La distinction frégéenne entre sens et référence est certes très intéressante mais en quoi est‐elle pertinente pour la compréhension de la critique des langues naturelles par Frege? Le danger que voit Frege est celui d'une pensée qui tourne
à vide en manipulant des noms dénués de référence. Nous avons vu que pour Frege, « Le sens d'un nom propre est donné à quiconque connaît suffisamment la langue ou l'ensemble des désignations dont il fait partie ». [S&D p.104]. Le corollaire de cette compréhension immédiate du sens est que nous avons tendance à accepter dans nos discours tout nom dont nous saisissons le sens. Si par exemple je dis que « L'aigle bicéphale est l'emblème des états unis d'Amérique » quiconque parle français comprendra que par aigle bicéphale, j'entends un aigle ayant deux têtes. Une histoire mettant en scène les aventures de Benjamin Franklin avec son aigle bicéphale et expliquant l'extinction de cette noble espèce sera parfaitement intelligible et plausible pour peu que je fasse preuve d'imagination. Il n'empêche qu'aucune espèce d'aigle bicéphale n'a jamais existé. Il n'y a dans les langues naturelles aucun moyen de prévenir la formation de noms ou de concepts vides i.e. ayant un sens mais dénués de dénotation. Le plus grave, selon Frege c'est que cette dérive ne se limite pas uniquement aux histoires que nous créons en littérature; elle envahit également nos raisonnements y compris mathématiques. Ainsi, le plus grand nombre pair ou la suite qui converge le plus rapidement sont des noms d'objets mathématiques tout à fait intelligibles dont le sens est tout à fait cohérent et acceptable. De ce fait, il faut beaucoup de raisonnement pour montrer qu'aucune réalité mathématique n'y correspond et que ces noms ne dénotent donc absolument rien. A cause de cette productivité des langues naturelles et de leur tendance à engendrer des noms vides, Frege nous enjoint de veiller à ce que: « toute expression construite comme un nom propre, au moyen des signes précédemment introduits et de manière grammaticalement correcte, désigne réellement un objet, et qu'aucun signe nouveau ne soit introduit à titre de nom propre sans qu'on se soit assuré de sa dénotation. » [S&D p. 117] C'est justement parce que nos langues naturelles n'arrivent pas à répondre à cette exigence que Frege se propose de créer une idéographie i.e. un langage formulaire qui permettrait « à la fois de prévenir les erreurs d'interprétation et d'empêcher les fautes de raisonnement. » [SJRI p. 63]. Le but de l'idéographie est de nous fournir un algorithme qui nous permettra de dégager la forme logique des énoncés en langue naturelle sans nous laisser piéger par leur forme grammaticale et en veillant à chaque fois à nous assurer que nous manipulons des noms ayant à la fois un sens et une dénotation. C'est en essayant de mener à bien ce projet que Frege se rendra compte que c'est la structure grammaticale des langues naturelles elle‐même qui est inadéquate pour mener à bien nos raisonnements.
Dans le Begriffsschrift, Frege dénonce une illusion créée par la forme grammaticale et source d'erreurs dans la mesure où elle nous inciterait à faire des inférences fausses si nous suivions la forme grammaticale ou l'analyse logique classique en terme de sujet et prédicat. Frege illustre cette inadéquation de l'analyse logique classique en comparant les deux propositions (d) et (e) suivantes
(d.) Le nombre 20 peut être représenté comme la somme de quatre carrés (e.) Tout entier positif peut être représenté comme la somme de quatre carrés
Si nous acceptons la décomposition de la proposition en sujet et prédicat, nous devons en conclure que ces deux propositions partagent le même prédicat à savoir être représentable comme la somme de quatre carrés. Là où elles
diffèreraient, ce serait simplement en ce qui concernerait le sujet auquel cette propriété est attribuée. Étant donné que les propriétés sont par définition attribuées à des objets, l'analyse classique nous inciterait à rechercher les objets qui servent de sujet à ces deux propositions. Dans le cas de (d.), cet objet est facile à trouver; c'est le nombre 20. La difficulté survient quand nous nous proposons de trouver l'objet homologue à 20 qui pourrait servir de sujet à (e.). Quel objet peut bien correspondre au sujet Tout entier positif? Pour Frege, la recherche d'un tel objet est vaine et traduit l'incompréhension de la différence qu'il y a entre la structure logique des phrases et leur structure grammaticale.
