RESUME: L'alimentation d'une nappe à partir d'un cours d'eau temporaire peut ~tre déterminée par déconvolution des fluctuations de niveaux

mesurées dans des piézomètres proches du cours d'eau. La réponse impulsion-nelle de chaque piézomètre est déterminée soit expérimentalement

à

partir d'un épisode de crue exceptionnel., soit

à

l'aide d'un modèle maiUé simulant

l'aquifère.

1 - PRINCIPE DU MODELE DE CONVOLUTION UTILISE

Si l'on admet que le transfert de l'eau dans les milieux saturé et non saturé est linéaire, nous pouvons écrire une relation linéaire entre l'alimentation prôvenant d'un cours d'eau et la remontée du niveau de la nappe. Cette relation peut s'écrire sous la forme d'un produit de

convolution:

s ,(t.)

~

t

= ^.

J

o

q(T) • cp, ^{(t-T) dr}

~

(1)

L

s, (t) représente la remontée effective de la surface libre au piézomètre

~

d'indice i en fonction du temps;

q(t) est le débit infiltré dans le lit de l'oued au temps t;

cp, (t) est un opérateur dont l'application sur l'entrée q fournit la

~ .

sortie s du système.

On appelle déconvolution la recherche de ~ lorsque s et q

sont connus. La déconvolution est une technique mathématique d'identification dont les premières utilisations en hydrologie se proposaient de rechercher la forme de l'hydrogramme unitaire dans les relations pluie-débit. La théorie et les applications de cett~ méthode en hydrologie sont développées par G. de MARSlLY (1978) (voir également l'annexe l.l du mémoire).

Le problème le plus courant est l'identification de l'hydro-gramme unitaire. L'objet de la présente recherche consiste cependant à déterminer non pas la fonction de transfert ~, mais l'infiltration, donc l'entrée du système. Dans l'équation (1), q et ~ ont un rôle symétrique.

Dans la mesure où l'on peut accéder à la connaissance de ~ et s, par un procédé que nous décrirons, nous nous efforcerons donc d'identifier q par déconvolution.

~. (t) est la réponse impulsionnelle du système, reliant l'infiltration

l.

à la remontée au piézomètre i. Le ~y~tème eon6idé~1. eomp~end

al.LMi b~.en l'aqLU6è~e ~a.tuJté que. la zone Vlon siuunê

e.

~épMant

la ~M6aee

de

la nappe du

lit de

l'oued. ~. (t) sera la réponse,

1.

observée ou calculée, à une infiltration unitaire.

s. (t) = h. (t) - d. (t) représente la différence, à un instant donné,

1. 1. 1.

entre le niveau piézométrique h mesuré au piézomètre i et le niveau piézométrique d qui aurait été observé en l'absence de toute alimentation par l'oued. Nous supposons que les puits d'observation ne sont pas influencés par d'autres causes (pompage par exemple) ou, si tel était le cas, qu'une telle influence a été corrigée. Le niveau d(t) représente la décharge naturelle de la nappe depuis le niveau piézométrique initial (au temps t=o), correspondant au début de la période considérée. d(t) peut être calculé à l'aide du modèle de simulation de la nappe ou par ajuste-ment d'une loi de décroissance exponentielle sur la courbe de

décharge d'une crue précédente*.

*

^Si

l'oh

choisit la première solution (modèle de simulation), l'effet sur Si des pompages dans la nappe se trouve corrigé

q(t) est le _déb~

d'infliltnation dan6 t'oued

aU.temps t. Ce débit est considéré à l'instant où il quitte le lit du cours d'eau. Lorsque l'on discrétise l'intégrale de convolution, on considère la valeur moyenne de q sur un pas de temps déterminé. Etant donné la fré-quence des mesures piézométriques, le pas de temps sera le mois, ce qui représente un intervalle généralement plus long que la durée d'une crue. L'infiltration prise en compte sera donc le volume infiltré dans le lit de l'oued durant un pas de temps.

