Représentations topologiques

L’utilisation des caractéristiques topologiques est une alternative promet- teuse dans le but de décrire les objets 2D et 3D. Cela a beaucoup motivé des recherches pour obtenir des algorithmes efficaces sur différentes représen-

tations d’objets topologiques (complexes simpliciaux, complexes de cellules, complexes cubiques, pyramides irrégulières, cartes généralisées et d’autres [35, 62]). Cependant, diverses applications et algorithmes dans la topologie calculatoire qui traitent une représentation d’objet 2D et 3D avec une sim- plification et une réduction significatives sont conçus.

Dans cette section un aperçu des méthodes de représentations basées sur l’as- pect topologique est donné. Une représentation topologique qui est qualifiée de haut niveau consiste à décrire et représenter des objets avec des struc- tures en préservant les caractéristiques topologiques incluses (distinguer les invariants topologiques existants). Plusieurs catégories sont envisagées.

Représentations basées sur les structures de complexe

En topologie algébrique, trois structures de complexe sont les plus utilisées dans le calcul et l’analyse topologique ((co)homologie, homotopie, etc) et qui sont illustrées comme suit:

– Structures cubiques:

Les applications avec la structure de complexe cubique sont aussi nom- breuses. Dans [6, 7, 8, 20, 21, 50, 86, 87], la structure est conçue pour appliquer la théorie de l’homologie cubique. Dans [36, 37], une méthode est conçue pour réparer localement un complexe cubique 3D complet original (dans R3_{) associé à une représentation à base de voxels d’une} image donnée, pour obtenir un complexe polyhedral bien-composé ho- motopiquement équivalent au complexe original. Une procédure est dé- veloppée pour obtenir en sortie un complexe polyhedral 3D complet

bien-composé qui est homotopiquement équivalent au complexe cu- bique 3D représentant une image binaire 3D d’entrée. Un complexe polyhedral 3D est dit complet si toutes ces cellules maximales ont une dimension 3. Un complexe est bien-composé si sa fontière surface est une variété lisse 2D (ou ’manifold’).

Dans [12], un algorithme d’amincissement parallèle avec des sous-étapes directionnelles en fonction de l’opération d’effondrement (qui est ga- rantie pour préserver la topologie) est proposé pour fournir un résultat mince. Deux variantes du schéma d’amincissement de préservation de la surface sont proposées, basées sur cet algorithme d’amincissement directionnelle et parallèle. Ce travail est concentré sur les squelettes dans l’espace cubique discret tri-dimensionnel. Dans de tels espaces, la préservation de la topologie est toujours garantie par l’utilisation des méthodes d’amincissement de préservation de la topologie, basées, par exemple sur la suppression du point simple.

Dans [13], les objets sont des sous-ensembles d’une grille cubique de dimension n (en particulier, quand n=2 où n=3). Ces objets sont des complexes cubiques composés de collections d’éléments de différent di- mensions (points, segments, carrées, cubes, ...) obéissant à certaines conditions. La préservation topologique est assurée par l’utilisation de l’opération de l’éffondrement qui est une réduction élémentaire qui pré- serve l’homotopie. Dans ce travail, trois idées sont combinées: axe λ- médian, amincissement directionnel et parallèle et amincissement guidé. Cette méthode aussi produit une séquence d’opérations de l’éffondre- ment à partir duquelle une structure de graphe acyclique est dérivée

appelée le graphe de flux ou ’flow graph’. Dans le cadre des complexes cubiques, la notion de carte topologique (basée sur un graphe de flux) est définie.

Dans [39], à partir du volume binaire, un complexe cubique est construit qui le représente selon le principe d’adjacence 6- où 26-connectivité. Alors le complexe est mincé en utilisant la méthode proposée basée sur la méthode de l’éffondrement, qui préservent les caractéristiques géométriques significantes. L’étape finale réduit le nombre de cellules en utilisant la théorie de Morse discrète. Le résultat de cette méthode, en plus du contenu de la squelettisation, peut être utilisé pour calculer l’homologie du complexe original, qui toujours fournit des générateurs d’homologie de bonne forme.

– Structures simpliciales:

Dans [11], des formes arbitraires discrétisées à travers des complexes simpliciaux sont proposées, et l’homologie simpliciale d’une forme peut être efficacement exprimée en terme de l’homologie de ses sous-composantes. Cet algorithme relie l’homologie d’un espace topologique aux homolo- gies de ses sous-espaces, c-à-d, les sous-composantes de la forme d’entrée et leurs intersections. Un algorithme itératif pour calculer l’homologie des formes arbitraires discrétisées à travers des complexes simpliciaux est proposé dans [11]. Cet algorithme démontre comment l’homolo- gie simplicialle d’une forme peut être efficacement exprimée en termes d’homologie de ses sous-composantes.