Nous avons affirmé plus haut que la critique de Benveniste selon laquelle les logiciens ne feraient que redécouvrir la structure grammaticale de leurs langues naturelles ne pouvait s'appliquer aux logiciens comme Frege, Russell ou Wittgenstein. Si les systèmes logiques des formalistes du début du XXe siècle sont immunisés face à cette critique, c'est grâce à la découverte par Frege de l'inadéquation de l'analyse traditionnelle des propositions en termes de sujet et de prédicat. La découverte de cette inadéquation vient encore une fois de la mise au jour d'une analogie fructueuse entre la structure logique de la pensée26 et les mathématiques. En l'occurrence, Frege pense que c'est la notion mathématique de fonction qui nous fournit le modèle selon lequel nous devrions penser la structure logique de nos langues naturelles. Arrêtons‐nous un moment sur cette notion de fonction et voyons quelles sont ses propriétés qui peuvent être pertinentes pour la mise au jour des caractéristiques du concept. Soient les expressions suivantes: a = 2²+2 ; b = 2x3 ; c = 5+1 ; d = 4²+2 ; e = 5² +2 Un simple calcul nous permet de voir que a = b = c = 6. Pour d et e, nous trouvons respectivement 18 et 27. L'on pourrait donc penser qu'il y a une analogie évidente entre a, b et c alors que a, d et e n'auraient rien en commun. Ce serait là aller un peu vite en besogne et faire un bien mauvais usage de la distinction entre sens et dénotation introduite précédemment. En effet, ce que nous avons en a, b et c, ce sont des expressions qui dénotent la même entité. Elles sont identiques si nous considérons leur dénotation mais ont des sens différents. A l'inverse, quiconque a fait un peu de mathématiques verra la profonde similitude qui existe entre a, d et e. Ce sont des valeurs de la fonction f(x)=x²+2 pour les nombres 2, 4 et 5. Dans ces expressions 2, 4 et 5 sont les arguments de la fonction et c'est l'application de cette fonction sur ces arguments qui nous donne les valeurs de a, d, et e i.e. respectivement 6, 18 et 27. La fonction est donc la structure commune entre ces trois expressions et c'est en ce sens que Frege affirme, généralisant à partir d'un exemple différent que: « l'essence propre de la fonction réside dans l'élément commun à ces expressions, c'est à dire dans ce qui demeure de 2x3 + x quand on supprime la lettre x ce que l'on pourrait écrire
26 Rappelons que pour Frege cette pensée n’est pas identifiable à nos processus mentaux mais est une réalité extérieure objective et indépendante de son éventuelle saisie par les humains. En tant que platoniste, Frege considère que si nous n’acceptons pas la réalité objective des contenus de pensée en dehors de toute saisie effective par les humains, nous ne pourrons justifier qu’une vérité mathématique par exemple soit vraie en indépendamment de ce qu’en pense la communauté des mathématiciens. Sur ce point cf. Frege (1897)
ainsi: 2( )3+( ). [...] De la fonction prise séparément, on dira qu'elle est incomplète, ayant besoin d'une autre chose, ou encore insaturée. » [F&C p. 84] Il y a une différence fondamentale qu'il convient de noter entre la fonction et ses arguments: la fonction ne peut pas être considérée comme un objet. La fonction est plutôt comme une opération que l'on appliquerait aux objets d'un ensemble de départ pour donner d'autres objets. Les objets de l'ensemble de départ sont les différents arguments de la fonction alors que ceux de l'ensemble d'arrivée définissent le parcours des valeurs de la fonction; cette dernière n'est cependant identique ni à ses arguments, ni à son parcours nous dit Frege. C'est pour cette raison que même une expression comme f(x)= ax+b avec a et b des constantes et x une variable est stricto sensu inadéquate; en toute rigueur, nous aurions du écrire f( )=a( )+b laissant intacte l'insaturation de f( ) parce que f(x) est un objet qui dénote la valeur de f( ) pour l'argument x.
