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Defini¸c˜ao. Se λj´e um autovalor do laplaciano em Ω e uj´e uma autofun¸c˜ao associada, definimos o conjunto

nodal de uj por

Γj= {x ∈ Ω : uj(x) = 0} .

As componentes conexas de Ω\Γj s˜ao chamadas os dom´ınios nodais de uj.

O conjunto nodal de uj´e simplesmente o conjunto dos pontos onde ujse anula; a terminologia nodal ´e oriunda

do estudo das vibra¸c˜oes de cordas e membranas em Mecˆanica. O Teorema 1.21 afirma que o conjunto nodal de u1 ´e vazio; em particular, se Ω ´e conexo, ent˜ao Ω\Γ1 possui uma componente conexa, isto ´e, apenas

um dom´ınio nodal. Para as demais autofun¸c˜oes, o Teorema do Conjunto Nodal de Courant (Teorema 1.24 abaixo) afirma que o n´umero de dom´ınios nodais da autofun¸c˜ao uj n˜ao pode exceder j.

1.22 Lema. Seja Ω ⊂ Rn _{um aberto limitado conexo e}

0 < λ1< λ26 . . . 6 λj6 . . .

os autovalores de Dirichlet do laplaciano e u1, u2, . . . , uj, . . . as respectivas autofun¸c˜oes associadas. Se

λj tem multiplicidade r, de modo que

λj−1< λj= λj+1= . . . = λj+r−1< λj+r,

Ent˜ao uj possui no m´aximo j + r − 1 dom´ınios nodais.

Prova: A demonstra¸c˜ao do lema ´e baseada na caracteriza¸c˜ao variacional dos autovalores do laplaciano. Suponha que uj tenha m dom´ınios nodais Ω1, · · · , Ωm. Defina

wi(x) =

½

βiuj(x) se x ∈ Ωi,

0 caso contr´ario,

onde o fator de escala βi´e escolhido de tal forma que kwikL2_(Ω)= 1. Observe que, como os dom´ınios nodais Ωi s˜ao disjuntos, as fun¸c˜oes wi s˜ao ortogonais em L2(Ω) e em W01,2(Ω). Como

Z Ω ∇uj· ∇v = λj Z Ω ujv

para todo v ∈ W₀1,2(Ω), em particular temos Z Ωi ∇wi· ∇wi= λj Z Ωi w2i

(embora wiseja uma autofun¸c˜ao do laplaciano em Ωiassociada a λj, win˜ao ´e uma autofun¸c˜ao do laplaciano

em Ω associada a λj; pelo Princ´ıpio da Continua¸c˜ao ´Unica (veja o lema a seguir), uma autofun¸c˜ao que se

anula em um aberto, deve-se anular no dom´ınio todo). Considere combina¸c˜oes lineares v dos wi tais que

kvk_L2_(Ω)= 1, isto ´e, v = m X i=1 aiwi

e a1, . . . , am∈ R s˜ao quaisquer escalares que satisfazem m

X

i=1

Rodney Josu´e Biezuner 33 Em particular, h∇v, ∇vi_L2_(Ω)= m X i=1 a2 ih∇wi, ∇wiiL2_(Ω i)= m X i=1 a2 iλjhwi, wiiL2_(Ω i)= λj, ou seja, h∇v, ∇vi_L2_(Ω) kvk_L2_(Ω) = λj.

Por outro lado, podemos escolher a1, . . . , amde tal forma que

hv, uiiL2_(Ω)= 0 para i = 1, . . . , m − 1, pois o sistema

             hv, u1i = n P i=1 aihwi, u1i = 0 .. . hv, um−1i = n P i=1 aihwi, um−1i = 0

possui m − 1 equa¸c˜oes e m inc´ognitas. Para esta escolha de v, segue do Teorema 1.13 que

h∇v, ∇vi_L2_(Ω) kvk2_L2_(Ω) = k∇vk 2 L2_(Ω) kvk2_L2_(Ω) = ∞ P i=1 λihv, uii2L2_(Ω) ∞ P i=1 hv, uii2L2_(Ω) = ∞ P i=m λihv, uii2L2_(Ω) ∞ P i=m hv, uii2L2_(Ω) > λm ∞ P i=m hv, uii2L2_(Ω) ∞ P i=m hv, uii2L2_(Ω) = λm. Portanto, λm6 λj.

