The Storage Spectrum

A equa¸c˜ao diferencial parcial n˜ao-linear

a(x, y, u)ux+ b(x, y, u)uy= c(x, y, u) (2.5)

´e chamada uma equa¸c˜ao quasilinear porque ela ´e linear em suas derivadas de ordem mais alta (ou seja, as derivadas de ordem 1).

Esta equa¸c˜ao bidimensional tamb´em pode ser resolvida atrav´es do m´etodo das caracter´ısticas, embora a situa¸c˜ao agora seja mais complicada. Neste caso, o m´etodo das caracter´ısticas reduz a equa¸c˜ao diferencial parcial `a equa¸c˜ao diferencial ordin´aria

du

dt = c(x, y, u) ao longo das curvas em que _

x′_{(t) = a(x(t), y(t), u(t))}

y′_{(t) = b(x(t), y(t), u(t))} .

Observe que as curvas caracter´ısticas n˜ao podem mais ser encontradas independentemente: a velocidade (x′_{(t), y}′_{(t)) das curvas caracter´ısticas depende da solu¸c˜ao u. Como esta ´e desconhecida a priori, somos}

agora for¸cados a resolver um problema simultˆaneo: encontrar, ao mesmo tempo, as curvas caracter´ısticas e a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao quasilinear, ou seja, resolver o sistema completo de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias

n˜ao-lineares _

 

x′_{(t) = a(x(t), y(t), u(t))}

y′_{(t) = b(x(t), y(t), u(t))}

u′_{(t) = c(x(t), y(t), u(t))}

, sujeito a alguma condi¸c˜ao inicial.

As solu¸c˜oes do sistema acima s˜ao curvas no espa¸co tridimensional xyu. Estas tamb´em ser˜ao chamadas de curvas caracter´ısticas. Para compreender melhor o seu significado, desenvolveremos a teoria do m´etodo das caracter´ısticas a partir de argumentos puramente geom´etricos. Curiosamente, a teoria das curvas carac- ter´ısticas residindo no espa¸co tridimensional ´e mais poderosa e ser´a capaz de dar uma resposta mais completa ao problema de Cauchy tamb´em para as equa¸c˜oes de primeira ordem lineares.

Uma solu¸c˜ao u para a equa¸c˜ao quasilinear representa uma superf´ıcie bidimensional no espa¸co tridimen- sional xyu, gr´afico da fun¸c˜ao u = u(x, y). Esta superf´ıcie ´e chamada uma superf´ıcie solu¸c˜ao. O vetor normal `a esta superf´ıcie em cada ponto ´e o vetor

(ux(x, y), uy(x, y),−1).

Resolver a equa¸c˜ao quasilinear ´e equivalente a encontrar uma superf´ıcie que ao mesmo tempo seja o gr´afico de uma fun¸c˜ao u e cujo vetor normal satisfa¸ca a restri¸c˜ao

(ux(x, y), uy(x, y),−1) · (a(x, y, u(x, y)), b(x, y, u(x, y)), c(x, y, u(x, y))) = 0. (2.6)

Em outras palavras, uma superf´ıcie u = u(x, y) tal que o vetor (a(x, y, u(x, y)), b(x, y, u(x, y)), c(x, y, u(x, y))) esteja contido no plano tangente `a superf´ıcie em cada ponto (x, y, u(x, y)). Considere uma tal superf´ıcie solu¸c˜ao. Dado um ponto (x0, y0, u0) desta superf´ıcie, procuramos condi¸c˜oes sobre uma curva (x(t), y(t), u(t))

passando por este ponto no instante t = 0 para que ela esteja inteiramente contida na superf´ıcie. Como primeiro passo, exigimos que o vetor tangente (x′_{(0), y}′_{(0), u}′_{(0)) esteja no plano tangente `a superf´ıcie solu¸c˜ao}

no ponto (x0, y0, u0). Este plano tangente tem equa¸c˜ao

onde p = ux(x0, y0) e q = uy(x0, y0), ou seja, seu vetor normal ´e o vetor (p, q,−1). Os valores de p e q s˜ao

desconhecidos, j´a que n˜ao sabemos qual ´e a solu¸c˜ao u, e `a princ´ıpio a equa¸c˜ao (2.7) definiria uma fam´ılia a dois parˆametros de planos passando pelo ponto (x0, y0, u0). Contudo, sabemos tamb´em que os valores de p

e q est˜ao restringidos pela equa¸c˜ao

a(x0, y0, u0)p + b(x0, y0, u0)q = c(x0, y0, u0). (2.8)

Esta equa¸c˜ao define q em fun¸c˜ao de p, ou vice-versa, j´a que assumimos que a e b n˜ao podem se anular simultaneamente, caso contr´ario a equa¸c˜ao diferencial parcial deixaria de existir em um ponto. Assim, as equa¸c˜oes (2.7) e (2.8) juntas determinam uma fam´ılia de planos a um parˆametro que inclui o plano tangente `

a superf´ıcie solu¸c˜ao em (x0, y0, u0).

