Rhéologie et mécanique

3.4.1 Prédictions empiriques . . . 60

3.4.2 Module de relaxation . . . 61

3.4.3 Dynamique des chaînes et des grains . . . 64

3.4.4 Analyse des chemins primitifs (PPA) . . . 68

3.4.5 Vers la mécanique des matériaux . . . 69

3.1

Introduction

Dans le chapitre précédent, nous avons remarqué que le développement de potentiels gros grain réalistes pour un degré de nivellementλ = 1, i.e. 4 UA par grain, est possible. Ce degré de nivellement avait déjà été considéré comme raisonnable par Yelash et al.[84]. L’ob- jet de ce chapitre est de présenter en détail un champ de force gros grain représentatif du 1,4-cis-polybutadiène (cPB) pour une utilisation dans le cadre de simulations DPD. Ce ma- tériau a fait l’objet d’études approfondies mais aucun champ de force gros grain utilisable clé

en mainn’a été publié à ce jour[40,85–87]. Le paramétrage de notre modèle a été réalisé en utilisant la méthode bayésienne basée sur l’exploitation de trajectoires atomistiques de réfé- rence haute résolution. Solano Canchaya et al.[45] ont démontré la possibilité de construire des potentiels gros grain transférables en température en combinant plusieurs trajectoires entre elles sur l’exemple du pentane. On propose ici d’étendre la méthode aux fondus de cPB en proposant un champ de force permettant leur description correcte dans une large gamme de température et de pression. Nous démontrerons la robustesse de notre modèle en calculant le coefficient de dilatation thermiqueα_P et la compressibilité isothermeχ_T que nous comparerons à l’expérience. En réduisant le coût de calcul d’un facteur 21 par rapport aux champs de force UA classiques, tout en conservant la précision, nous sommes capables d’atteindre des temps de simulation intéressants pour l’étude des propriétés rhéologiques et mécaniques du polymère. En particulier, nous montrerons que le plateau caoutchoutique de fondus enchevêtrés de cPB est prédit quantitativement par notre champ de force.

Dans la section3.2, nous construirons le modèle gros grain optimal utilisable en DPD. Dans la section3.3 page 52, la qualité du modèle par rapport à des simulations de référence MD sera évaluée. Dans la section3.4 page 60, nous étudierons le comportement rhéologique et mécanique de fondus de cPB non-réticulés à l’aide de simulations DPD longues (10µs).

3.2

Optimisation du champ de force

3.2.1

Trajectoires de référence

Trajectoires atomistiques

Le champ de force gros grain a été développé par une approche « bottom up ». Préci- sons ici qu’il n’est a priori pas nécessaire de simuler des chaînes enchevêtrées à l’échelle atomistique pour conçevoir des modèles gros grain transférables en longueur de chaîne, c’est-à-dire capable de modéliser de longues chaînes de polymère[40].

ont été préparées dans des conditions thermodynamiques variées (température, pression). Comme dans le chapitre précédent, les boîtes de simulation consistent en un cube périodique de 90 chaînes de polymère amorphe de longueur 240 UA chacune, i.e. 60 unités de répétition de cPB. Chaque boîte ainsi créée est d’abord relaxée pendant 20 ns en suivant la procédure d’équilibration détaillée page16, en adaptant la température et la pression finales. Le champ de force atomistique et les paramètres de simulation ont déjà été décrits page16.

Figure 3.1 – Limites de la transferabilité en tem-

pérature proche de la transition vitreuse T_g∼ 160 K (P = 0.1 MPa) pour les modèles gros grain DPD1.

Nous avons tout d’abord étudié la varia- tion du volume occupé par le polymère en fonction de la température T . Une approche directe serait de considérer une expérience de dilatométrie en refroidissant un fondu de cPB. Cette approche n’étant pas envisageable par simulation en raison de la forte dépen- dance du volume avec la vitesse de refroi- dissement [88, 89], une autre stratégie, ba- sée sur des mesures statiques à l’équilibre, a été adoptée. Pour P = 0.1 MPa, 16 tem- pératures linéairement espacées entre 25 et 400 K par pas de 25 K ont été sélectionnées (25, 50,. . ., 400 K). 16 boîtes de simulation statistiquement indépendantes les unes des autres ont donc été créées. Pour les tempéra-

tures T ¶ 200 K, la taille de la boîte initiale a été choisie au plus près de sa position d’équi- libre une fois relaxée. En réalité, l’équilibre thermodynamique est difficile à atteindre pour les températures les plus faibles car les mouvements des chaînes de polymère deviennent de plus en plus lents à cause de la baisse de la température (moins d’énergie cinétique) et à l’augmentation du confinement (théorie du volume libre [77]). Les masses volumiques

