Dierences temporelles

Un modele naf

Separons l'echantillon des evenements en deux lots, tels que les evenements

K

Lse repartissent en deux fractions



et 1;



. Appelons R le rapport

K

S/

K

L dans la premiere fraction, et supposons qu'il varie d'un facteur

d

dans la seconde fraction. Appliquons enn une inecacite dierente dans les deux fractions,

h

dans la premiere et





h

dans la seconde. La situation est resumee dans le tableau suivant, avec les nombres d'evenements

K

S et

K

L, ainsi que les inecacites dans les deux fractions, appelees A et B :

Fraction A B

K

L



1;



K

S R



R(1;



)(1 +

d

)

Ine.

h 



h

On peut estimer le biais que l'on obtient du fait de ces inecacites en eectuant le double rapport des evenements

K

S et

K

L, veritables (

N

_S;Lver) et mesures (

N

_S;Lmes). La formule suivante donne la valeur exacte de ce double rapport, compte tenu des notations precedentes.

N

_Lver

N

_Sver 

N

_Smes

N

_Lmes =



+ 1;



R[



+ (1;



)(1 +

d

)]  R[



(1;

h

) + (1;



)(1 +

d

)(1;

h

)]



(1;

h

) + (1;



)(1;

h

) _(4.16) On retrouve le fait qu'il n'y a pas de biais si le rapport

K

S/

K

L ne varie pas (

d

= 0) OU si l'inecacite est constante (



= 1). En developpant l'equation precedente pour des petites inecacites(

h

1 et

h

1), on obtient l'expression :

N

_Lver

N

_Sver 

N

_Smes

N

_Lmes = 1 +



(1;



)(1;



)

hd

1 +

d

(1;



) = 1 + Biais

:

(4.17)

Cette formule permet d'estimer facilement l'ordre de grandeur d'un biais d^u a une varia-tion d'inecacite



sur une fraction 1;



des donnees. Pour relier aux parametres du modele l'inecacite mesuree sur l'ensemble de l'echantillon on utilise le fait qu'elle est la moyenne des inecacites des deux fractions, soit :

Inecacite =

:h

+ (1;



)

h

(4.18)

ou on a suppose que la variation

d

du rapport

K

S/

K

Letait relativement petite.

Ce modele naf permet ainsi d'estimer le biais d'une inecacite donnee en la repartissant sur deux fractions de l'echantillon, sur lesquelles le rapport

K

S/

K

Ldiere. Nous avons vu que la dierence

d

pouvait avoir deux origines, temporelle ou spatiale, qui vont ^etre etudiees dans les deux paragraphes suivants.

4.5.2 Dierences temporelles

Plusieurs echelles de temps doivent ^etre considerees.

Variations journalieres

Le rapport

K

S/

K

L varie au cours de la prise de donnees. La gure 4.10 montre le rapport des evenements

K

S/

K

L acquis dans une journee. Les jours sont numerotes de 1 a 43 du 4 septembre au 17 octobre 1997. Les variations d'un jour a l'autre peuvent atteindre 10 %. De plus, les reglages des faisceaux ont ete changes entre le jour 20 et le jour 21. Les rapports moyens

K

S/

K

L avant et apres cette date sont de 1,80 et 2,03.

1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Rapport K_S/K_L

K

_S

/K

_L

= 1,80

K

_S

/K

_L

= 2,03

0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 1 1.0001 1.0002 1.0003 1.0004 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Biais engendré Biais engendré Biais engendré Biais engendré

Biais engendré ^(jour)

10 / 1

1 / 10

Fig. 4.10 { Haut : variation du rapport

K

S/

K

L en fonction du jour de prise de donnees. Bas : biais engendre par une inecacite moyenne de cinq pour mille.

Les courbes du bas representent le biais engendre en fonction du decoupage (



dans 4.17) des donnees en deux fractions. Chaque courbe correspond a une valeur de la variation



de l'inecacite entre les deux fractions. Les variations considerees vont de 0,1 a 10, c'est-a-dire que l'on envisage de concentrer des inecacites 10 fois plus fortes au debut et a la n de la prise de donnees. La valeur de l'inecacite moyenne utilisee est cinq pour mille, soit un majorant des inecacites qui nous preoccupent.

Le biais maximum observe est de 3

:

10;4, dans le cas ou les vingt premiers jours souriraient d'une ecacite 10 fois plus elevee que les jours suivants.