Podemos garantir, no entanto, que esta fam´ılia de planos intercepta-se ao longo de uma ´unica reta passando por (x0, y0, u0), que ´e exatamente a reta

x− x0 a(x0, y0, u0) = y− y0 b(x0, y0, u0) = u− u0 c(x0, y0, u0) . (2.9)

De fato, diferenciando as equa¸c˜oes (2.7) e (2.8) com rela¸c˜ao a p, segue que dq dp =− x− x0 y_{− y}0 =₋a(x0, y0, u0) b(x0, y0, u0) , donde x− x0 a(x0, y0, u0) = y− y0 b(x0, y0, u0) . Substituindo esta rela¸c˜ao em (2.7), temos

u_{− u}0= p(x− x0) + q b(x0, y0, u0) a(x0, y0, u0) (x_{− x}0) = pa(x0, y0, u0) + qb(x0, y0, u0) a(x0, y0, u0) (x_{− x}0) = c(x0, y0, u0) a(x0, y0, u0) (x_{− x}0),

e da´ı obtemos a segunda rela¸c˜ao:

u_{− u}0

c(x0, y0, u0)

= x− x0 a(x0, y0, u0)

.

O vetor dire¸c˜ao da reta dada pela equa¸c˜ao (2.9) ´e o vetor (a(x0, y0, u0), b(x0, y0, u0), c(x0, y0, u0)). Portanto,

podemos garantir que o vetor (x′_{(0), y}′_{(0), u}′_{(0)) ser´a tangente `a superf´ıcie solu¸c˜ao passando por (x}

0, y0, u0)

desde que ele seja um m´ultiplo escalar deste vetor dire¸c˜ao. Reparametrizando a curva, se necess´ario, podemos tomar a constante de proporcionalidade como sendo 1. Como este argumento pode ser repetido para todo ponto na curva, segue que a curva (x(t), y(t), u(t)) que satisfaz o sistema de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias

n˜ao-lineares _

 

x′_{(t) = a(x(t), y(t), u(t))}

y′_{(t) = b(x(t), y(t), u(t))}

u′(t) = c(x(t), y(t), u(t))

(2.10) est´a contida em uma superf´ıcie solu¸c˜ao. Estas curvas s˜ao chamadas as curvas caracter´ısticas da equa¸c˜ao quasilinear e o sistema de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias ´e chamado o sistema de equa¸c˜oes carac- ter´ısticas ou, simplesmente, sistema caracter´ıstico.. Observe que no caso linear, em que os coeficientes a, b n˜ao dependem de u, as proje¸c˜oes destas curvas caracter´ısticas no plano xy s˜ao as curvas caracter´ısticas no sentido do cap´ıtulo anterior. Uma superf´ıcie solu¸c˜ao dever´a ser a uni˜ao de todas estas curvas que interceptam transversalmente uma determinada curva inicial dada, embora isso n˜ao seja uma condi¸c˜ao suficiente. Assim, para obtermos uma superf´ıcie solu¸c˜ao, precisamos primeiramente resolver o sistema caracter´ıstico sujeito `a

condi¸c˜ao inicial _   x(s, 0) = x0(s) y(s, 0) = y0(s) u(s, 0) = u0(s) (2.11)

para cada s fixado, onde (x0(s), y0(s), u0(s)) ´e uma parametriza¸c˜ao da curva inicial. Uma superf´ıcie que

satisfaz estas condi¸c˜oes ´e chamada uma superf´ıcie integral (porque para obtˆe-la ´e necess´ario integrar o campo vetorial (a, b, c)), mas n˜ao necessariamente uma superf´ıcie solu¸c˜ao, pois n˜ao ´e sempre verdade que ela pode ser escrita como um gr´afico de uma fun¸c˜ao de (x, y). Para que isso seja verdade, uma vez obtida a solu¸c˜ao

(x(s, t), y(s, t), u(s, t)), ´e necess´ario encontrar s e t em fun¸c˜ao de x e y,

s = s(x, y), t = t(x, y)

de modo que a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao quasilinear possa ser escrita na forma u = u(s(x, y), (t(x, y)) = u(x, y).

Isso nem sempre ´e poss´ıvel ao longo de todo o plano ou dom´ınio dado. O motivo ´e que, embora as curvas caracter´ısticas n˜ao se interceptam (pelo teorema de unicidade para solu¸c˜oes de equa¸c˜oes diferenciais or- din´arias), n˜ao existe raz˜ao a priori para impedir que as suas proje¸c˜oes no plano xy se interceptem; assim, em um ponto de interse¸c˜ao das proje¸c˜oes caracter´ısticas, poder´a haver um conflito entre duas informa¸c˜oes potencialmente diferentes transmitidas a partir de uma condi¸c˜ao inicial, e a solu¸c˜ao deixa de existir naquele ponto. Esta situa¸c˜ao n˜ao ocorre no caso linear porque as proje¸c˜oes caracter´ısticas s˜ao as solu¸c˜oes de um sistema de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias no plano. O que acontece quando as proje¸c˜oes caracter´ısticas se interceptam ser´a estudado com mais detalhe no pr´oximo cap´ıtulo.