Etant admis que l'apport à la nappe provient exclusivement (cf. Chap. VII) de l'infiltration des crues dans le lit habituel de l'oued, la mise en oeuvre du modèle de convolution repose sur deux hypothèses:

a) Le _tnan66~ des quantités d'eau infiltrées à _tAave~

la zone non

~atunée depuis l'oued jusqu'à la nappe, est

un

phocc~~u~ linéai~e. s'il n'en était rien, la relation de convolution linéaire entre s et q ne serait plus vérifiée puisque le délai séparant l'infiltration de la remontée se trouve inclus dans cette convolution. Autrement dit, nous supposons que ce délai est le même pour toutes les crues. Cette hypothèse peut paraître

injustifiée si l'on considère que la perméabilité, donc la vitesse de filtra-tion, dans un terrain non saturé, dépend de sa teneur en eau. Toutefois, la comparaison des premiers résultats obtenus lors de l'étude du mécanisme de transfert de la crue de Juin 1968 (Chap. VI, P.113) et celle d'Octobre 1969

(Chap. VII, p.154) tendrait à montrer que, à l'échelle de temps et d'espace que nous envisageons, l'hypothèse de linéarité est valable~

b)

La

~~bution ~patiate

de ta

~ech~~e

te long du

e~x

de t'oued

g~de toujo~

ta même

att~e, ce qui revient à dire que, pour un débit total q infiltré à un instant donné, un pourcentage constant de q s'infiltre à travers une section donnée du lit de l'oued. Cette hypothèse est également basée sur les enseignements tirés de l'analyse des réactions de la nappe aux deux crues de Juin 1968 et Octobre 1969. Nous supposons, par ailleurs, que l'infiltration prise en compte est t'inn~ation

enflicace,

déduction

faite de la reprise par évaporation dans la tranche superficielle du sol après le passage de la crue: les volumes ainsi infiltrés parviennent donc intégralement à la nappe.

Dans ces conditions, la ~onet~on d~ t~an6n~ q~ ~égitle

;(Aa.n66~ dans la zon~ non satunê

e.,

Qu.~f qu.e so.c: ,f'rp,il>od~ de CJl.u~, se

dédubta

pM

a6MrU:tr- de.

ceil~ ld~YLÜMé~ .eOfl6 du

calage

du. mod(ife de ~imuf((

tion ma,[ffé ~n ~églm~ ;(Aan6ito~A~ (Fig. 41). Dans le modèle de convolution, cette fonction est incluse dans l'opérateur ~. de l'équation (1). Si l'on

l.

arrive à déterminer cet opérateur pour chacun des piézomètres i, on peut calculer par déconvolution l'infiltration q(t) sur la totalité de l'histori-que connu.

En réalité, nous obtiendrons autant d'estimations de. q(t) qu'il y a de piézomètres, car ces derniers sont traités indépendamment les uns des autres. Nous devrons donc vérifier que toutes les séries des q(t) déterminées pour l'ensemble des piézomètres sont compatibles.

2 - IMPULSION UNITAIRE ET PIEZOMETRES DE REFERENCE

Des considérations précédentes découle le choix de l'impulsion unitaire: on définit la recharge unitaire du système comme étant l'apport à la nappe occasionné par la crue de l'automne 1969, cet épisode et ses impli-cations au niveau de la nappe étant d'ores et déjà connus. En réalité, quatre crues importantes se sont succédées dans les deux oueds entre le 25 Septembre et le 30 OCtobre. Avec une approximation suffisante, on peut les considérer

gJLoupéU

l.luJL

un ma-i.-6: péJU.ade. que. l'on adopresu: c.amme. pM de.

cU6c.JLétL6a.û.al1 du temps dans les modèles de convolution, et qui s'adapte cà la

6JLéque.nc.e.du JLe.le.vél.l p"[ézamUJUquu.

Une dernière hypothèse doit enfin être véfifée: c'est celle admettant

l' un,,[wé de. la l.lauJLc.e. d'al,,[me.n:ta,ûan

(modèle à une entrée). Cette hypothèse suppose un parfait synchronisme des différents épisodes d'apport à la nappe par les deux oueds. Or, si le mécanisme du transfert dans le non saturé sous le Merguellil est moins connu que sous le Zeroud, on sait par contre que la simultanéité du ruissellement dans les deux oueds n'est pas toujours assurée, les deux bassins-versants n'étant pas exposés aux mêmes conditions météorologiques.

