Sensibilite du double rapport

5.1.1 Sensibilite du double rapport

Dans le cas ou la ponderation des evenements

K

Ln'est pas appliquee, il est possible d'obtenir une expression analytique simple de la sensibilite de

R

aux erreurs d'etiquetage. Cette simpli-cation permet d'illustrer la problematique des erreurs d'etiquetage et les paragraphes suivants lui sont consacres. La methode eectivement utilisee pour tenir compte des erreurs d'etiquetage est ensuite exposee.

Les nombres d'evenements etiquetes

N

etiq sont relies aux nombres reels d'evenements

N

par l'intermediaire des probabilites



. Les evenements etiquetes

K

S et

K

L sont donnes par les expressions :

N

_S^etiq = (1;



SL)

N

S+



LS 

N

L

N

_L^etiq = (1;



LS)

N

L+



SL

N

S (5.2)

Le double rapport que l'on obtient en utilisant les evenements etiquetes (

N

etiq) est relie aux nombres

N

reels d'evenements par la formule suivante :

R

etiq=

N

L00)etiq

N

S00)etiq 

N

+; S )etiq

N

+; L )etiq = (1;



00LS)

N

L00+



00SL

N

S00 (1;



00SL)

N

S00+



00LS

N

L00  (1;



+; SL)

N

+; S +



+; LS

N

+; L (1;



+; LS)

N

+; L +



+; SL

N

+; S

:

(5.3) Le double rapport

R

reel vaut ^N00

L N00 S  N+; S N+;

L . Le rapport des evenements reels

K

L/

K

Speut ^etre mesure dans le mode charge. Posons



= ^N+;

L

N+;

S . Aux acceptances pres,



represente le rapport des nombres de desintegrations

K

L/

K

S. La formule 5.3 devient :

R

etiq= (1;



00LS)

R





+



00SL (1;



00SL) +



00LS

R





 (1;



+; SL) +



+; LS 



(1;



+; LS)



+



+; SL

:

(5.4)

Plusieurs eets peuvent ^etre isoles :

Dilution de Re

(

"

0

="

)

Regardons d'abord la relation entre

R

etiq et

R

dans le cas ou les probabilites d'erreurs d'etiquetage sont egales entre les modes charges et neutres, c'est-a-dire quand



00SL =



+;

SL =



SL

et



00LS =



+;

LS =



LS. La formule 5.4 permet d'obtenir :

R

etiq;1 = ⁽¹;



LS;



SL)



(1;



SL+



LS

R

)((1;



LS)



+



SL) (

R

;1)

'

1

1 +



LS 

R





(

R

;1) (5.5)

ou la deuxieme ligne s'obtient en tenant compte du fait que



SL est petit devant



LS.

Le double rapport

R

etant proche de l'unite, l'eet de l'etiquetage se traduit essentiellement par une dilution de la valeur de

R

;1, donc de

Re

(

"

0

="

), par un facteur 1+



LS



. La valeur de



LS est 11,2 % et la valeur du rapport des intensites peut ^etre deduite du tableau des nombres d'evenements nals 3.3 :



= 0

;

514. On obtient ainsi :

Re

(

"

0

="

) = (1 +



LS 



)

Re

(

"

0

="

)_etiq'1

;

057

Re

(

"

0

="

)_etiq (5.6) Les parametres



LS et



sont connus et pris en compte avec susamment de precision. Ils n'engendrent pas d'incertitude signicative sur la mesure de

Re

(

"

0

="

). Il s'agit juste d'une dilution d'un facteur 5,7 % de la valeur mesuree.

Dierence d'etiquetage accidentel

Le calcul precedent a ete eectue dans l'hypothese ou les probabilites d'etiquetage accidentel sont les m^emes entre



+



; et



0



0. Ces probabilites ne peuvent dierer que si les deux cate-gories d'evenements ne voient pas le m^eme taux de protons dans la station d'etiquetage. Les modes charges et neutres etant enregistres simultanement, une telle dierence para^t impossible. Neanmoins, les inecacites des systemes de declenchements1 ou les pertes d'evenements dues a l'activite instantanee dans les detecteurs peuvent engendrer une dierence entre



+;

LS et



00LS, puisqu'elles sont propres a un mode et dependent de l'intensite.

