Revue bibliographique des mises en équation des processus 1 Processus de production d’eau: ruissellement/infiltration

Le ruissellement peut être considéré comme le processus complémentaire de l’infiltration : la part de la pluie (nette) qui ne s’infiltre pas ruisselle. Chahinian (2004) néglige l’interception de la pluie par le couvert discontinu de la vigne. Nous négligeons de même l’interception de la pluie par la vigne dans le calcul de la pluie nette d’un événement. La production du ruissellement peut être de deux natures : hortonienne, l’intensité de pluie dépasse alors la capacité d’infiltration du sol, ou par saturation du sol, 100% de la pluie nette contribue alors au ruissellement. Les phénomènes de

saturation du sol apparaissent quant à eux généralement en bas de pente. Le modèle TOPMODEL (Beven et al., 1995, Beven, 1997) qui ne prend en compte que le ruissellement par saturation du sol se base sur un indice topographique κ=a/tanβ (a airé drainée au point considéré, tanβ pente en ce point), pour déterminer la répartition spatiale des aires contributives au ruissellement. Les points correspondant à un indice fort se saturent en premier. Nous ne discutons pas plus avant de la modélisation de la production du ruissellement par saturation. Le bassin versant de Rouffach possède en effet les caractéristiques des bassins hortoniens, où les processus de ruissellement hortoniens dominent, sont caractérisés par une montée rapide de débit, une récession relativement rapide et peu, ou pas, de débit de base (Downer et al., 2002). Nous présentons donc les équations de l’écoulement dans la zone non saturée du sol et les modèles conceptuels pour le calcul de la capacité d’infiltration du sol.

2.2.1.1 Propriétés physiques et hydrauliques des sols non saturés

Les propriétés hydrauliques des sols affectant l’infiltration sont θ, teneur volumique en eau du sol (L3/L3), K conductivité hydraulique du sol (L/T) et h pression manométrique de l’eau (L). Ces propriétés sont introduites dans deux courbes fondamentales caractérisant le comportement hydraulique d’un sol donné : la courbe de rétention en eau et la courbe de conductivité hydraulique.

Courbes de rétention en eau

Différentes relations entre θ et h sont proposées dans la littérature et parmi elles celle de van Genuchten (Haverkamp et al., 1999) :

m n g r s r h h −                 + = − − 1 θ θ θ θ Equation 2- 1

Avec θs teneur volumique en eau à saturation [L3/L3]

θ r teneur résiduelle en eau souvent prise égale à 0

hg paramètre de normalisation en pression [L]

m et n paramètres de forme On pose généralement l’hypothèse

n k

m≈ − m

1 avec n>km et km=2 pour la

théorie de Burdine (Haverkamp et al., 1999).

Courbes de conductivité hydraulique

De la même manière, différentes relations entre K et θ ont été proposée. Nous retiendrons celle de Brooks et Corey (Haverkamp et al., 1999) :

CHAPITRE 2 2. Processus et modèles existants

- 103 - η θ θθ θ      − − = r s r s K K Equation 2- 2

Avec θs teneur volumique en eau à saturation [L3/L3]

θ r teneur résiduelle en eau souvent prise égale à 0

Ks paramètre de normalisation (conductivité hydraulique à saturation)[L/T]

η paramètre de forme

Fuentes et al. (1992) ont conclus dans leurs travaux que l’association de l’équation de van Genuchten pour la courbe de rétention en eau, associée à la théorie de Burdine, et de l’équation de Brooks et Corey pour la courbe de conductivité hydraulique donnait les meilleurs résultats pour la plupart des types de sols rencontrés en pratique.

Estimation des paramètres de formes par la texture du sol : équations d’Haverkamp

Haverkamp et al. (1997) proposent une méthode de détermination des paramètres de formes des équations précédentes à partir de la texture du sol, via la fonction suivante pour la distribution cumulée en taille des particules d’un sol

M N g d d d F −               + = 1 ) ( avec N M =1− 2 Equation 2- 3

avec dg diamètre du grain [L]

d diamètre de tamisage [L] M=1-(2/N)

Les paramètres de forme précédent m, n et η sont alors définis, selon la théorie de Burdine, par M=2m, N=net η =(2/λ)+2+1, avec λ=m.n.