Como λj< λj+r, segue que λm< λj+r, donde m < n + r. ¥

Em particular, se λj ´e um autovalor simples, o n´umero m´aximo de dom´ınios nodais de uj ´e j. Para

mostrar que esta mesma estimativa vale para as demais autofun¸c˜oes, Courant e Hilbert produziram um refinamento complicado do seu argumento no lema acima. A demonstra¸c˜ao simplificada apresentada a seguir ´e devida a Herrman [Herrman] e Pleijel [Pleijel] (reproduzida em [Gladwell-Zhu]) e ´e baseada no Princ´ıpio da Continua¸c˜ao ´Unica (uma demonstra¸c˜ao deste pode ser encontrada em [Aronszajn]):

1.23 Lema. (Princ´ıpio da Continua¸c˜ao ´Unica) Seja Ω ⊂ Rn_{um aberto limitado conexo. Se u ´e uma solu¸c˜ao}

de

−∆u = λu em Ω que se anula em um aberto n˜ao vazio de Ω, ent˜ao u ≡ 0.

1.24 Teorema. (Teorema do Conjunto Nodal de Courant) Seja Ω ⊂ Rn _{um aberto limitado conexo e}

0 < λ1< λ26 . . . 6 λj6 . . .

os autovalores de Dirichlet do laplaciano e u1, u2, . . . , uj, . . . as respectivas autofun¸c˜oes associadas.

Ent˜ao uj possui no m´aximo j dom´ınios nodais.

Prova: Suponha por absurdo que uj tenha m > j dom´ınios nodais. Defina wi e v como na demonstra¸c˜ao

do Lema 1.22, escolhendo

de modo que v ≡ 0 em Ωj+1∪ . . . ∪ Ωm. Como antes, temos

h∇v, ∇vi_L2_(Ω)

kvk_L2_(Ω)

= λj

e podemos escolher a1, . . . , aj de tal forma que

hv, uiiL2_(Ω)= 0

para i = 1, . . . , j − 1. Isso implica que v ´e uma autofun¸c˜ao associada a λj (como vimos na demonstra¸c˜ao

do Teorema 1.13, nestas condi¸c˜oes o m´ınimo λj do quociente de Rayleigh ´e realizado em uma autofun¸c˜ao

de λj), isto ´e, ´e uma solu¸c˜ao fraca de −∆u = λju em Ω. Como v se anula em Ωj+1∪ . . . ∪ Ωm, segue do

Princ´ıpio da Continua¸c˜ao ´Unica que v ≡ 0 em Ω, contradizendo kvk_L2_(Ω)= 1. ¥ Observe que o Teorema 1.24 implica que se λj tem multiplicidade r, de modo que

λj−1< λj= λj+1= . . . = λj+r−1< λj+r,

ent˜ao qualquer autofun¸c˜ao associada a λj possui no m´aximo j dom´ınios nodais, mesmo as autofun¸c˜oes

uj+1, . . . , uj+r−1.