ρ des différents systèmes sont reportées dans la figure3.1. Les carrés bleus correspondent aux masses volumiques à l’équilibre (légèrement sous-estimées pour T ¶ 200 K) mesurées en MD. Deux régimes linéaires ont été identifiés. À basse température, ρ varie peu avec

T_{. La dépendance est plus forte pour T ¾ Tg ∼ 160 K, où Tg} désigne la température de transition vitreuse du polymère. La valeur de Tg est en accord avec les simulations précé-

dentes [5, 40] et les mesures expérimentales, accessibles par calorimétrie différentielle à balayage (« Differential Scanning Calorimetry (DSC) ») et par spectroscopie par résonance magnétique nucléaire (« Nuclear Magnetic Resonance (NMR) »)[90,91].

Bien que le degré de nivellement soit faible (4 UA par grain), nous n’avons pas été ca-

pable de développer un modèle gros grain simple transférable en température en-dessous de la T_g. Peut-être que les mouvements et les dynamiques locales mis en jeu dans le phé- nomène de transition vitreuse ont été occultés par la procédure de nivellement (taille des billes mésoscopiques, choix du pas de temps de la DPD) ? Néanmoins, comme on peut le voir dans la figure3.1 page précédente, une rupture de pente de la dépendance deρ a été observée. Notez que la dynamique des chaînes dans le modèle gros grain étant légèrement plus rapide que dans le modèle atomistique (voir figure2.14 page 33), la transition vitreuse est atteinte à plus basse température.

Finalement, pour P = 0.1 MPa, les 9 températures linéairement espacées entre 200 et 400 K par pas de 25 K ont été sélectionnées (200, 225, . . ., 400 K) pour développer les mo- dèles Multi-T et Multi-LinT présentés dans la section 3.2.2 page ci-contre. De même, pour

T = 300 K, 8 pressions −10, −5, −1, −0.1, +0.1, +1, +5, et +10 MPa ont été sélection-

nées. Au total, 16 paires de conditions thermodynamiques{P, T } ont été considérées. Après équilibration, pour chaque paire {P, T }, une trajectoire de référence haute résolution T_MD a été produite dans l’ensemble NPT en suivant la procédure détaillée page 16. Chacune d’entre elles a été enregistrée toutes les 50 fs, ce qui correspond au pas de temps ∆t de la DPD souhaité. Il en résulte 16 trajectoires statistiquement indépendantes contenant cha- cune 501 configurations régulièrement espacées dans le temps par ∆t = 50 fs. Ces choix sont largement suffisants pour obtenir la convergence des paramètres optimaux du modèle en utilisant la méthode bayésienne (voir figure2.8 page 26).

Trajectoires nivelées

La procédure de nivellement suit une fois de plus le protocole détaillé dans la sec- tion 2.2.3 page 17. Cette fois-ci, seul le degré de nivellement λ = 1 est considéré, i.e. une unité de répétition (4 UA) est représentée par un gros grain à l’échelle mésoscopique.

Figure 3.2 – Nivellement d’une chaîne de cPB à

λ = 1. Chaque unité de répétition (4 UA) du polymère est remplacée par un gros grain.

La position de chaque grain correspond au centre de masse de l’ensemble des 4 UA utilisés pour le construire. Ce procédé réduit d’un facteur 4 le nombre de par- ticules dans le système comme l’illustre la figure 3.2. Plus précisément, les tra- jectoires nivelées T_CG contiennent chacune 5400 gros grains au lieu de 21 600 UA avant nivellement. Rappelons aussi que les liai- sons covalentes mésoscopiques entre gros grains liés sont conservées. La vitesse ins- tantanée et la force instantanée s’exerçant

sur chaque gros grain ont été obtenues via l’analyse des trajectoiresT_CG en utilisant l’algo- rithme velocity-Verlet pour intégrer l’équation du mouvement de Newton, comme le ferait le logiciel de simulation en DPD2_{. De plus, les fluctuations de volume dans les différentesT}

CG

(les mêmes que dans les différentesT_MD) sont prises en compte (3 degrés de liberté supplé- mentaires), ce qui permet le développement de potentiels transférables en pression [45]. Mis à part la production deT_CG, ces étapes sont intégrées dans la procédure d’optimisation bayésienne, et sont donc transparentes pour l’utilisateur[44].