Dans [40], une méthode pour calculer la cohomologie des images nu- mériques 3D de valeurs binaires est proposée en utilisant le modèle

AT-Modèle (modèle algébrique-topologique) et en basant principale- ment sur deux directions: (1) un complexe simplicial pour une image numérique en utilisant la relation d’adjacence (14, 14) entre les voxels est construit; (2) application d’un processus d’homologie algébrique dans laquelle une modification algébrique c (un type special d’équiva- lence homotopique à chaînes) connectant canoniquement le complexe à chaînes associé à la version simpliciale de l’image numérique avec son homologie est construit. Il est possible de calculer un AT-modèle pour une image numérique sous d’autres représentations. Pour une représen- tation simpliciale, le AT-modèle pour une image numérique nD (n = 2, 3) I est le couple (I,c) où c est une contraction à chaînes du com- plexe à chaînes associé à cette représentation à un autre complexe à chaînes. D’autres d’applications en topologie qui adoptent la structure simpliciale ont été conçues [53, 68].

– Structures cellulaires:

Dans [15], une subdivision initiale des surfaces fermées 2D, représentée par une carte généralisée où chaque cellule est une balle topologique pour construire un complexe cellulaire destiné au calcul de l’homologie. Dans [16], une approche qui consiste pour des objets 3D subdivisés orientés à définir une subdivision initiale, représentée avec une carte généralisée de cellules où le nombre de cellules est réduit en utilisant des opérations de simplification (suppression de cellules) en un objet 3D simplifiée tout en préservant l’homologie. Une représentation minimale qui est homologue à l’objet initial est obtenue. Même idée est dans [17] où un algorithme est appliqué sur des cartes généralisées nD en

utilisant la suppression de cellules pour réduire le nombre de cellules tout en préservant l’homologie.

Un algorithme d’amincissement qui supprime les cellules simples avec la préservation de la topologie (une généralisation de points simples) d’un complexe cellulaire est donné [23]. L’algorithme d’amincissement, contrairement à la méthode de l’effondrement standard de la topologie algébrique, ne nécessite pas la structure complète du complexe cellu- laire, mais il utilise uniquement les éléments de dimension supérieure du complexe, avec une économie de mémoire évidente.

Un autre algorithme d’amincissement, opérant sur des objets représen- tés comme des complexes cellulaires. Cet algorithme d’amincissement qui, d’une part, préserve la simplicité d’un algorithme typique numé- rique d’amincissement et, d’autre part, donne des squelettes stables et contrôlables qui captent les caractéristiques globales de la forme [58]. Dans [1], une représentation algébrique linéaire (LAR) est proposée. Le but est de fournir une représentation qui supporte toutes les construc- tions topologiques qui surviennent d’une décomposition cellulaire de l’espace (maillage, image, frontière, etc.). Des complexes cellulaires en modulo 2 sont utilisés, les d-chaînes sont des ensembles des d-cellules, la base standard de l’espace linéaire Cd dans Z2 des d-chaînes est four- nie par les singletons des d-cellules, chaque d-cellule est représentée par une application Cd–>Z2Cd, c-à-d., par une ligne d’une matrice binaire des caratéristiques Md.

Dans [3], des structures cellulaires sont utilisées pour coder des subdi- visions des espaces finies de dimension n. Schématiquement, ces struc-

tures sont définies selon deux modèles principaux (représentations ba- sées sur le graphe d’incidence et modèles commandés). Dans les deux, la topologie des objets cellulaires sont définis sans ambiguïté comme la topologie de leur analogique simpliciale, c’est-à-dire qu’il est possible d’associer un objet simplicial à n’importe quel objet cellulaire et cet objet simplicial est structuré en cellules. Les représentations basées sur le graphe d’incidence se basent sur une définition explicite des cellules et leurs relations d’incidence alors que leur complexe simplicial abstrait associé est implicitement défini. Les modèles commandés, comme des structures dérivées de la cellule-tuple et de la carte combinatoire, four- nissent explicitement l’interprétation simpliciale d’un objet et codent implicitement les cellules et leurs relations d’incidence.