Pour s'affranchir de cette indétermination, on doit s'assurer que, au droit des piézomètres devant faire l'objet d'un calcul par déconvolu-tion, l'influence d'un seul des deux oueds est sensible sur la nappe. Si les

"[nte.JL6éJLe.nc.u

sont négligeables pour la crue de 1969, elles le seront également pour les autres crues. Pour vérifier cela, nous avons réalisé, à l'aide du modèle maillé, une simulation en régime transitoire, en calculant ce qu'aurait été la réaction de l'ensemble de la nappe si, au cours de

l'automne 1969, l'apport du Merguellil avait été nul.

Un critère évident pour le

c.ha,,[x du p,,[ézamè:tJLu de.

JLP~éJLe.nc.e.

devient donc l'appartenance à une zone d'influence propre à chacun des deux oueds, sur laquelle le second interfère peu ou pas du tout. La Fig. 43 permet d'apprécier ces interférences.

Il apparaît ainsi que la condition, suffisante, mais pas toujours nécessaire, pour le choix d'un piézomètre est sa situation au-delà de la ligne d'infiltration, ou encore au Sud de son lit pour le Zeroud, au Nord pour le Merguellil. Un dernier critère est enfin constitué par la proximité

du piézomètre à l'oued considéré. Lorsque l'on s'éloigne du cours d'eau, en effet, les fluctuations s'amortissent, ce qui augmente l'imprécision du calcul dans la recherche des entrées par déconvolution. On considèrera donc les piézomètres présentant les réactions les plus contrastées.

apport Zeroud seul

FIG. 43 - INTERFERENCE DES OUEDS ZEROUD & MERGUELLIL

..

^'

3 - REPONSES IMPULSIONNELLES

Pour déterminer les fonctions ~. en chacun des piézomètres,

1

deux méthodes peuvent être utilisées en théorie:

a) Etant donné t'imp~~on unit~e (pour chacun des 2 oueds), celle-ci est

~imutée ~~ le

modèle maillé

à l'aide duquel on détermin~, en chaque point i, une

~épo~e imp~~onnette ~i. Celle-ci sera utilisée ensuite pour la déconvolution.

ta

fonction ~. tient compte de la décharge naturelle, elle-même déterminée sur

1 .

le modèle maillé dans lequel on calcule l'évolution piézométrique en régime non influencé (alimentation nulle par les crues) en partant des mêmes

conditions initiales.

b) Si la ~~pon~e p~ézométnlqueà

ta

enue de 1969, considérée comme crue unitaire, est bien connue expérimentalement, on peut considérer qu'elle

constitue la~épo~e ~mp~~onnettedusystème au point choisi. Cette réponse devra cependant être corrigée de la décharge naturelle de la nappe. A l'aide de ce dernier procédé toutefois, seul le début de la réponse impulsionnelle peut être déterminé avec précision car la nappe remonte dès que survient l'épisode de crue suivant.

Dans le cas de Kairouan, la première méthode de détermination a été utilisée au départ. Mais, très vite, est apparu la difficulté de reconstituer un historique d'infiltration unique à partir d'un grand nombre de piézomètres.

Après élimination des points où existent manifestement des erreurs de mesures piézométriques, persistait une seconde source d'anomalies due aux écarts entre réponse calculée et réponse expérimentale lors du calage en transitoire de la crue de 1969. Plusieurs essais d'amélioration de ce calage furent alors tentés, mais un écart subsistait, qui, en modififiant l'allure de la réponse, provoquait l'anomalie indésirable: disparition d'une série de crues,

apparition de crues inexistantes, ou décalage dans le temps, ce qui rendait la synthèse de l'ensemble irréalisable.

