado, os espa¸cos}

`p _{são reflexivos se e somente se 1 < p < ∞, isto é, `}1 _{e `}∞ _{são exemplos de espa¸cos de Banach que não são}

espa¸cos reflexivos. Vamos provar estes fatos, além de alguns fatos auxiliares que por si só já são muito úteis. 4.7 Proposi¸c˜ao. `p _{são espa¸cos separáveis para 1 6 p < ∞.}

Prova. Seja

en = (0, . . . , 0, 1 n, 0, . . .),

de modo que todo elemento x ∈ `p _{se escreve de maneira ´}_{unica na forma}

x =

∞

n=1

xnen.

[Como veremos mais tarde, {en}_n∈N ´e uma base de Schauder para `p.] Ent˜ao o conjunto de todas as

combina¸cões lineares com coeficientes racionais dos ené um subconjunto enumerável denso em `p.¥

4.8 Proposi¸c˜ao. `∞ _{não é separável.}

Prova. Observe que em `∞_{, o fecho do subespa¸co gerado por {e}

n}n∈N ´e apenas o subespa¸co `∞0 das

sequências convergentes para 0. Para ver que `∞_{não é enumerável, considere o subconjunto não-enumerável}

{0, 1}ω ⊂ `∞ _{das sequências cujos elementos são apenas 0 ou 1 (uma tal sequência tem norma 1 em `}∞_).

Se x, y ∈ {0, 1}ωe x 6= y, então kx − yk_`∞ = 1, logo existe um número não-enumerável de bolas com centro

nos pontos de {0, 1}ω e raio 1/2 que n˜ao se interceptam. ¥ 4.9 Proposi¸c˜ao. Se 1 < p < ∞, ent˜ao

(`p)∗= `p0

no sentido que estes espa¸cos s˜ao isometricamente isomorfos.

Prova. Afirmamos que a aplica¸c˜ao linear

Φ : `p0 −→ (`p)∗ y 7→ f (x) = ∞ X n=1 xnyn.

é um isomorfismo isométrico. Pela desigualdade de Hölder temos |f (x)| 6 ∞ X n=1 |xnyn| 6 kyk`p0kxk_`p, de modo que f ∈ (`p₎∗ _e kf k_(`p₎∗6 kyk_`p0, (4.4)

logo Φ ´e cont´ınua.

Agora exibiremos a inversa de Φ e mostraremos que ela também é cont´ınua. Já vimos que todo elemento

x ∈ `p _{se escreve de maneira ´}_{unica na forma}

x =

∞

n=1

xnen.

Ent˜ao, dado f ∈ (`p₎∗_{, por continuidade temos}

f (x) =

∞

n=1

xnf (en) .

De fato, se para cada k ∈ N denotamos

zk = k

n=1

xnen,

por linearidade temos

f (zk) = k X n=1 xnf (en) . de modo que f (x) = f µ lim k→∞zk ¶ = lim k→∞f (zk) = limk→∞ k X n=1 xnf (en) = ∞ X n=1 xnf (en) .

Notando que f (en) = (Φy) (en) = yn, vemos agora que a inversa de Φ ´e dada por

Ψ : (`p)∗−→ `p0 f 7→ (f (en))n∈N

Para mostrar que Ψ est´a de fato bem definida e ´e cont´ınua, defina zk∈ `p por

z(i)_k =    |f (ei)|p 0 f (ei) se i 6 k e f (ei) 6= 0, 0 se i > k ou f (ei) = 0, de modo que f (zk) = k X n=1 |f (en)|p 0 . Temos |f (zk)| 6 kf k kzkk = kf k Ã _k X n=1 |f (en)|(p 0₋₁₎_p !1/p = kf k Ã _k X n=1 |f (en)|p 0 !1/p ,

j´a que p = p0_{/ (p}0_{− 1), logo} k X n=1 |f (en)|p 0 = f (zk) = |f (zk)| 6 kf k_(`p₎∗ Ã _k X n=1 |f (en)|p 0 !1/p , donde Ã _k X n=1 |f (en)|p 0 !1/p0 6 kf k_(`p₎∗.

Tomando o limite quando k → ∞, segue que

k(f (en))k_`p0 6 kf k_(`p₎∗, (4.5)

ou seja, a inversa Ψ também está bem definida e é cont´ınua.

Juntando as desigualdades (4.5) e (4.4) vemos que Φ ´e uma isometria. ¥ 4.10 Proposi¸c˜ao. `p _{´e um espa¸co reflexivo se 1 < p < ∞.}

Prova. Embora a aplica¸c˜ao do resultado anterior duas vezes produza (`p₎∗∗ ₌³_`p0´∗

= `p_,

isso por si só não prova a reflexividade de `p_{, pois, como já observamos antes, a existência de um isomorfismo}

isométrico arbitrário não garante a sobrejetividade da aplica¸cão canônica J. No entanto, como vimos na demonstra¸cão da proposi¸cão anterior, como (`p₎∗

= `p0

, a cada g ∈ (`p₎∗∗

corresponde um funcional eg ∈

`p0´∗

tal que g (f ) = eg (y), onde

f (x) =

∞

n=1

xnyn

para todo x ∈ `p_{. Analogamente, como}³_`p0´∗

= `p_{, a cada e}_{g ∈}³_`p0´∗

corresponde um elemento x ∈ `p _tal

que e g (y) = ∞ X n=1 xnyn para todo y ∈ `p0 . Portanto, g (f ) = eg (y) = ∞ X n=1 xnyn= f (x) = (Jx) (f ) . ¥ 4.11 Proposi¸c˜ao. _¡ `1¢∗_{= `}∞

no sentido que estes espa¸cos s˜ao isometricamente isomorfos.

Prova. Como na demonstra¸c˜ao do resultado anterior, mostraremos que a aplica¸c˜ao linear Φ : `∞−→¡`1¢∗ y 7→ f (x) = ∞ X n=1 xnyn.

é um isomorfismo isométrico. Pela desigualdade de Hölder temos |f (x)| 6 ∞ X n=1 |xnyn| 6 kyk`∞kxk_`1, de modo que f ∈¡`1¢∗_e kf k_(`1₎∗ 6 kyk_`∞, (4.6)

logo Φ ´e cont´ınua.

A inversa de Φ, como na demonstra¸c˜ao do teorema anterior ´e dada por Ψ :¡`1¢∗_{−→ `}∞

f 7→ (f (en))n∈N

Como kenk`1 = 1, temos

|f (en)| 6 kf k(`1₎∗ke_nk_`1 = kf k_(`1₎∗,

de modo que Ψ est´a bem definida e

k(f (en))k_`∞ = sup

n∈N

|f (en)| 6 kf k_(`p₎∗. (4.7)

(4.6) e (4.7) provam que Φ ´e uma isometria. ¥ 4.12 Proposi¸c˜ao.

(`∞)∗6= `1.

Prova. Se tiv´essemos (`∞₎∗

= `1_{, como `}1_{é separável, `}∞ _{também seria pelo Teorema 4.5, contradizendo}

a Proposi¸c˜ao 4.8. ¥

4.13 Corol´ario. `1 _{e `}∞ _{n˜ao s˜ao reflexivos.}

Prova. Como `1_{é separável, enquanto que o seu dual é isometricamente isomorfo a `}∞_{, que não é separável,}

segue do Corolário 4.6 que `1 _{não é reflexivo. Consequentemente, pelo Teorema 4.4, seu dual também não}

pode ser reflexivo, ou seja, `∞ _{n˜ao ´e reflexivo. ¥}

Veja tamb´em o Exerc´ıcio 4.5 para uma demonstra¸c˜ao alternativa.

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