Parmi les fonctions, Frege distingue une catégorie particulière: les concepts qu'il définit de la manière suivante: « un concept est une fonction dont la valeur est toujours une valeur de vérité » [F&C p. 90]. Il donne entre autres l'exemple de la fonction g( ) suivante: (x+1)²=2.(x+1). Pour x=1 par exemple, nous obtenons: (1+1)²=2.(1+1), ce qui est vrai. A l'inverse, pour x=2, nous obtenons (2+1)²=2.(2+1) ce qui est faux puisque (2+1)²=9 alors que 2(2+1)=6. Pour tout nombre que l'on prend, on peut calculer s'il vérifie l'équation g( ). S'il la vérifie, on lui associe la valeur vraie et s'il ne la vérifie pas, on lui associe la valeur faux. L'équation g() est donc réellement un concept en ce qu'il permet de partitionner l'ensemble des réels en deux groupes d'argument donnant respectivement le vrai et le faux. Ces définitions de la fonction comme opération essentiellement insaturée s'appliquant à des objets pour donner de nouveaux objets et du concept comme fonction dont le parcours des valeurs se limite aux deux valeurs de vérité vrai et faux sont probablement très intéressantes pour le mathématicien mais en quoi aident‐elles le logicien ou le philosophe? En quoi cette analyse est‐elle pertinente pour une réflexion sur les propositions prédicatives de nos langues naturelles?
L'intérêt de l'importation des idées de fonction et de concepts dans l'analyse des langues naturelles se comprend bien quand nous considérons les propositions affirmatives simples qui suivent:
(f.) Gödel est perspicace
(g.) Tout logicien est perspicace
Un aristotélicien analyserait la proposition (f.) comme étant composée d'un sujet, Gödel auquel est attribuée une propriété désignée par le prédicat être perspicace. De manière tout à fait analogue, notre aristotélicien décomposerait (g.) comme attribuant la propriété dénotée par le prédicat être perspicace au sujet Tout logicien. Cette analyse a l'avantage d'être totalement conforme à la forme grammaticale de ces propositions mais comme nous l'avons déjà vu, elle nous amène à tirer l'inférence selon laquelle les deux sujets ont le même statut et à chercher l'objet auquel correspondrait le sujet Tout logicien dans (g.). Ce que notre aristotélicien ne voit pas et qu'une analyse en termes de fonctions permet de découvrir, c'est que ces deux propositions, par delà leur similitude grammaticale superficielle, ont des structures très différentes. En effet, si dans la proposition (f.), nous avons un seul prédicat à savoir être perspicace, les choses sont loin d'être aussi simple en ce qui concerne (g.) puisque dans cette
proposition, nous avons non pas un seul mais deux prédicats en réalité: être logicien et être perspicace.