3.2.2

Modèle gros grain

La forme fonctionnelle des interactions reprend globalement celle présentée dans la sec- tion2.3 page 18avec de très légères modifications.

La force de paire non-liée conservative exercée par le grain j sur le grain i est modélisée par une combinaison linéaire de n_x = 4 polynômes de Bernstein {P_k} telle que

fC j→i(r) =    3 P k=0 x_kP_k(r) e_{i j} pour r< r_c, 0 pour r ¾ rc. (3.1)

avec rc = 20 Å le rayon de coupure conservatif et {xk} = {x0, x1, x2, x3} les 4 coefficients

des polynômes {Pk}. Ces derniers sont définis précisément en annexe dans la figure B.1

page 127. Les facteurs d’écrantage des interactions de paire conservatives 1-2, 1-3, 1-4 entre grains voisins appartenant à une même molécule sont respectivement fixés à 0, 0.5, 1. Notez que pourλ = 1, le facteur d’écrantage 1-3 est fortement couplé avec le choix du rayon de coupure intermédiaire r_m. Dans le champ de force proposé, r_m=7 Å (voir figure B.1). Le facteur d’écrantage 1-3 a été optimisé itérativement nous amenant à la valeur 0.5 (aussi bien en termes deP(T_CG| x) qu’en termes de reproduction des propriétés MDCG cibles).

Les termes de liaison sont modélisés par un potentiel quartique, contrairement au cha- pitre précédent où elles étaient modélisées par un potentiel harmonique. Ce choix améliore légèrement la forme de la distribution des liaisons (voir figure 3.5 page 53). Les termes d’angle sont modélisés par un potentiel harmonique (attention à ne pas oublier l’écrantage partielle du potentiel non-lié conservatif (3.1)). 4 paramètres {xk} = {x4, x5, x6, x7} sont

requis pour modéliser la liaison. De même, 2 paramètres supplémentaires{xk} = {x8, x9}

sont ajoutés pour modéliser l’angle entre 3 grains successifs (voir annexeB page 125pour leur définition précise).

2. LAMMPS utilise de manière standard l’algorithme velocity-Verlet[70]. D’autres algorithmes plus ou moins

évoluées existent, e.g. Euler[37,92], DPD-VV [47] (implémenté dans LAMMPS sous la dénomination MVV

La partie non-conservative (dissipative et aléatoire) est identique à celle présentée dans le chapitre précédent, i.e. le thermostat de la DPD est utilisé. Pour faciliter la lecture de ce manuscrit, je rappelle ici les deux expressions de la force dissipative (3.2) et de la force aléatoire (3.3) entre deux particules i et j.

f_jD_→i(r) =    − γ€1−_rr d Š2 vi j· ei j
ei j pour r< rd, 0 pour r ¾ rd. (3.2)

avecγ le coefficient de friction, v_{i j} la vitesse relative v_i− vj et rd= 20 Å le rayon de coupure

dissipatif. f_jR_→i(r) =    σ€1−_rr_dŠ θi j 1 p ∆tei j pour r< rd, 0 pour r ¾ rd. (3.3)

où θ_{i j} ∼N(0, 1) est une variable aléatoire gaussienne, σ est l’amplitude de l’interaction. Le potentiel gros grain a été conçu pour fonctionner avec un pas de temps ∆t = 50 fs. Rappelons aussi que le théorème de fluctuation-dissipation impose σ = (2 k_BTγ)12 [₆₄].

fD j→i et f

R

j→i agissent ensemble sur chaque paire de particules mésoscopiques, y compris sur

les paires liées par des liaisons covalentes (pas d’écrantage).

En résumé, les paramètres non-linéaires du modèle ont été fixés (λ, forme fonctionnelle des interactions, rm, rc, rd, les facteurs d’écrantage,∆t). Au total, 11 paramètres linéaires,

dont 10 conservatifs{xk} = {x0, x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9} et 1 dissipatif γ, ont donc été

choisis. Ce sont les paramètres x du modèle gros grain. Par la suite, on notera xC_{= {x} k} le

vecteur contenant les 10 paramètres linéaires conservatifs du modèle.