1.25 Corol´ario. O Teorema do Conjunto Nodal de Courant vale mesmo se Ω n˜ao ´e conexo. Prova: Sejam Ω = Ω1∪ . . . ∪ Ωp a decomposi¸c˜ao de Ω em componentes conexas. Denote por

©

λk j

ª

j∈N

a seq¨uˆencia crescente de autovalores de Ωk com

©

uk j

ª

j∈N as correspondentes autofun¸c˜oes. Seja {λj}j∈N =

© λ1 j ª j∈N∪ . . . ∪ ©

λp_jª_j∈N a seq¨uˆencia crescente de autovalores de Ω; as autofun¸c˜oes correspondentes s˜ao da forma uj(x) = ½ uk i (x) se x ∈ Ωk, 0 caso contr´ario,

para alguns ´ındices i, k, com j > i. Pelo Teorema do Conjunto Nodal de Courant aplicado a Ωk, uki n˜ao tem

mais que i dom´ınios nodais em Ωk, logo uj n˜ao tem mais que j dom´ınios nodais em Ωk e ´e nula fora de Ωk.

¥

1.26 Corol´ario. Uma autofun¸c˜ao u2 associada ao segundo autovalor λ2 possui exatamente 2 dom´ınios

nodais. Autofun¸c˜oes associadas a outros autovalores λj, j 6= 1, 2, possuem pelo menos dois dom´ınios

nodais.

Prova: Pelo Teorema do Conjunto Nodal de Courant, o n´umero de dom´ınios nodais de u2n˜ao pode exceder

2. Por outro lado, o fato de que uma autofun¸c˜ao u1 associada ao primeiro autovalor λ1 6= λ2 ter o mesmo

sinal em Ω, juntamente com o fato que u1 ⊥ u2, implicam que u2 muda de sinal em Ω, logo n˜ao pode ter

apenas um dom´ınio nodal. Este mesmo argumento de ortogonalidade, u1⊥ ujse j 6= 1, implica que qualquer

autofun¸c˜ao associada a um autovalor diferente de λ1 necessariamente muda de sinal em Ω. ¥

O Corol´ario 1.26 sugere que a estimativa dada no Teorema 1.24 ´e a melhor poss´ıvel. Isso n˜ao ´e verdade, no entanto. Usando a desigualdade de Faber-Krahn e a Lei de Weyl sobre a expans˜ao assint´otica dos autovalores, Pleijel [Pleijel] provou que para valores suficientemente grandes de j, o n´umero m´aximo de dom´ınios nodais

j nunca ´e atingido (Corol´ario 1.30, a seguir). A demonstra¸c˜ao da desigualdade de Faber-Krahn dada a seguir

´e baseada na simetriza¸c˜ao de Schwartz, que definiremos a seguir.

Defini¸c˜ao. Seja Ω ⊂ Rn _{um aberto limitado. O dom´ınio simetrizado Ω}∗_{´e a bola B = {x ∈ R}n_{: |x| < R}}

que possui o mesmo volume de Ω.

Dada uma fun¸c˜ao u : Ω −→ R, a fun¸c˜ao simetrizada u∗ _{: Ω}∗ _{−→ R ´e definida da seguinte forma.}

Denotando Ωµ= {x ∈ Ω : u (x) > µ} definimos u∗(x) = sup©µ : x ∈ Ω∗µ ª .

Rodney Josu´e Biezuner 35 Observe que u∗ _{´e uma fun¸c˜ao radialmente sim´etrica, n˜ao-crescente. Assumiremos os seguintes resultados}

sem demonstra¸c˜ao (para uma prova, veja [Bandle], Lema 2.4 e Corol´ario 2.1): 1.27 Lema. Seja Ω ⊂ Rn _{um aberto limitado. Ent˜ao}

Z Ω f 6 Z Ω∗ f∗ e Z Ω |∇u|2> Z Ω∗ |∇u∗_|2_.

1.28 Teorema. (Desigualdade de Faber-Krahn) Seja Ω ⊂ R2 _{um aberto limitado. Se λ}

1 ´e o primeiro

autovalor de Dirichlet do laplaciano em Ω, ent˜ao vale λ1>

πα2 0,1

A ,

onde α0,1 ´e o primeiro zero positivo da fun¸c˜ao de Bessel J0 e A ´e a ´area de Ω.

