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A solu¸c˜ao por m´etodos variacionais de equa¸c˜oes el´ıpticas lineares de 2a _{ordem baseia-se, no}

que diz respeito a resultados de existˆencia, em resultados abstractos em espa¸cos de Hilbert que generalizam observa¸c˜oes geometricamente intuitivas em Rn_{. O resultado central deste tipo que}

iremos usar ´e o teorema de Stampacchia e o seu corol´ario o teorema de Lax-Milgram.

No que se segue suporemos que o leitor tem presente a teoria b´asica sobre espa¸cos de Hilbert. Designaremos por H um espa¸co de Hilbert sobre os reais em que est´a definido um produto interno (_{·, ·) cuja norma associada k · k torna H um espa¸co de Banach. O dual topol´ogico de H ´e} designado H0_{, usaremos a nota¸c˜ao}

h·, ·iH0_×H para o produto de dualidade e supomos conhecido

o importante teorema de representa¸c˜ao de Riesz:

Teorema 7.1.1. Seja H um espa¸co de Hilbert e um φ_{∈ H}0_{um funcional linear cont´ınuo. Ent˜ao}

existe z_{∈ H ´unico tal que hφ, xi}H0_×H = (z, x) para todo o x∈ H.

A ideia base de car´acter geom´etrico que usaremos na demonstra¸c˜ao do teorema de Stampac- chia pode ser motivada pela observa¸c˜ao de que se x ∈ H, K ⊂ H for um convexo n˜ao vazio e existir em K um ponto y a distˆancia m´ınima de x, isto ´e,

kx − yk = inf_w∈Kkx − wk (7.1)

ent˜ao dado um qualquer outro ponto v_{∈ K a fun¸c˜ao}

[0, 1]_{3 t 7→ kx − (y + t(v − y))k}

tem necessariamente um m´ınimo para t = 0 pois qualquer ponto x_{− (y + t(v − y)) ∈ K se} t∈ [0, 1]. Se considerarmos ent˜ao

[0, 1]_{3 t 7→ kx − (y + t(v − y))k}2=_{kx − yk − 2t(x − y, v − y) + t}2_{kv − yk} verificamos que 0 ser m´ınimo implica

(x− y, v − y) ≤ 0, ∀v∈K. (7.2)

Reciprocamente se se verificar (7.2) ent˜ao y ´e o ´unico ponto de K que verifica (7.1).

Nada no argumento anterior garante que existe um ponto de K a distˆancia m´ınima de x. No entanto se supusermos adicionalmente que K ´e fechado ´e poss´ıvel provar:

Proposi¸c˜ao 7.1.2. Seja H um espa¸co de Hilbert, x_{∈ H e K ⊂ H um convexo fechado e n˜ao} vazio. Ent˜ao existe um ´unico y _{∈ K a distancia m´ınima de x, isto ´e verificando as condi¸c˜oes} equivalentes (7.1) e (7.2).

Cap´ıtulo 7. M´etodos Variacionais

PSfrag replacements _K

x

y v

Figura 7.1: Projec¸c˜ao num convexo fechado e n˜ao vazio

Demonstra¸c˜ao. Considere-se uma sucess˜ao (yk)k∈N⊂ K tal que kyk− xk → infy∈Kky − xk ≡ d.

O ponto essencial a estabelecer ´e que esta sucess˜ao ´e uma sucess˜ao de Cauchy para podermos usar a completude dos espa¸cos de Hilbert, o facto de K ser fechado e a continuidade da norma para garantir que a sucess˜ao ´e convergente.

Dados dois termos da sucess˜ao yj, yk o ponto m´edio yj+y₂ k ∈ K verificar´a

yj+ yk 2 − x ≥ d.

Aplicando a identidade do paralogramo (de “lados” x− yj e x− yk) obt´em-se

2_{kx − y}jk2+ 2kx − ykk2= 2  x₋yj+ yk 2  2 +_kyj− ykk2 donde kyj− ykk2= 2kx − yjk2+ 2kx − ykk2− 2  x₋yj+ yk 2  2 ≤ 2kx − yjk2+ 2kx − ykk2− 4d2→ 0,

quando j, k_{→ ∞ pelo que se trata efectivamente de uma sucess˜ao de Cauchy.}  Dados x e K como na proposi¸c˜ao anterior passaremos a designar o ponto de K a distˆancia m´ınima de x por PK(x). A aplica¸c˜ao PK n˜ao ´e em geral linear mas ´e cont´ınua, mais precisamente

lipschitziana, e a sua constante de Lipschitz ´e facilmente estimada.

Proposi¸c˜ao 7.1.3. Se K tem as mesmas propriedades da proposi¸c˜ao anterior ent˜ao kPK(x1)− PK(x2)k ≤ kx1− x2k, ∀x1,x2∈H.

Demonstra¸c˜ao. Sejam yi= PK(xi) para i = 1, 2 e considere-se (7.2) com x = x1, y = y1, v = y2

e com x = x2, y = y2, v = y1. Obtemos ent˜ao

(x1− y1, y2− y1)≤ 0, 0≤ (x2− y2, y2− y1). pelo que (x1− y1, y2− y1)≤ (x2− y2, y2− y1). e da´ı ((x1− x2)− (y1− y2), y2− y1)≤ 0,

7.1. Os Teoremas de Stampacchia e Lax-Milgram ou seja

(x1− x2, y1− y2)≥ ky1− y2k2

donde o resultado segue via desigualdade de Cauchy-Schwarz. 