Variations lors du deversement

Le rapport

K

S/

K

L varie egalement avec le temps du deversement. Nous avons vu les dis-tributions en temps des evenements

K

S et

K

L sur la gure 2.2. La gure 4.11 presente le rapport

K

S/

K

L. Les

K

S sont relativement plus nombreux au debut du deversement. Le rapport

K

S/

K

L varie de moins de 10 % au cours du deversement.

4.5.2. Dierences temporelles La m^eme methode est employee pour estimer le biais associe a une inecacite de cinq pour mille. Le biais engendre reste inferieur a 2

:

10;4, comme l'illustre la gure 4.11.

Ces deux exemples illustrent quantitativement les biais qui peuvent surgir de variations du rapport d'intensite des faisceaux de l'ordre de 10 %. Avant de considerer d'autres variations temporelles, deux points importants peuvent ^etre soulignes :

 La variation par un facteur 10 des inecacites est une hypothese fort pessimiste destinee a fournir une borne superieure au biais, et qui peut ^etre veriee sur toutes les inecacites qui nous preoccupent.

 D'apres les formules 4.17 et 4.18, le biais est proportionnel a l'inecacite moyenne. On peut donc deduire des resultats precedents qu'une inecacite donnee ne peut pas engendrer un biais plus elevequ'une fraction d'elle-m^eme, 6 % par variation journaliere, 4 % par variation lors du deversement. 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 Rapport K_S/K_L 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 1 1.0001 1.0002 1.0003 1.0004 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 Biais engendré Biais engendré Biais engendré Biais engendré

Biais engendré ^(secondes)

10 / 1

1 / 10

Fig. 4.11 { Variation du rapport

K

S/

K

L en fonction du temps du deversement. Bas : biais engendre par une inecacite moyenne de cinq pour mille.

Structure temporelle des faisceaux

Certaines frequences peuvent ^etre mises en evidence dans les faisceaux [44].

La transformee de Fourier des distributions temporelles des evenements met en evidence des frequences dans l'intensite des faisceaux. La frequence de 50 Hz du reseau electrique est par exemple visible. On exhibe egalement une frequence de 43 kHz qui correspond a la periode de rotation des protons dans le SPS.

La gure 4.12 donne les distributions des evenements

K

S et

K

L ainsi que leur rapport en fonction des phases par rapport a :

 A gauche : la frequence du reseau electrique (50 Hz).

 A droite : la periode de rotation des protons dans le SPS (43 kHz).

Les variations observees dans le rapport

K

S/

K

Lsont inferieures a 10 %. Les biais potentiels engendres par des inecacites variant avec ces phases sont inferieurs a 5 % de l'inecacite moyenne. 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Phase 50 Hz Phase 50 Hz K_S K_L 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Rapport K_S /K_L 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Phase du SPS Phase du SPS K_S K_L 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Rapport K_S /K_L

Fig. 4.12 { Gauche : Variation du rapport

K

S/

K

L en fonction de la phase par rapport a la frequence du reseau electrique (50 Hz). Droite : idem en fonction de la phase de rotation des protons dans le SPS (43 kHz).

L'etude des structures du faisceaux par transformees de Fourier permet d'exhiber des phases entre 0,5 Hz | la duree du deversement est de 2,4 secondes | et 20 MHz [44].

L'etude des correlation des coups dans la station d'etiquetage permet de mettre en evidence des structures plus nes, allant de la largeur de la fen^etre d'extraction de l'information de l'etiqueteur (environ 80 ns) a la resolution temporelle des coups (environ 200 ps). Par cette methode, il est donc possible d'explorer des frequences de 1,25 MHz a 5 THz.

Une structure a 200 MHz est observee [44] (elle est visible sur la gure 5.3 p. 139) correspon-dant a la frequence des cavites acceleratrices du SPS. Il n'est pas possible d'estimer les variations de l'intensite du faisceau

K

L pour une frequence aussi elevee. Seule la station d'etiquetage, uni-quement sensible aux

K

S, permet de mesurer cette structure. Le ux de protons de 14 MHz qui la traverse possede un taux comparable qui permet de la mettre en evidence. Neanmoins, les variations

K

S/

K

L ne devraient pas presenter de variations tres prononcees et ne peuvent

4.5.3. Dierences spatiales

Dans le document Mesure de la violation directe de CP auprès de l'expérience NA48 du CERN (Page 128-132)