Ainsi, en déterminant en laboratoire la courbe de distribution cumulée en taille des grains par tamisage du cylindre de sol recueilli sur le terrain et en ajustant à cette courbe la fonction F(d), on peut déterminer grâce aux égalités d’Haverkamp et al. (1999) les paramètres de forme des courbes de rétention et de conductivité.

2.2.1.2 Equation générale de l’écoulement dans la zone non saturée du sol

Loi de Darcy généralisée ( )gradH

K

q=− _θ Equation 2- 4

Avec K(θ) conductivité hydraulique

H charge hydraulique (H=h-z) h pression en eau du sol q flux d’eau dans le sol

Equation de continuité q div t =− ∂ ∂θ _{Equation 2- 5}

CHAPITRE 2 2. Processus et modèles existants

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Equation de Richards

L’association des équations 2-4 et 2-5 fournit l’équation générale de l’écoulement 2-6 ( ) ) (K gradH div t θ θ ₌ ∂ ∂ Equation 2- 6

En introduisant la capacité spécifique

( )

h C

∂ ∂ = θ

θ pour exprimer l’équation 2-6 uniquement en fonction de la pression de l’eau dans le sol et en faisant l’hypothèse d ‘un écoulement 1D on obtient l’équation de Richards 2-7

( )

( )             − = ∂ ∂ 1 dz dh K dz d t h Cθ _θ Equation 2- 7

2.2.1.3 Solutions analytiques de l’équation de Richards

Il n’existe que des solutions numériques pour l’équation de Richards. Cependant, moyennant certaines hypothèses simplificatrices, on peut établir des

solutions analytiques.

Equation de Green et Ampt généralisée

En faisant l’hypothèse d’une pression de surface constante et positive et en considérant un front d’infiltration en marche d’escalier, c’est-à-dire

Pour h_f ≤h≤0 θ =θ_set K =K_s h≤hf θ =θoet K=Ko

avec hf pression au front d’infiltration, négative

θo teneur volumique en eau du sol initiale

θs teneur volumique en eau du sol à saturation

Ko conductivité hydraulique (L/T) initiale

Ks conductivité hydraulique (L/T) à saturation

Green et Ampt ont établi une solution analytique de l’équation de Richards, l’équation de Green et Ampt généralisée (Haverkamp et al., 1999)

( )

[

]_[[

_]

( )

]

_[

[

( )

_]

][

]

( )

[

]

        − − − − + − − − + = s f surf s s t s s f surf s s t K h h K K t K I K K K h h t K I s s 0 0 , 0 0 0 0 , 0 1 ln θ θ θ θ θ θ θ θ Equation 2- 8

Avec hsurf pression en surface, constante et positive

I(t) infiltration fonction du temps

hsurf est connue comme condition à la limite imposée lors de l’expérimentation.

Cette équation est utilisée dans de nombreux modèles pluie-débit (Downer et al., 2002).

Autres modèles à base physique

Tous les modèles physiques d’écoulement en milieu non saturé et saturé (infiltration) dérivent des équations de Richards d’écoulement en milieu poreux

CHAPITRE 2 2. Processus et modèles existants

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homogène (moyennant plus ou moins d’hypothèses simplificatrices) : (i) Green et Ampt, (ii) Morel-Seytoux, (iii) Philip, (iv) Haverkamp, (v) Corradini et al., (vi) Smith et Parlange (Chahinian, 2004, Borah et Bera, 2003).

Jarvis et al. (1991) proposent une nouvelle approche de la modélisation des écoulements en milieu non saturé avec la prise en compte des écoulements préférentiels dans le modèle MACRO.

Ces modèles physiques nécessitent la connaissance des propriétés hydrodynamiques du sol K(θ) et ψ(θ) ainsi que les conditions initiales θi et les conditions aux limites. Or ces paramètres sont difficiles à mesurer sur le terrain et ces équations à base physique sont lourdes à mettre en œuvre dans un programme. C’est pourquoi nous préférons l’emploi d’un modèle conceptuel pour la représentation du processus d’infiltration.

2.2.1.4 Les modèles conceptuels

La plupart des modèles conceptuels sont des modèles à réservoir qui posent l’hypothèse d’une décroissante exponentielle de la capacité d’infiltration au cours de l’événement pluvieux (Horton, 1933, Diskin et Nazimov, 1995). Le modèle de Horton

(1933) est sans doute le plus utilisé de ces modèles à réservoir.