Uma aplica¸c˜ao a : H× H → R com H um espa¸co vectorial real diz-se bilinear se para todos os x, y, z ∈ H e α ∈ R tivermos a(αx, y) = a(x, αy) = αa(x, y), a(x + y, z) = a(x, z) + a(y, z) e a(x, y + z) = a(x, y) + a(x, z). Se adicionalmente H for normado a forma bilinear a diz-se cont´ınua se existir C_{≥ 0 tal que |a(x, y)| ≤ Ckxkkyk para todos os x, y ∈ H e coerciva se existir} c > 0 tal que_{|a(x, x)| ≥ ckxk}2_{para todo o x}

∈ H

Teorema 7.1.4 (Stampacchia). Seja H um espa¸co de Hilbert real e K _{⊂ H um subconjunto} convexo fechado. Considerem-se em H uma forma bilinear cont´ınua e coerciva a : H_{× H → R} e um funcional linear cont´ınuo λ : H_{→ R. Ent˜ao existe um e um s´o u ∈ K tal que}

a(u, v_{− u) ≥ λ(v − u), ∀v ∈ K.} (7.3)

Adicionalmente se a fˆor uma forma sim´etrica u ´e uma solu¸c˜ao do problema 1

2a(u, u)− λ(u) = infv∈K

1

2a(v, v)− λ(v). (7.4)

Demonstra¸c˜ao. Pelo teorema de Riesz existe um z_{∈ H ´unico tal que λ(v) = (z, v) para todo o} v_{∈ H. De forma an´aloga, como para u ∈ H fixado a aplica¸c˜ao H 3 v 7→ a(u, v) ´e um funcional} linear cont´ınuo, existe um elemento ´unico de H dependente de u, que designamos por Au, tal que a(u, v) = (Au, v) para todo o v ∈ H. ´E f´acil de verificar que A : H → H ´e um operador linear cont´ınuo e adicionalmente a hip´otese de coercividade de a implica que existe c > 0 tal que (Au, u)≥ ckuk2_{para todos u}

∈ H. Assim (7.3) pode ser reformulada como

(Au, v_{− u) ≥ (z, v − u), ∀}v∈K. (7.5)

ou de forma equivalente

(Au− z, v − u) ≥ 0, ∀v∈K.

ou ainda, se ρ for um n´umero positivo a escolher posteriormente, (_{−ρ(Au − z) + u − u, v − u) ≤ 0, ∀}v∈K.

A proposi¸c˜ao 7.1.2 permite interpretar este problema na forma u = PK(u− ρ(Au − z)),

isto ´e, se S : K _{→ K for definida por Su = P}K(ρ(Au− z) + u) ent˜ao u ´e um ponto fixo da

aplica¸c˜ao S. Vamos usar o teorema do ponto fixo de Banach para garantir que S possui um ponto fixo ´unico desde que ρ > 0 seja escolhido suficientemente pequeno. Para tal temos que estimar kSu1− Su2k em termos de ku1− u2k para u1, u2∈ K. Usando a proposi¸c˜ao 7.1.3 obt´em-se e as

propriedades de continuidade e coercividade de A estima-se

kSu1− Su2k2=ku1− ρ(Au1− z) − u2+ ρ(Au2− z) − k2=ku1− u2− ρ(A(u1− u2))k2

=_ku1− u2k2− 2ρ(u1− u2, A(u1− u2)) + ρ2kA(u1− u2)k2

≤ (1 − 2cρ + kAk2ρ2)_ku1− u2k2

Assim S ´e uma aplica¸c˜ao de contrac¸c˜ao se_{kAkρ − 2c < 0 o que estabelece a existˆencia de uma} solu¸c˜ao de (7.3).

Para estabelecer (7.4) basta notar que a(·, ·) define um produto interno em H que ´e topolo- gicamente equivalente ao produto interno original gra¸cas `a hip´otese de coercividade e aplicar a

Cap´ıtulo 7. M´etodos Variacionais Um corol´ario quase imediato ´e o

Teorema 7.1.5 (Lax-Milgram). Suponha-se que K ´e um subespa¸co fechado dum espa¸co de Hilbert H, a ´e uma forma bilinear cont´ınua e coerciva em H e λ um funcional linear cont´ınuo em H. Ent˜ao existe um e um s´o u_{∈ K tal que}

a(u, v) = λ(v)∀v∈K

Demonstra¸c˜ao. Note-se que sendo K um subespa¸co de H para todo o v_{∈ K temos v + u, −v +} u _{∈ K em que u ∈ K ´e a solu¸c˜ao obtida por aplica¸c˜ao do teorema de Stampacchia. Da´ı} que na desigualdade variacional podemos substituir v por v + u e _{−v + u obtendo a igualdade}

pretendida. 

7.2

Introdu¸c˜ao aos espa¸cos de Sobolev