Prova: Seja (un) ⊂ W01,2(Ω) uma seq¨uˆencia minimizante para o quociente de Rayleigh I do primeiro

autovalor de Dirichlet λ1(Ω) do laplaciano em Ω. Como I (|u|) = I (u), podemos assumir un> 0 para todo

n. Ent˜ao u∗

n∈ W01,2(D), onde D = Ω∗ ´e o disco de raio R que possui ´area A. Segue que

λ1(Ω) = lim inf R Ω|∇un| 2 R Ωu2n > lim inf R D|∇u∗n|2 R D(u∗n)2 > min u∈W1,2 0 (Ω)\{0} R Ω|∇u| 2 R Ωu2 = λ1(D) = α 2 0,1 R2 = π πR2α 2 0,1= πα2 0,1 A . ¥

A desigualdade de Faber-Krahn entre outras coisas comprova a conjectura de Rayleigh de que entre todas as regi˜oes de mesma ´area, o disco tem o menor primeiro autovalor.

1.29 Teorema. (Lei de Weyl) Seja Ω ⊂ R2 _{um aberto limitado conexo e}

0 < λ1< λ26 . . . 6 λj6 . . .

os autovalores de Dirichlet do laplaciano em Ω. Ent˜ao λj ∼4πj

A ,

onde A ´e a ´area de Ω. Mais geralmente, se Ω ⊂ Rn _{´e um aberto limitado, ent˜ao}

λj ∼ 4π2 µ j ωnV ¶2/n ,

Prova: Veja [Weyl] ou [Courant-Hilbert], p´ag. .429–443 ¥

1.30 Corol´ario. Seja Ω ⊂ R2 _{um aberto limitado conexo. Existe apenas um n´umero finito de autovalores}

Prova: A demonstra¸c˜ao deste corol´ario depende da observa¸c˜ao de que se u ´e uma autofun¸c˜ao associada a um certo autovalor de Dirichlet λ e Ωi ´e qualquer dom´ınio nodal de u, ent˜ao λ ´e o primeiro autovalor do

laplaciano em Ωi, isto ´e,

λ1(Ωi) = λ.

De fato, ui= u|Ωi ´e uma autofun¸c˜ao associada a λ em Ωi, pois ui∈ C2(Ωi) ∩ C0

¡ Ωi

¢

satisfaz −∆ui= λui

em Ωi e ui = 0 em ∂Ωi (pois ∂Ωi est´a contida na uni˜ao do conjunto nodal de u e ∂Ω, onde u = 0). Al´em

disso, uin˜ao muda de sinal em Ωi por defini¸c˜ao de dom´ınio nodal de u, logo possui apenas um dom´ınio nodal

e portanto segue do Corol´ario 1.26 que ui´e uma autofun¸c˜ao associada ao primeiro autovalor de Dirichlet em

Ωi.

Sejam Ω1, · · · , Ωm, m 6 j, os dom´ınios nodais de uma autofun¸c˜ao u associada a λj. Como λj = λ1(Ωi)

para todo i, segue da Desigualdade de Faber-Krahn que

λj>

πα2 0,1

A (Ωi),

onde A (Ωi) ´e a ´area de Ωi, para todo i. Escrevendo estas desigualdades na forma

A (Ωi)

πα2 0,1

> 1

λj,

e somando-as para i = 1, . . . , m, segue que

A (Ω) πα2

0,1

> m

λj.

Logo, se o caso m´aximo m = j ocorre, temos

A (Ω) πα2

0,1

> j

λj.