Pour échapper au piège la grammaire qui nous fait présumer que ce qui joue le rôle de sujet grammatical est un objet et que ce qui joue le rôle de prédicat grammatical est une propriété et donc un prédicat logique, Frege préconise de se servir de la notion mathématique de fonction. L'importation de cette notion mathématique est possible parce que la dimension essentiellement insaturée de la fonction et le fait qu'elle a besoin de s'appliquer à des objets pour donner un tout complet se retrouve également dans les prédicats de nos langues naturelles. Revenons un moment à la proposition (f.) nous pouvons la décomposer en deux parties qui semblent correspondre à la décomposition aristotélicienne mais en usant d'un critère non pas grammatical mais logique. Il suffit en effet de se demander s'il y a une partie insaturée et une partie complète et potentiellement autonome. Nous voyons alors que Gödel est un nom qui peut avoir une existence indépendante mais que la seconde partie de la phrase est essentiellement insaturée puisque le prédicat être perspicace n'a de dénotation qu'associée à un nom. Ce que Frege remarque, c'est que les prédicats de nos langues naturelles, tout comme les fonctions, sont insaturées, prennent comme argument des noms d'objets et rendent comme valeur d'autres noms d'objets, que ces objets soient une valeur de vérité ou un autre objet du monde. C'est pour cette raison que Frege pense que l'on peut « décomposer les propositions affirmatives comme les équations, les inéquations, et les expressions analytiques en deux parties dont l'une est fermée sur soi et dont l'autre réclame un complément, est insaturée. » [F&C p. 91]
Soumettons à présent à la même analyse la proposition (g.). Nous savons déjà que être perspicace est une fonction. Qu'en est‐il du sujet Tout logicien? Là encore, si nous acceptons la caractérisation de Frege du nom comme signe doté d'un sens et d'une référence et permettant de sélectionner un ou des objets du monde qui peuvent subsister de manière indépendante, nous voyons que cette expression n'est pas un nom mais la combinaison d'un quantificateur universel et d'un prédicat à savoir être logicien. Cette analyse nous permet donc de voir que (g.) contient non pas un seul mais bien deux prédicats. Pour cette raison, Frege pense que « Le mieux serait, par conséquent, de bannir complètement de la logique les mots « sujet » et « prédicat », puisqu'ils incitent sans cesse à confondre les deux relations fondamentalement différentes de la subsomption d'un objet sous un concept et de la subordination d'un concept à un autre concept. »27 De fait, alors que dans la proposition (f.), nous disons que l'individu Gödel tombe sous le concept être perspicace, dans (g.) nous avons une affirmation qui porte sur deux concepts: être logicien et être perspicace. Ce que la proposition (g.) nous apprend, c'est que tout individu qui tombe sous le concept être logicien tombe également sous le second concept être perspicace. Autrement dit, l'ensemble des objets qui tombent sous le premier concept est un sous‐ ensemble de celui des objets qui tombent sous le second concept. L'on voit alors pourquoi Frege pense que les quantificateurs sont des concepts de second ordre: ce sont ne sont rien d'autre que des opérateurs qui nous servent à comparer les extensions des concepts; ce faisant, ils nous permettent de formaliser les propriétés des propriétés plutôt que celles des objets.
Dans les Lois fondamentales de l’arithmétique28[cf. BL §§19‐23], Frege montre que le quantificateur universel est un prédicat de second ordre qui dit d'un autre prédicat de premier ordre qu'il est vrai de tout individu de l'univers. Pour reprendre un exemple usité, quand je dis que Socrate est mortel, il y a un individu bien déterminé, Socrate auquel j'attribue la propriété d'être mortel. Si en revanche je dis que tout vivant est mortel, je ne suis pas, contrairement aux apparences, en train d'attribuer directement la propriété de mortalité à des individus bien déterminés, je suis plutôt en train d'attribuer à la propriété d'être mortel, au concept être mortel, la propriété de s'appliquer universellement aux objets vivants. Le quantificateur universel est une manière commode de noter ce concept de second ordre qui est vrai d'un concept si ce dernier est vrai de tout objet du domaine. Cette analyse est également valable en ce qui concerne le quantificateur existentiel ainsi qu'un