Exemplo 2.3. O m´etodo das caracter´ısticas residindo no espa¸co tridimensional tamb´em pode ser usado para resolver as equa¸c˜oes lineares de primeira ordem, sendo mais simples de usar que o m´etodo das caracter´ısticas do cap´ıtulo anterior. Como exemplo, vamos us´a-lo para resolver a equa¸c˜ao linear



xux+ (x + y)uy= u + 1,

u (x, 0) = x2_.

As curvas caracter´ısticas devem satisfazer o sistema    x′_{= x} y′ _{= x + y} u′_{= u + 1} .

A curva inicial pode ser parametrizada por    x(s, 0) = s y(s, 0) = 0 u(s, 0) = s2 .

Observe que o vetor tangente a esta curva no ponto (s, 0, s2_{) ´e o vetor (1, 0, 2s), enquanto que a curva}

caracter´ıstica que intercepta a curva no ponto (s, 0, s2_{) tem vetor tangente (s, s + 0, s}2_{+ 1); como os}

vetores (1, 0, 2s) e (s, s, s2_{+ 1) nunca s˜ao paralelos, a curva inicial intercepta as curvas caracter´ısticas}

da equa¸c˜ao sempre transversalmente. Resolvendo por integra¸c˜ao simples

   ∂x ∂t(s, t) = x(t) x(s, 0) = s para cada s fixado, obtemos

Da´ı podemos resolver a equa¸c˜ao _   ∂y ∂t(s, t) = y(t) + se t y(s, 0) = 0

para cada s fixado, multiplicando a equa¸c˜ao pelo fator integrante e−t, obtendo y(s, t) = stet_. Finalmente, resolvemos    ∂u ∂t(s, t) = u(t) + 1 u(s, 0) = s2 obtendo u(s, t) = (s2_{+ 1)e}t − 1.

Para escrever s, t em fun¸c˜ao de x, y, note que t = y/x, donde s = xe−y/x_{. Assim,}

u(x, y) = (x2e−2y/x+ 1)ey/x_{− 1 = x}2e−y/x+ ey/x_{− 1.}

Esta solu¸c˜ao, no entanto, n˜ao vale se x = 0. O motivo ´e que n˜ao podemos escrever t em fun¸c˜ao de x, y quando x = 0: a superf´ıcie integral gerada pelas curvas caracter´ısticas que interceptam transver- salmente a curva inicial dada n˜ao pode ser escrita como um gr´afico de uma fun¸c˜ao de x, y na vizinhan¸ca do ponto (0, 0). 

Exemplo 2.4. O m´etodo das caracter´ısticas introduzido neste cap´ıtulo tamb´em pode ser usado para resolver mais facilmente as equa¸c˜oes lineares com coeficientes constantes. Por exemplo, no problema de valor inicial para a equa¸c˜ao do transporte



ut+ cux= 0 se x∈ R e t ∈ R,

u(x, 0) = f (x) se x∈ R, as curvas caracter´ısticas desta equa¸c˜ao devem satisfazer

   x′_{(t) = c} t′_{(t) = 1} u′(t) = 0 ,

sujeitas `a condi¸c˜ao inicial (i.e., parametriza¸c˜ao da curva inicial) x(0) = s, t(0) = 0 e u(0) = f (s). o que leva a

x = s + ct, t = t u = f (s). Escrevendo s, t em fun¸c˜ao de x, t obtemos s = x_{− ct, logo}

u(x, t) = f (x_{− ct).}

No cap´ıtulo anterior, esta solu¸c˜ao foi obtida independentemente, e menos simplesmente, atrav´es da regra da cadeia (Teorema 1.1 e seu corol´ario) e pela transformada de Fourier (Exerc´ıcio 1.1). 

2.1.2

Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 2.1. Nos ´ıtens a seguir, resolva o problema de Cauchy para a equa¸c˜ao quasilinear dada, determi- nando o dom´ınio da solu¸c˜ao.

(a)  xux− yuy= u2, u(x, 1) = 1. (b)  uux+ xuy= y, u(0, y) =_{−y, y > 0.} (c)  −yux+ xuy= u2+ 1, u(x, 0) =_−x2_{, x > 0.} (d)  uux+ uuy=−x − y, u(s,_{−s) = 2s, s > 0.} (e)  (x2_{+ y}2_)u x+ 2xyuy = xu,

u(a, a cos s) = a sen s, 0 < s < π, a∈ R, a > 0.