Se o n´umero m´aximo m = j de dom´ınios nodais fosse atingido para um n´umero infinito de ´ındices j, tomando o limite nesta desigualdade quando j → ∞ para esta subseq¨uˆencia de ´ındices, ter´ıamos pela Lei de Weyl que

A (Ω) πα2 0,1 > A (Ω) 4π , donde α0,16 2. Mas α0,1= 2.404825558..., contradi¸c˜ao. ¥

Com rela¸c˜ao aos conjuntos nodais das autofun¸c˜oes do laplaciano, pode-se dizer que eles s˜ao altamente regulares: o conjunto nodal de uma autofun¸c˜ao u do laplaciano em Ω ⊂ Rn _{´e localmente composto de}

hiperf´ıcies de dimens˜ao n − 1, que podem se intersectar em superf´ıcies de dimens˜ao menor que n − 1 (veja [Cheng] para o enunciado preciso e sua demonstra¸c˜ao). Estas hiperf´ıcies n˜ao podem terminar no interior de Ω, o que significa que ou elas s˜ao fechadas, ou elas come¸cam e terminam na fronteira de Ω. Al´em disso, no caso bidimensional, quando as curvas nodais se intersectam, ou quando elas interceptam a fronteira, elas o fazem em ˆangulos iguais; assim, por exemplo, se uma curva nodal intercepta a fronteira, ela o faz em um ˆangulo reto, enquanto que se duas curvas nodais interceptam a fronteira no mesmo ponto, elas o fazem em ˆangulos de π/3 e guardam tamb´em um ˆangulo de π/3 entre si (veja [Courant-Hilbert]).

Exemplo 8. Como vimos no Exemplo 2, os autovalores de Dirichlet do laplaciano no quadrado Q = [0, π]2⊂

R2 _{s˜ao dados por}

Rodney Josu´e Biezuner 37 com correspondentes autofun¸c˜oes

unm(x, y) = sen nx sen my.

O autovalor λ2= λ3= 5 tem multiplicidade 2 e o seu autoespa¸co ´e constitu´ıdo pelas fun¸c˜oes da forma

u (x, y) = A sen x sen 2y + B sen 2x sen y, A, B ∈ R.

Para A = 0, u tem uma reta nodal vertical (x = π/2); para B = 0, u tem uma reta nodal horizontal (y = π/2); se A = ±B, u tem uma reta nodal diagonal (a reta y = x se A = −B e a reta y = −x + 1 se A = B); nos demais casos, a curva nodal ´e especificada pela equa¸c˜ao transcendental

A cos y + B cos x = 0,

que ´e uma curva que intercepta a fronteira em dois pontos em ˆangulos retos. Em todos os casos, a curva nodal de uma autofun¸c˜ao associada ao autovalor 5 divide o quadrado em dois dom´ınios nodais. O autovalor λ4= 8 ´e simples, com o seu autoespa¸co gerado pela autofun¸c˜ao

u (x, y) = sen 2x sen 2y,

cujo conjunto nodal ´e a uni˜ao das retas vertical x = π/2 e horizontal y = π/2; ela possui portanto quatro dom´ınios nodais.

O autovalor λ5= λ6= 10 tamb´em tem multiplicidade 2 e o seu autoespa¸co ´e constitu´ıdo pelas fun¸c˜oes

da forma

u (x, y) = A sen x sen 3y + B sen 3x sen y, A, B ∈ R.

Para A = 0, u tem duas retas nodais verticais (x = π/3 e x = 2π/3); para B = 0, u tem duas retas nodais horizontais (y = π/3 e y = 2π/3); em ambos os casos, temos trˆes dom´ınios nodais. Se A = −B,

u tem as duas diagonais do quadrado como retas nodais, originando quatro dom´ınios nodais, enquanto

que se A = B, u tem uma curva nodal fechada

sen2x + sen2y = 3/2

que divide o quadrado em apenas dois dom´ınios nodais, a regi˜ao interior `a curva e a regi˜ao exterior. Pleijel verifica em [Pleijel] que os ´unicos autovalores do laplaciano no quadrado que possuem aut- ofun¸c˜oes que assumem o n´umero maximal de dom´ınios nodais s˜ao λ1 = 2 (um dom´ınio nodal),

λ2= λ3= 5 (dois dom´ınios nodais) e λ4= 8 (quatro dom´ınios nodais). ¤

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