certain nombre d'autres concepts dont on peut particulièrement noter ceux qui permettent de faire des attributions numériques. Il est assez compréhensible que le quantificateur existentiel ait les mêmes propriétés que les prédicats numériques puisque, si l'on y réfléchit, « Affirmer l'existence, ce n'est rien autre que nier le nombre zéro » [FA §53, p. 180]. Quand par exemple je dis qu'il existe des philosophes perspicaces, je suis en train de nier que le concept être perspicace fut satisfait par zéro individu satisfaisant également le concept être philosophe. Au paragraphe 46 des Fondements..., Frege démontre que toute attribution d'un nombre à un objet peut se ré‐analyser comme l'attribution de ce nombre à un concept de premier ordre qui, lui, s'applique à des objets. Même si cette propriété du concept de nombre apparaît mieux avec le chiffre zéro, elle est valable pour toute autre attribution numérique ainsi qu'on le voit dans l'extrait qui suit: « Quand je dis: « Vénus a 0 lunes », il n'existe aucune lune ou agrégat de lunes dont on pourrait énoncer quelque chose, mais on attribue au concept « lune de Vénus » une propriété: à savoir celle de ne rien subsumer. Si je dis: « le carrosse de l'empereur est tiré par quatre chevaux », c'est au concept, « cheval qui tire le carrosse de l'empereur » que j'attribue le nombre quatre. » [FA §46 pp. 175‐6]
Conclusion
Si nous récapitulons, nous voyons que Frege avait au moins trois raisons de penser que les langues naturelles sont inadéquates non seulement pour mener à bien l'entreprise de refondation des mathématiques qui était la sienne mais plus généralement en tant qu'outil pour trouver des vérités abstraites.
D'abord, de par leur confusion, leur absence de rigueur et le fait que les mots sont employés sans catégorisation précise mais avec ce que Frege nomme des ''nuances de ton et de couleur'', ces langues nous incitent à faire des distinctions de sens qui sont inertes en ce qui concerne la vérité ou la fausseté mais qui sont tellement prégnantes que nous avons une tendance presque irrésistible à en tenir compte dans notre évaluation des phrases. De ce fait, les langues naturelles nous incitent à faire rentrer du subjectif dans des raisonnements qui auraient du être objectifs de part en part.
La deuxième critique est que la structure grammaticale même des langues naturelles est inadéquate pour la recherche de la vérité et nous incline à établir
28 Frege, G. [1893], The Basic Laws of Arithmetic: Exposition of the System, [BL] Montgomery Furth (ed.), University of California Press, 1964
des catégories syntaxiques fantaisistes, en tout cas vues sous le prisme de la logique. Nous avons insisté sur la catégorie de nom propre, montrant que le nom propre tel que le définit Frege en logique ne recouvre pas son équivalent grammatical. Cette démonstration peut également être faite pour plusieurs catégories grammaticales des langues naturelles; ainsi, ce que le grammairien définira comme nom commun n'est‐il rien d'autre qu'un terme conceptuel pour le logicien. Bien plus grave, Frege nous montre que la structure Sujet/Prédicat, héritée de la grammaire et qui jusque là était en quelque sorte la pierre angulaire de la logique ne correspond pas du tout à la structure réelle de la pensée et qu'elle peut avantageusement être remplacée par une structure fonctionnelle. Le remplacement de la structure Sujet/Prédicat par une structure Fonction/Argument permet de comprendre la dernière critique frégeenne dont nous avons parlé à savoir que la stricte observance de la structure canonique Sujet/Prédicat nous mène à des inférences fausses comme par exemple quand nous tirons de la prémisse, Quelqu'un a soif et quelqu'un a faim la conclusion que quelqu'un a soif et faim ou bien quand nous concluons du fait que l'expression Tout logicien est sujet dans Tout logicien est perspicace que cette expression désigne un objet auquel est attribué la propriété d'être perspicace.
C'est pour ces raisons mais également parce qu’il était platonicien et pensait que nos pensées individuelles n’étaient qu’une tentative de saisie de pensées objectives que Frege était extrêmement circonspect quant à l'usage des langues naturelles dans nos entreprises scientifiques et avait créé tout un appareillage logique qui devrait permettre d'éviter les fautes de raisonnement et de découvrir la vérité. En introduisant une approche fonctionnelle des langues naturelles, en