3.2.3

Paramétrage du modèle

Le champ de force gros grain a été paramétré en utilisant la méthode bayésienne, dont le but est de maximiserP(TCG| x), i.e. trouver x sachantTCGde manière à avoir la plus grande

probabilité de reproduire exactementT_CG. x = {xC_{,γ} contient les 11 paramètres linéaires}

Optimisation bayésienne

Nous devons à présent entrer un peu plus en détail dans la théorie derrière la méthode bayésienne. MaximiserP(T_CG| x) revient à minimiser − ln (P(T_CG| x)) que l’on notera pour simplifierL(x) = − ln (P(x)) (les trajectoiresT_CGsont connues). On peut donc écrire l’équa- tion (2.3) présentée page15sous la forme d’une somme :

L(x) = 1 2 X t∈TCG ln det + Γt+ ∆t 2 kBT F_tR
∗Γ_t+F_tR (3.4)

oùΓ_t= Γ (R_t, x). Sur le même principe, l’équation (2.1) devient :

F_tR= F_tref− FC

t + ΓtVt (3.5)

avec F_tC= F_tC(Rt, x). Je rappelle que l’équation (3.5) correspond formellement à l’équation

de la DPD. Aucune information n’a été perdue3 à ce stade.

MinimiserL(x) revient à chercher les valeurs4pour lequelles sa dérivée par rapport aux paramètres x s’annule. Sous certaines conditions décrites ci-dessous, une solution analy- tique peut être trouvée[44].

F_tC = A_txC (3.6a)

Γt= γ Bt (3.6b)

avec At = At(Rt) et Bt = Bt(Rt) deux matrices qui dépendent uniquement de la position

des grains. Par construction, B_t est une matrice symétrique positive. La relation (3.6a) si- gnifie que la force conservative est une combinaison linéaire de fonctions de base dont les coefficients sont stockés dans le vecteur xC_{. Ce vecteur a en fait déjà été défini dans la sec-}

tion3.2.2 page 45. De même,γ correspond au coefficient dissipatif de la DPD. En injectant les relations (3.6a) et (3.6b) dans l’équation (3.5), on obtient une expression plus simple de la force aléatoire, donnée par

F_tR= F_tref− Atx

C_{+ γ B}

tVt (3.7)

Les paramètres conservatifs xC _{et le terme dissipatif γ apparaissent directement dans la}

relation (3.7). La minimisation est désormais directe. Il suffit pour cela de résoudre les deux équations supplémentaires (3.8a) et (3.8b) ci-après.

3. Mis à part les approximations intrinsèques à la DPD.

Les paramètres conservatifs optimaux ¯xC vérifient la relation

∂L(x)

∂ xC = 0 (3.8a)

Quant au terme de friction optimale ¯γ, il vérifie

∂L(x)

∂ γ = 0 (3.8b)

Notez que le symbole « ¯ » désigne le paramètre optimal. Modèles Single-T et Single-P

Tout d’abord, les paramètres du modèle gros grain ont été optimisés indépendamment les uns des autres pour chacune des 16 trajectoires T_CG. Après simplification de l’équa- tion (3.8a), on obtient pour chaqueT_CG :

¯ xC = ‚ X t∈TCG A∗_tB+_tA_t Œ+‚ X t∈TCG A∗_tB+_t F_tref Œ (3.9a)

De même, on montre à partir de l’égalité (3.8b) que ¯γ est la racine positive du polynôme d’ordre 2 enγ suivant : 0= γ2 1 n_t X t∈TCG V_t∗B_tV_t+ γ2 N kBT ∆t − 1 n_t X t∈TCG F_tref
∗B+_t F_tref_{− At}x¯C
(3.9b)

où nt= 499 est le nombre de configurations pour lesquelles Ftrefa été calculée (nt= 501−2

car F_trefdérive de l’accélération, voir page14).

Il en résulte 16 jeux de paramètres linéaires {¯xC_{, ¯γ} et donc autant de modèles gros}

grain différents que nous regrouperons par la suite en deux groupes, Single-T et Single-P, le premier tel que P= 0.1 MPa, le second tel que T = 300 K. Les modèles Single-T regroupent donc les 9 modèles optimisés sur la gamme de température entre 200 et 400 K (par pas de 25 K). Les potentiels non-liés conservatifs de 5 de ces modèles sont tracés dans la figure3.3 page ci-contre. Comme dans le cas du pentane[45], le puits de potentiel se décale vers r → 0 lorsque T augmente. À cela s’ajoute un abaissement de l’énergie potentielle d’équilibre, sauf pour la température la plus basse T = 200 K, qui est aussi la plus proche de la température de transition vitreuse Tg discutée plus haut. De même, les modèles Single-P regroupent les

8 modèles optimisés sur la gamme de pression entre−10 et +10 MPa. Notez que le modèle conçu sous conditions atmosphériques (P = 0.1 MPa, T = 300 K) est inclus dans les deux groupes.