Notons



LS la dierence de probabilite d'etiquetage accidentel entre



0



0 et



+



;. En remplacant



00LS par



+;

LS +



LS dans 5.4, en calculant

R

etiq;1 et en negligeant les termes en



SL et



LS devant



LS, on obtient :

R

etiq;1 = _{1 +}



+;¹ LS 

R





  (

R

;1);

R

(1 +



) 1;



+; LS 



LS 

:

(5.7)

Le terme de dilution est donc inchange (dans la limite ou



LS est petit devant



LS) et un terme correctif proportionnel a



LS doit ^etre considere. En evaluant ce terme, on obtient la sensibilite de

Re

(

"

0

="

) aux dierences d'etiquetage accidentel :

Re

(

"

0

="

)'

;(1 +



) 6(1;



+;

LS)



LS =;0

;

28



LS (5.8)

Dierence d'inecacites

La m^eme technique peut ^etre employee pour estimer le biais induit sur

Re

(

"

0

="

) par une even-tuelle dierence d'inecacite de l'etiquetage entre



0



0 et



+



;. Puisque l'etiquetage consiste en une concidence entre un proton et l'evenement considere, son inecacite depend de la reso-lution temporelle des detecteurs utilises et peut donc ^etre dierente entre neutres et charges.

Notons



SL la dierence d'inecacite et remplacons



00SL par



+;

SL +



SL dans 5.4. Par la m^eme methode que precedemment, on obtient :

R

etiq;1 = _{1 +}



+;¹ LS 

R





  (

R

;1) + ^{1 +}



(1;



+; LS)







SL 

:

(5.9)

Un terme correctif proportionnel a



SL doit donc egalement ^etre considere. La sensibilite de

Re

(

"

0

="

) aux dierences d'inecacite d'etiquetage vaut :

Re

(

"

0

="

)'

1 +



6(1;



+;

LS)







SL = +0

;

55



SL (5.10)

En resume, les eets dus aux erreurs d'etiquetage sur la mesure de

Re

(

"

0

="

) sont donnes par la formule :

Re

(

"

0

="

) = 1

;

057

Re

(

"

0

="

)_etiq;0

;

28



LS+ 0

;

55



SL (5.11) L'incertitude sur le terme de dilution est negligeable. En revanche, la ma^trise de



LS et



SL est cruciale pour la mesure de

Re

(

"

0

="

). Ces quantites doivent ^etre mesurees precisement. Si elles sont non nulles, des corrections doivent ^etre appliquees a

Re

(

"

0

="

); en tous cas, une incertitude systematique liee a la connaissance de ces dierences doit ^etre prise en compte.

1La correction de l'ecacite du declenchement vue au chapitre 4 corrigerait cet eet si elle etait pratiquee sur des evenements etiquetes. Pour ne pas compter deux fois la correction, elle est mesuree sur des evenements identies par la position de leur vertex.

5.1.1. Sensibilite du double rapport

Eet de la ponderation

Les eets estimes ci-dessus ne tiennent pas compte de la methode de ponderation des eve-nements

K

Lque nous utilisons pour rendre les acceptances similaires (voir le paragraphe 3.4.1). Les nombres d'evenements

K

L doivent ^etre remplaces par la somme de leur poids, que l'on notera

P

. Le double rapport des evenements etiquetes devient :

R

etiq=

P

L00)etiq

N

S00)etiq 

N

+; S )etiq

P

+; L )etiq = (1;



00LS)

P

L00+



00SL

P

S00 (1;



00SL)

N

S00+



00LS

N

L00  (1;



+; SL)

N

+; S +



+; LS

N

+; L (1;



+; LS)

P

+; L +



+; SL

P

+; S

:

(5.12) ou les nombres d'evenements

K

Letiquetes et ponderes (

P

L)etiq) contiennent les nombres reels,

P

L et

P

S, de

K

L et de

K

S tous deux ponderes! De m^eme, les criteres de selection de la zone ducielle s'appliquent aux deux contributions

P

L comme

P

S. Les nombres

P

sont donc tous sujets a la coupure qui denit le debut de la zone ducielle pour les evenements

K

L(

z > z

AKS). En revanche, les nombres

N

L d'evenements

K

L accidentellement etiquetes que contiennent les evenements etiquetes

N

etiq

S ne sont pas soumis a ce critere de selection denissant l'origine des desintegrations considerees. Cette origine est alors denie par le dernier collimateur ou par un critere susamment l^ache.