Ces anomalies provenant essentiellement des erreurs sur la pointe de la réponse impulsionnelle (R.I.), une méthode mixte de détermination de cette réponse a dû être retenue: on assimile la première partie de la R.I. à la partie correspondante de la réponse expérimentale. On se limite, pour ce faire, à la période non influencée par les crues suivantes, soit

jusqu'en Avril 1970. La suite de la R.I. est calculée sur le modèle en transitoire.

4l- ïj{..

l ,

1 '.

^E

~

."s-01'

~E

01 lit:

1

- 1 "....

' - - - - 1 1 1 '...- _ _ i i

~1--...--....t7ZI- lt1Z

1.,.--l

FIG. 44 - REPONSE IMPULSIONNELLE ET REMONTEE EFFICACE AU PIEZOMETRE MS

Sur la majorité des piézomètres, on arrive de la sorte â obtenir un fUA.tolÛque Ulu.que d',ù16..iUJr..a.,t.ton dans l'oued, sauf en deux points: Z2 et 3..7. Là, la discrétisation de l'espace sur le modèle maillé n'était pas assez fine pour simuler la grande proxi~ité au lit de l'oued Zeroud et la queue de la R.I. a dft finalement être calculée par ajustement sur une loi de décharge exponentielle.

.-4 - DETERMINATION DES APPORTS A LA NAPPE

Sur les nombreux points du réseau de surveillance des nappes, seuls quelques-uns ont pu satisfaire l'ensemble des Œ~è~e~

de Œhoix

retenus:

a) appartenance à la nappe phréatique à surface libre b) historique piézométrique sans lacune

c) flUctuations contrastées du niveau piézométrique d) absence d'erreurs de mesure notables

e) historiques d'entrées (calculés par déconvolution) identiques en chacun des oueds.

Remplissant ces différentes conditions, cinq piézomètres ont été retenus pour le calcul de l'infiltration dans l'oued Zeroud. Ce sont les points Z2, Z3, Z6, Z7 et Z14. Pour l'oued Merguellil, quatre piézomètres ont été sélectionnés. Il s'agit des points Ml, MS, M7 et M21.

En chacun de ces points est appliquée la méthode de déconvolution proposée où les sorties sont constituées par les ~emon:tê~ e66ec;ti;ve~ au~_

piézomètres déterminées à l'aide du

modèle metLUé

avec comme condition initiale t=o au 1er Mai 1970.

Jusqu'en Avril 1974, c'est donc une période de 4 années entières qui constitue l'historique de référence. Durant cette période, utilisant les différentes réponses impulsionnelles décrites précédemment, on recherche par déconvôlution les débits infiltrés dans le lit de chacun des oueds Zeroud et Merguellil. Si la sortie et la R.I. sont exprimées en mètres, le résultat de la déconvolution est sans dimensions et représentera à chaque mois l'infiltration efficace au sommet de la zone non saturée, exprimée en

fraction de l'entrée unitaire du système. Celle-ci est égale à 120 M m3/mois pour le Zeroud et à 60 M m..3/mo i s pour le Merguellil.

Un certain nombre d'épisodes d'infiltration, dont la durée va de 1 à 3 mois, ont d'abord été déterminés par référence aux piézomètres Z14 et MS, lesquels présentent les fluctuations les plus contrastées et fournis-sent donc les résultats les plus précis. Cela nous permet de définir 11

épisodes pour le Zeroud et 10 pour le Merquellil, tous correspondant à une ou plusieurs crues successives observées en surface. Tous ces épisodes, numérotés dans l'ordre chronologique, ont ensuite été repérés sur les autres piézomètres.

Les Fig. 45 et 46, ainsi que le Tableau 5 présentent

l'ensemble des résultats obtenus pour les deux oueds. Ces résultats parais-sent légèrement surestimés aux piézomètres Z2 et Z7, ce qui peut s'expliquer par la méthode utilisée là pour déterminer la réponse impulsionnelle. Par ailleurs, le point Mt indique 3 épisodes aberrants que l'on ne retrouve pas sur les séries calculées aux points M5, M7 et M21: l'ab~en~e de ~tation

hydJr.omé.tJUque

~ontJz.ôlant

l'

en~emble du Jtu1A~eUement da~ le HeJtgueUil à l'entrée de la plaine (contrairement au cas du Zeroud)