Modèles Multi-T et Multi-P

Figure 3.3 – Potentiels d’interaction de paire non-

liée pour les modèles Single-T à 200, 250, 300, 350, et 400 K.

Ayant pour objectif la construction de potentiels transférables (voir figure 3.10 page 59), la deuxième étape consiste à construire des modèles Multi-T et Multi- P en combinant respectivement les 9 tra- jectoires utilisées pour construire les mo- dèles Single-T et les 8 autres utilisées pour construire les modèles Single-P. Le mo- dèle Multi-P ne nécessite pas de dévelop- pement particulier car la pression est direc- tement intégrée dans les forces Fref

t (les re-

lations (3.9a) et (3.9b) s’appliquent)[44]. Le schéma à suivre pour développer le mo-

dèle Multi-T est calqué sur le raisonnement précédent page 47[45]. En partant des équa- tions (3.8a) et (3.8b), on obtient les paramètres ¯xC_{M T} et ¯γ_{M T} du modèle Multi-T :

¯ x_{M T}C = ‚ X TCG 1 T X t∈TCG A∗_tB+_tA_t Œ+‚ X TCG 1 T X t∈TCG A∗_tB+_t F_tref Œ (3.10a) ¯

γM T est la racine positive du polynôme d’ordre 2 enγ donnée par

0= γ2 1 n_t X TCG 1 T X t∈TCG V_t∗B_tV_t+ γ2 N kB ∆t − 1 n_t X TCG 1 T X t∈TCG F_tref
∗B+_t F_tref− At¯xCM T
(3.10b) où n_t = P_T CG P

t∈TCG1= 4491 (9 trajectoires permettant chacune de calculer F

ref

t sur 499

configurations). Notez que T ne sort pas de la somme P_T

CG car chaque trajectoire TCG a été produite pour des conditions de température différentes. Les potentiels associés (liai- son, angle, non-lié) aux modèles Multi-T et Multi-P se superposent5 _{grossièrement aux po-}

tentiels associés au modèle Single-T (ou l’équivalent Single-P) valide pour T = 300 K et

P = 0.1 MPa. Contrairement aux travaux de Solano Canchaya et al. [45] sur le pentane, cette forme fonctionnelle n’a malheureusement pas été suffisante pour obtenir un potentiel transférable pour le cPB comme nous le verrons dans la sous-section3.3.2 page 59.

Précisons aussi ici qu’il n’est pas nécessaire de relancer la procédure d’optimisation pour combiner plusieurs trajectoires entre elles (c’est également le cas pour le développement des modèles Multi-LinT et Multi-LinT Multi-P page suivante), les matricesP

t∈TCGA

∗

tB+tAt, 5. Pour les curieux, les paramètres associés aux différents modèles Single-T, Multi-T, et Multi-LinT sont tracés en annexe dans la figureB.2 page 128.

P t∈TCGA ∗ tB + t F ref t , P t∈TCGV ∗ t BtVt et P t∈TCG F ref t
∗

B+_t F_tref ayant été stockées pour chaque tra- jectoireT_CGen fonction de t au moment de construire les modèles Single-T et Single-P. Leur exploitation par la suite n’est donc pas très coûteuse (algèbre linéaire). On pourrait d’ailleurs imaginer construire une base de données de trajectoires de référence dans différentes condi- tions afin d’améliorer un peu plus nos modèles à chaque nouveau développement.

Modèles Multi-LinT et Multi-LinT Multi-P

Afin de rendre le modèle transférable en température, l’idée envisagée dans le cadre de ces travaux a été de construire un modèle dont les paramètres conservatifs dépendent linéairement de la température. Ce sera le modèle Multi-LinT. Les paramètres optimaux associés sont notés ¯xC_{M LT} = ¯a+RT ¯b et ¯γ_{M LT}. Ce choix n’est pas anodin et découle de l’analyse des paramètres associés aux modèles Single-T (voir figure B.2 page 128). Précisons que par choix, ¯γ_{M LT} est une constante positive qui ne dépend pas de la température. À noter que le coefficient de friction des modèles Single-T est compris entre 21.57 kg mol−1ns−1 et 23.54 kg mol−1ns−1 (faible dépendance avec T ).