(

)

.exp( . ) )

(t i i i t

i = f + o − f −α Equation 2- 9

avec i(t) l'infiltration (L) en fonction du temps t, α une constante supérieure à 0 (T-1),

if et i0 les capacité d’infiltration finales et initiales (L.T-1).

Le modèle de Horton nécessite de renseigner les trois paramètres if, i0 et α. Ces paramètres sont généralement calibrés mais ils ont un sens physique. Sa mise en œuvre dans un programme est simple. Il existe également le modèle conceptuel à réservoir de Diskin et Nazimov (1995).

Le modèle empirique du Soil Conservation Service (USDA, 1972) doit également être mentionné. Etablie d’après des résultats expérimentaux obtenus sur des petits bassins versants de superficie inférieure à 0,04 km2, l’équation SCS nécessite aucune calibration de paramètres, mais sa nature empirique la rend plus difficilement transposable.

Une partie du volume de ruissellement de surface produit localement est stocké dans les dépressions du sol (Govers et al., 2000) et le reste est transféré à l’exutoire du bassin via un écoulement à surface libre dans le réseau hydrographique. Les processus de transfert, comme les processus de production, peuvent être modélisés de manière mécaniste ou conceptuelle.

2.2.2 Processus de transfert du ruissellement de surface

Le transfert à l’exutoire du bassin versant du ruissellement de surface peut être modélisé avec les équations physiques de l’écoulement à surface libre du système de Barré de Saint-Venant.

2.2.2.1 Système de Barré de Saint-Venant

Les solutions simplifiées du système d’équations de Saint-Venant mènent aux équations de: (i) l’onde dynamique, (ii) l’onde diffusante, (iii) l’onde cinématique (Chahinian, 2004).

CHAPITRE 2 2. Processus et modèles existants

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Les équations de l’onde dynamique constituent la solution numérique la moins simplifiée des équations de Saint-Venant et restent très gourmands en temps de calcul, nécessitant un schéma numérique de résolution aux différences finies (Borah et Bera, 2003).

Les équations de l’onde cinématique représentent une solution analytique des équations de Saint-Venant et sont donc beaucoup plus simple à mettre en œuvre du point de vue informatique. Les équations d’onde cinématique donnent des résultats précis dans la plupart des cas. La formule de Manning est utilisée pour calculer le débit.

Pour la plupart des crues, les termes d’accélération des équations de Saint- Venant peuvent être négligés, c’est pourquoi l’onde diffusive (2D pour un écoulement en nappe, 1D pour un écoulement concentré) est souvent utilisée dans les modèles (Borah et Bera, 2003, Downer et al., 2002).

Ces équations correspondent à une approche non-linéaire du processus de transfert mais la linéarité peut être approchée pour les fortes valeurs de débit, notamment entre le débit moyen et le débit maximal (Garfias et al., 1996). C’est pourquoi des approches conceptuelles linéaires, plus simples à mettre en œuvre, ont été développées en parallèle.

2.2.2.2 Approches conceptuelles

L’approche par hydrogramme unitaire est la plus répandue (Garfias et al., 1996). Elle permet de raffiner une approche encore plus simple, consistant à décaler simplement d’un pas de temps donné appelé temps de transfert la totalité de la contribution d’aires amont en aval le long du réseau de transfert. L’hydrogramme unitaire permet un décalage progressif de la contribution amont en aval en, l’ensemble de la contribution n’étant pas décalé en bloc dans le temps mais réparti en plusieurs parts, de temps de décalage différents.

Ces deux approches nécessitent beaucoup moins de paramètres que les approches mécanistes pour paramétrer le transfert du ruissellement (un paramètre de temps de transfert) mais ce paramètre nécessite d’être calé. Les approches conceptuelles sont également plus simples à mettre en œuvre d’un point de vue numérique.

De plus, l’utilisation d’une approche mécaniste pour modéliser le processus de transfert du ruissellement peut être compromise par la nature de l’écoulement dans les biefs du réseau hydrographique : à Rouffach par exemple, l’écoulement sur les routes d’exploitation se fait en nappe, avec une hauteur de la lame ruisselante généralement très faible, qui n’excède pas deux centimètres, ce qui place le transfert du ruissellement à Rouffach en limite de validité des équations de Saint-Venant.