Jtend

mail~é

l'identi-6i~ation pJtéei6e d~ d{~~PJten~ pn~~ode~ de eJtUe. Si l'on néglige ces quelques anomalies, le volume d'infiltration efficace calculé durant les 4 années de référence est égal à 100 millions de m³ pour l'oued Zeroud et à 50 millions de m³ pour le Merquellil, ce qui est moindre que l'apport da à la seule crue de l'automne 1969.

l,---...<....-- _

;

1171 "11 1172 ,tU

1174--.r - ,

FIG 45 - APPORTS DU ZEROUD, CALCULES PAR DECONVOLUTION AUX PIEZOMETRES Z3, Z2, Z14 ET Z6

1

FIG. 46 - APPORTS DU MERGUELLIL, CALCULES PAR DECONVOLUTION AUX PIEZOMETRES Ml, MS, M7 et M21

OUED ZEROUD

Volume en crue Volume infiltré, calculé par Episode Date ruisselé à déconvolution (millions m3)

de crue Sidi Saâd

(millions m3) z6 z3 z14 Z7 z2

1 5-70 3.0 0.8 1.3 1.9 1.9 4.3

11 12-73 150. 30.4 32.3 14.8 27.5 28.2

Total 414.5 107.1: 100.4 92.4 119.4 139.5

OUED MERGUELLIL

Volume en crue Volume infiltré, calculé par Episode Date ruisselé à déconvolution ( millions m3)

de crue Haffouz*

(millions m3) Ml M5 M7 M21

1 6 & 7-70 1.65 2.1 ? 2.2

Total 73.7 67.0 50.8 37.1 58.5

* La station d'Haffouz ne contrôle que la moitié du bassin-versant de l'oued Merguellil, alors que celle de Sidi Saâd contrôle la totalité de celui de ~'oued Zeroud.

TABLEAU 5 - VOLUMES INFILTRES, CALCULES PAR DECONVOLUTION

Ces résultats comportent pourtant trois sources d'erreurs possibles:

a) La principale imperfection concerne le calcul de

-t'entJt(>e

unLtahte Il suffit, en effet, que l'on ait commis une erreur d'estimation du

débit infiltré en OCtobre 1969, lors du calage du modèle en transi-toire, pour que cette erreur se répercute sur tous les débits calculés par déconvolution.

b) Avec l'hypothèse de linéarité, on admet que les transmissivités varient très peu avec l'épaisseur mouillée de l'aquifère. Or, le calage des tnan6m~~ivité~ a été réalisé par référence à Janvier 1969, soit un état de

bctMU-eaux.

La crue d'Octobre 1969 ayant provoqué des remontées importantes, les transmissivités aux abords des cours d'eau auraient pu s'en trouver accrues, d'où une possibilité d'avoir

~oU6-utiméle

volume in6if...tJté.

^La valeur de cette incertitude est inconnue.

c)

Le

p~

de

~emp~ utilisé, déterminé par la fréquence de la grande majorité des mesures, nécessite le

cumul

du _cJtue~

de naib-te impoJt-tance.

Il a donc été impossible de distinguer les apports de crues ayant ruisselé moins de 2 millions de m3 à Sidi Saâd.

Considérant ces trois points, il a paru nécessaire de vérifier ces résultats à l'aide d'Une méthode d'approche différente.

5 - CONTROLE DES VOLUMES INFILTRES PAR CALCUL DES VARIATIONS DE RESERVES

Recherchant un moyen de vérifier la validité des résultats obtenus jusqu'à présent, que ce soit à l'aide du modèle de simulat~onmaillé ou par la méthode de déconvolution, nous avons utilisé, à titre de contrôle, le krigeage* de la surface piézométrique ,de la nappe à différentes époques.

Ce calcul, réalisé en collaboration avec J.P. DELHOMME, permettra d'estimer la variation des réserves de l'aquifère.