Les 9 trajectoires choisies pour construire les modèles Single-T et Multi-T ont donc été utilisées une fois de plus pour construire le modèle Multi-LinT (n_t = P_T

CG P

t∈TCG1 = 4491). Ces mêmes trajectoires ainsi que celles choisies pour construire les modèles Single- P et Multi-P ont ensuite été utilisées pour construire le modèle Multi-LinT Multi-P (n_t = P

TCG P

t∈TCG1= 7984). Les équations permettant l’obtention de ces deux modèles sont les mêmes.

La minimisation des paramètres conservatifsL(x) revient à résoudre le système d’équa- tions suivant : ∂L(x) ∂ a = X TCG 1 T X t∈TCG A∗_tB+_t A_tx¯C_{M LT}− Fref t
= 0 (3.11a) ∂L(x) ∂ b = X TCG X t∈TCG A∗_tB+_t A_tx¯_{M LT}C − F_tref
= 0 (3.11b) En écrivant ¯xC

M LT = ¯a + RT ¯b, on remarque que les équations (3.11a) et (3.11b) peuvent

s’écrire de manière élégante sous forme matricielle (3.12), de manière à faire apparaître les paramètres optimaux ¯aet ¯b. ‚ ¯ a ¯b Œ =     X TCG 1 T X t∈TCG A∗_tB+_t A_t RX TCG X t∈TCG A∗_tB+_tA_t X TCG X t∈TCG A∗_tB+_tA_t RX TCG T X t∈TCG A∗_tB+_tA_t     +    X TCG 1 T X t∈TCG A∗_tB+_t F_tref X TCG X t∈TCG A∗_tB+_t F_tref     (3.12)

Concernant le coefficient de friction, la minimisation (3.8b) reste valide. ¯γ_{M LT} est la racine positive du polynôme d’ordre 2 enγ donnée par

0= γ2 1 n_t X TCG 1 T X t∈TCG V_t∗B_tV_t+ γ2 N kB ∆t − 1 n_t X TCG 1 T X t∈TCG F_tref
∗B+_t F_tref_{− At}x¯_{M LT}C
(3.13) Paramètres optimaux

Pour ne pas surcharger inutilement ce chapitre, les 11 paramètres optimaux du modèle Multi-LinT Multi-P sont présentés dans l’annexe B page 125. Sauf mention contraire, le modèle DPD dont on parlera par la suite est le modèle Multi-LinT Multi-P.

3.2.4

Accélération

Figure 3.4 – a) Accélération et b) efficacité

du modèle DPD pour un degré de nivelle- ment λ = 1 par rapport au modèle MD. Les cercles bleus et les carrés oranges se

Discutons tout d’abord des coûts de cal- cul. Nous avons comparé la vitesse d’exécu- tion nécessaire pour produire 1ns de simulation entre le modèle gros grain (Multi-LinT Multi- P) et le modèle atomistique « United Atom ». 90 chaînes de polymère amorphe de longueur 240 UA chacune (60 gros grains) sont placées dans un cube périodique. Comme nous l’avons men- tionné plus haut, le nombre de particules est ré- duit d’un facteur 4 dans le modèle gros grain, mais le rayon de coupure (conservatif et dissi- patif) passe de 14 à 20 Å. La réelle différence entre ces deux descriptions vient du choix du pas de temps pour l’intégration de l’équation du mouvement. En effet, ce dernier est 25 fois plus grand dans le modèle DPD (∆t = 50 fs) que ce- lui utilisé en MD (δt = 2 fs).

La figure 3.4a présente l’accélération, ou « speedup », du modèle gros grain par rapport au modèle UA (triangles violets)[96,97]. Pour l’obtenir, il suffit de calculer le rapport de la vi- tesse d’exécution du modèle MD sur celle obte- nue avec le modèle DPD. En première approxi- mation, la vitesse d’exécution correspond tout

simplement au temps de calcul nécessaire pour produire 1ns de simulation. À l’usage, on constate que le modèle DPD est environ 21 fois plus rapide que le modèle MD. À nombre de processeurs (CPU) égal, cette constatation ne change pas. Je précise aussi qu’aucune instabilité numérique n’a été signalée.

Il est également intéressant de quantifier l’accélération des modèles MD et DPD en fonc-

Dans le document Multi-scale modeling of the polymer–filler interaction (Page 60-93)