Le choix d’une de des approches présentées pour la modélisation des débits ruisselés à l’exutoire d’un bassin versant pendant un événement pluvieux doit se doublé du choix d’une approche pour la modélisation des concentrations en pesticides de la lame ruisselante, à l’exutoire de la parcelle et à l’exutoire du bassin versant.

2.2.3 Processus de mobilisation des pesticides par la lame ruisselante à la parcelle

Nous ne présentons pas ici les mises en équations des processus de dégradation (biologique, chimique, photolyse) et de rétention, qui n’interviennent pas à l’échelle événementielle. On trouve une revue de ces équations chez Shui-Ming et al. (1993). La dissipation du stock initial de pesticide au cours du temps est en général modélisée par une cinétique d’ordre 1 (Lecomte, 1999).

CHAPITRE 2 2. Processus et modèles existants

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Nous considérons les processus de mobilisation des molécules par la lame ruisselante, principalement l’adsorption/désorption et la diffusion de la solution de sol vers la lame ruisselante, qui déterminent les concentrations en pesticides dans la lame ruisselante issue d’une parcelle, comme nous l’avons mentionné dans le chapitre 2.1.3.

L’approche classique en ce qui concerne la désorption consiste à considérer une

isotherme d’équilibre (équations de Freundlich et Langmuir en général ) (Lecomte, 1999). Des approches plus satisfaisantes utilisent un modèle à deux ou trois types de sites d’adsorption, caractérisés par des énergies de liaison plus ou moins fortes permettant de rendre compte du phénomène d’hystérésis (Carluer, 1998).

Cependant, la mobilisation des pesticides via la désorption et la diffusion est souvent modélisée dans une approche conceptuelle par un volume d’interaction sol / ruissellement, un coefficient d’extraction et l’équation générale du bilan de matière (Gouy, 1993).

En prenant en compte un coefficient d’extraction B (Masse.Volume-1) et en supposant un équilibre instantané entre la solution de sol et la lame ruisselante, on peut approcher la concentration dans la lame ruisselante Cw par l’Equation 2-10 :

d o w BK BS C + = 1 Equation 2- 10

avec So teneur initiale en pesticides dans le sol avant ruissellement

(Masse.Masse-1_{de sol sec) (Domange, 2005) et K}

d coefficient de partage liquide-solide.

Une alternative à cette approche classique d’un mélange instantané parfait

entre eau du ruissellement et eau du sol considère deux réacteurs chimiques séparés (lame d’eau ruisselante et zone de mélange du sol) qui s’échangent des flux chimiques à vitesse et taux limités (Domange, 2005).

Néanmoins, toutes les approches développées prennent mal en compte l’évolution dans le temps de la mobilisation des pesticides et l’influence de l’intensité de pluie. De plus, il n’est pas pertinent, d’après les conclusions du paragraphe 2.1.3, de considérer une relation linéaire entre la concentration dans la lame ruisselante et le stock initial de pesticides dans le sol au début de l’événement pluvieux (Cw et So).

Nous proposons donc une modélisation conceptuelle des quatre types d’évolution, considérés dans le chapitre 2.1.3, des concentrations en molécules phytosanitaires dans la lame ruisselante à l’exutoire d’une parcelle :

Constance dans le temps ; cette évolution ne nécessite qu’un seul paramètre pour sa modélisation, la concentration dans la lame ruisselante ;

Variation avec le débit produit à l’exutoire de la parcelle ; cette évolution ne nécessite qu’un seul paramètre pour sa modélisation, la concentration dans la lame ruisselante, qui correspond à la concentration maximale atteinte durant l’événement et qui est multipliée par le facteur (Qi/Qmax)

avec Qi débit à l’exutoire de la parcelle à l’instant ti et Qmax débit

maximum atteint au cours de l’événement ;

Décroissance et croissance exponentielle dans le temps ; ces évolutions nécessitent trois paramètres pour leur modélisation, à l’instar du modèle de Horton pour le ruissellement (décroissance), avec la concentration initiale, la concentration finale et un paramètre de forme de la courbe exponentielle.