Il devient alors dicile d'isoler la valeur de

R

| c'est elle que l'on veut mesurer | dans le double rapport des evenements etiquetes de l'equation ci-dessus, comme nous l'avions fait dans le cas sans ponderation. On ne peut donc pas a priori calculer la sensibilite du double rapport aux erreurs d'etiquetage.

On peut tout de m^eme estimer les eets de la ponderation (voir la reference [44]) en se restreignant au cas ou les acceptances et les spectres d'energie sont constants, et en appliquant quand m^eme la coupure en

z

aux evenements

N

L. Les eets obtenus sont :

Re

(

"

0

="

) = 1

;

057

Re

(

"

0

="

)_etiq;0

;

27



LS+ 0

;

91



SL (5.13) Seul l'eet de l'inecacite de l'etiquetage est notablement modie. Les evenements

K

S pour lesquels l'etiquetage est inecace entrent dans le nombre d'evenements

K

L que l'on pondere. Comme leur distribution est deja caracteristique des

K

S, ils recoivent un poids relatif plus grand que les evenements

K

L. La contribution du terme en



SL dans 5.2 se trouve ainsi augmentee par la ponderation, et la sensibilite du double rapport aux dierences d'inecacites est plus importante.

La methode utilisee

Dans les paragraphes precedents, nous avons calcule le lien qui existe entre le double rapport des evenements etiquetes

R

etiq et le double rapport

R

que l'on veut mesurer. Cette methode ne peut pas ^etre appliquee si les criteres de selection des evenements

K

S et

K

L dierent, ce qui est le cas de notre analyse puisque les evenements

K

L sont ponderes, et que l'origine de la zone de desintegration n'est pas denie par la m^eme methode pour les

K

L (coupure franche sur la position reconstruite) et pour les

K

S (signal dans l'AKS).

La methode eectivement utilisee a deja ete evoquee au paragraphe 3.3. Pour obtenir les nombres d'evenements provenant reellement d'un

K

S ou d'un

K

Lon inverse le systeme d'equa-tions 5.2 qui donne les nombres d'evenements etiquetes en fonction des nombres reels. Cette operation est eectuee pour les quatre modes en appliquant a tous les nombres utilises les cri-teres requis pour chacun d'eux. On obtient :

N

+; S = (1;



+; LS)

N

+; S )etiq;



+; LS

N

+; L )etiq 1;



+; SL ;



+; LS (5.14.a)

N

S00= (1;



00LS)

N

S00)etiq;



00LS

N

L00)etiq 1;



00SL;



00LS (5.14.b)

P

+; L = (1;



+; SL)

P

+; L )etiq;



+; SL

P

+; S )etiq 1;



+; SL ;



+; LS (5.14.c)

P

L00= (1;



00SL)

P

L00)etiq;



00SL

P

S00)etiq 1;



00SL;



00LS (5.14.d)

ou les nombres

P

S;L donnant les nombres de

K

L concernent des evenements ponderes dont la position reconstruite est situee en aval de l'AKS, et les nombres

N

S;L donnant les

K

S sont constitues d'evenements non ponderes, sans coupure en position.

Remarque :

Les probabilites



utilisees sont les m^emes pour les nombres de

K

S et de

K

L, car la probabilite d'etiquetage ne depend pas de la position de desintegration.

Les nombres ainsi obtenus sont donc ceux que nous devons utiliser pour calculer

Re

(

"

0

="

). Il subsiste deux inconnues dans les equations 5.14 :



00LS et



00SL. Les probabilites d'etiquetage peuvent ^etre directement mesurees pour des evenements



+



;, pas pour des evenements



0



0. M^eme si la formule 5.13 ne donne pas exactement la sensibilite du double rapport aux erreurs d'etiquetage, nous ne devons pas oublier qu'il n'est sensible aux erreurs d'etiquetage que si celles-ci dierent entre



+



; et



0



0 (au facteur de dilution pres qui est parfaitement ma^trise par la mesure de



+;

Dans le document Mesure de la violation directe de CP auprès de l'expérience NA48 du CERN (Page 138-141)