Dans la zone influencée par les deux oueds, il existe 50 points de mesure (puits-témoins et piézomètres) sur lesquels on dispose de relevés

continus des niveaux de la nappe phréatique pendant les cinq années de référence:

Janvier 1969 à Avril 1974. Nous nous sommes efforcés, sur toute cette série, de co~gen.autant que possible par analogie les e~e~

de

me~une les plus apparentes.

A partir des points expérimentaux, nous avons calculé à chaque mois, par krigeage, la charge moyenne en chaque maille d'une grille régulière. Recherchant uniquement les volumes infiltrés par les crues après Janvier 1969, l'entrée du calcul est constituée par la _~emontee

e66ective

de la nappe en chaque point, c'est à dire la cote piézométrique mesurée de laquelle est déduite la cote piézométrique au même point calculée en l'absence de toute crue. Cette dernière a déjà été déterminée sur le modèle de simulation et correspond au tarissement naturel de la nappe après Janvier 1969.

Dans ces conditions, à chaque mois on obtient par krigeage une estimation du volume. de milieu poreux saturé par infiltration des crues :des deux oueds. On applique ensuite à chaque maille le coefficient

d'emmaga-sinement ajusté au préalable sur le modèle de simulation, et l'on calcule le volume de fluide injecté correspondant. En théorie, ce dernier volume ne devrait jam~ dec~o~e si le tarissement simulé était correct, et dans la mesure où aucune

nuite

ne se produit vers l'extérieur de la grille de calcul durant la période de référence.

* L'Annexe I.2 présente le principe du krigeage. Cette technique, que nous avons utilisée pour définir un critère d'ajustement du modèle maillé (cf.

annexe II.4), sert ici comme interpolateur optimal des hauteurs piézométriques.

Cette Jrille de krigeage est limitée verticalement à la nappe phréatique. Horizontalement, elle est limitée vers l'aval aux points sur lesquels on estime que l'effet des crues dans le lit des oueds cesse de se manifester, durant la période de référence, en raison de leur éloignement important (Fig. 47) •

Les résultats du calcul par krigeage sont résumés par la Fig. 48 représentant le cumul des quantités d'eau entrant dans la nappe, de Janvier 1969 à Avril 1974. Nous avons tenté, à chaque pas de temps, de distinguer ce qui vient du Zeroud de ce qui provient du Merguellil, en

comptabilisant les apports calculés au Sud et au Nord de la séparation constituée par la ligne de courant suivant le creux de la dépression piézo-métrique située entre les deux oueds. Cette ligne de séparation,

FIG. 47 - GRILLE DU CALCUL PAR KRIGEAGE

particulièrement nette sur la moitié amont de la plaine où les remontées sont fortes, devient difficile à localiser à l'aval, ce qui risque d'induire une certaine imprécision sur la part de volume à affecter à chacun des deux oueds. En définitive, pour la crue de l'automne 1969, les apports à la

nappe s'établissent à 116 millions de m3 pour le Zeroud et à 82 millions de m3 pour le Merguellil. FIG. 48 - VOLUMES INFILTRES

.U.OO 12.00 2lJ.00 36.00 qs.oo

60.00

Sur la suite des courbes. de la Fig. 48 les apports faibles et moyens ne sont pas décelables avec précision. Ils se traduisent par une montée plus ou moins continue de la courbe, ce qui était prévisible car, dans la somme globale sur une grande superficie, les perturbations de faible ampli-tude sont masquées par la propagation vers l'aval des grandes perturbations antérieures. Il faudra attendre jusqu'aux crues importantes de Mars et de

Décembre 1973 pour noter une nette inflexion de la courbe des volumes infiltrés en fonction du temps.

Après le premier maximum (aux environs de Janvier 1970, ce qui confirme encore une fois le délai de quatre mois observé par d'autres moyens), la légère décroissance de la courbe des volumes cumulés, observée en 1970, peut avoir deux significations:

a) la décharge naturelle des niveaux piézométriques, calculée sur le modèle de simulation, n'est pas assez rapide, ce qui signifierait

a) la décharge naturelle des niveaux piézométriques, calculée sur le modèle de simulation, n'est pas assez rapide, ce qui signifierait

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