CHAPITRE 2 2. Processus et modèles existants

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D’ailleurs, des représentations complexes des processus de mobilisation des pesticides à la parcelle restent inefficaces en modélisation à l’échelle du bassin de par la difficulté de paramétrisation qu’elles nécessitent (paramètres difficiles ou impossible à mesurer, grande variabilité spatio-temporelle). La plupart des modèles de transfert de pesticides à l’échelle du bassin versant utilisent donc des représentations simples de la mobilisation des pesticides au niveau des parcelles (Domange, 2005). Les quantités de molécules produites à l’exutoire des parcelles sont ensuite transférées dans le réseau hydrographique à l’exutoire du bassin versant.

2.2.4 Processus de transfert des pesticides dans la lame ruisselante à l’exutoire du bassin

Concernant les processus chimiques intervenant dans le transfert de pesticides vers les eaux de surface à l’exutoire du bassin, les exemples de mise en équation dans des modèles sont peu nombreux. Les quelques modèles représentant le transfert des produits phytosanitaires à l’exutoire d’un petit bassin versant durant un événement pluvieux via le ruissellement de surface sont présentés dans le chapitre suivant.

Généralement, aucun phénomène de dégradation durant le transfert à l’exutoire dans le réseau hydrographique n’est considéré au vu du temps de transfert faible des petits bassin (quelques minutes). Les molécules mobilisées sont donc transférées à l’exutoire tels des solutés conservatifs lorsqu’il n’y a pas d’échange avec la nappe dans le réseau hydrographique (ce qui est le cas à Rouffach).

L’écoulement dans la zone non saturée du sol peut-être modélisé de manière mécaniste par l’équation de Richards. Différentes équations dérivées correspondant à plus ou moins d’hypothèses simplificatrices, notamment l’équation de Green et Ampt, offrent des solutions analytiques. Mais toutes font appel aux propriétés hydrauliques des sols affectant l’infiltration : θ_{, teneur}

volumique en eau du sol (L3/L3), K conductivité hydraulique du sol (L/T) et h pression manométrique de l’eau (L). Or ces paramètres sont difficiles à mesurer sur le terrain et il faut multiplier les mesures à travers le bassin versant. Les approches conceptuelles et notamment le modèle de Horton sont donc préférées dans cette étude.

Concernant le transfert du ruissellement dans le réseau hydrographique, les équations du système de Saint-Venant pour l’écoulement à surface libre, qui possède des solutions simplifiées, permettent une approche mécaniste du transfert. Mais l’écoulement en nappe qui a lieu sur le bassin de Rouffach est en limite de validité des équations de Saint-Venant et le processus de transfert peut être considéré linéaire entre les débits moyens et maximum d’une crue. C’est pourquoi nous préférons une approche conceptuelle du transfert du ruissellement, basée sur un paramètre unique de temps de transfert.

Concernant la mobilisation des pesticides par la lame ruisselante à la parcelle, nous proposons une modélisation conceptuelle des quatre types d’évolution de la concentration en molécules phytosanitaires dans la lame ruisselante à l’exutoire d’une parcelle : constance dans le temps et variation avec le débit produit par la parcelle, nécessitant un seul paramètre, la concentration dans la lame ruisselante, et décroissance ou croissance exponentiellement dans le temps dans le temps, avec trois paramètres à l’instar du modèle de Horton pour les capacités d’infiltration (décroissance) .

CHAPITRE 2 2. Processus et modèles existants

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Le transfert des pesticides à l’exutoire du bassin versant peut donc être modélisé via la modélisation de la production et du transfert du ruissellement de surface et la modélisation des concentrations dans les lames ruisselante à l’exutoire des parcelles, sans prendre en compte de processus de dégradation ou d’adsorption-désorption des molécules au cours de leur transfert dans le réseau hydrographique.

La variété des modèles de transfert de produits phytosanitaires rencontrés concerne donc surtout les voies de transfert considérées et les échelles de temps et d’espace considérées, ainsi que les équations retenus pour la modélisation des processus de production et de transfert d’eau retenus. Une revue des modèles de qualité d’eau existants est proposée ci-après.

2.3 Revue des modèles de qualité d’eau existants

Dans le document De la mesure a la modelisation de transferts de produits phytosanitaires a l'echelle du bassin versant : quantification des incertitudes et definition de strategies d'echantillonnage (Page 103-110)