Une approche basée sur un complexe cellulaire appelé un CW-complexe, qui est un système basé sur la décomposition de l’espace cubique avec des frontières polyhédrales approximées est conçue dans [54]. Des vo- lumes sont cependant séparées par ces frontières. L’approche qui est ba- sée sur un CW-complexe est convenable pour un calcul robuste par une approximation linèaire et un calcul plus efficace dans un environnement de calcul parallèle distribué et cela par la localization des opérations géométriques à travers la décomposition de l’espace.

Dans [4], une méthode proposée permettant de construire une fonction qui correspond à un complexe de Morse-Smale d’une fonction définie sur R2 _{après suppression de paires de points critiques dans celui-ci. Une} méthode de reconstruction de champs scalaires à partir de complexes de Morse-Smale simplifiés est aussi décrite. Pour cela, une approximation

des 1-cellules (les liens entre les points critiques dans le complexe de Morse-Smale, ceux-ci sont décrits par des polylignes) par des courbes composées de courbes de Bézier cubiques est appliquée. D’autres appli- cations existent en littérature et qui utilisent la structure de complexe de cellules (par exemple, des cellules polyhédriques [36, 37, 38, 60, 61]).

Représentations basées sur les squelettes topologiques

Les squelettes topologiques se sont montrés être des descripteurs de formes intéressants. Ils bénéficient à divers domaines comme la métamorphose de forme, la déformation, l’indexation, le placage de textures, etc [82]. D’après [12], supposons un objet X, le squelette de X est un sous-ensemble de X qui est 1) mince, 2) Centrée en X et 3) topologiquement équivalente1 à X. Pour extraire les squelettes des objets géométriques, différentes méthodes ont été proposées, en s’appuyant sur différentes approches: géométrie discrète, topo- logie computationnelle, morphologie mathématique, géométrie calculatoire et équations différentielles partielles. Cependant, il est généralement difficile, dans des espaces discrets, à satisfaire les conditions 1), 2) et 3) ensemble. Comme déjà vu précédemment, dans [39], un nouveau genre de squelette pour des volumes binaires appelé le squelette cellulaire est proposé. Ce sque- lette n’est pas un sous-ensemble de voxels d’un volume ni un sous-complexe d’un complexe cubique: il est un complexe à chaines en même temps avec une réduction du complexe original. Le squelette résultant est une réduction qui préserve l’homologie du complexe original et l’information géométrique de résultat de l’étape précédente. Le résultat de cette méthode, en plus du

contenu de la squelettisation, peut être utilisé pour calculer l’homologie du complexe original, qui toujours fournit des générateurs d’homologie de bonne forme.

Dans la thèse [72], un algorithme de visualisation et d’analyse des objets est proposé afin de calculer des squelettes en voxels à partir de voxels des ob- jets massifs avec une architectue complexe en utilisant une représentation de squelette comme une partie de traitement. Dans une première étape, l’image originale est soumise à un pré-traitement et segmentation. L’objet en voxels en résultat est l’entrée à l’étape de squeletisation, qui calcule un squelette en voxels.

Dans [12], une méthodologie est proposée pour produire des squelettess de surface filtrés basée sur les méthodes d’amincissement et l’axe médian discret. Ce travail est concentré sur les squelettes dans l’espace cubique discret tri- dimensionnel.

Dans [13], nous avons déja mentionné qu’il y a trois idées sont combinées: axe λ-médian, amincissement directionnel et parallèle et amincissement guidé. Dans le cadre des complexes cubiques, la notion de carte topologique (basée sur un graphe de flux) est définie. Finalement, un schéma de squelettisa- tion est proposé qui produit des familles de squelettes filtrés homotopiques. Un squelette filtré est obtenu comme un ensemble de niveaux de la carte topologique pré-calculée.

Représentations basées sur les graphes

Une structure de graphe squelettique pour la représentation topologique de la forme 3D en utilisant la théorie Morse est modélisée dans [59]. L’algorithme de squelettisation proposé code une forme 3D dans un graphe de Reeb topo- logique en utilisant une fonction de distance de mélange normalisée. Égale- ment un algorithme d’appariement de graphes est proposé en comparant les plus courts chemins relatifs entre les points d’extrémité du squelette. L’effi- cacité de cette structure de graphe de Reeb topologique proposé démontre la faisabilité d’employer cette structure comme une signature de forme pour l’appariement et la recherche d’objets 3D.

L’approche de Zhou et al. [84] qui est basée sur le graphe est plus proche de celle de [42, 77]. Ces dernières approches codent la topologie de l’objet solide (au lieu de la surface) comme un graphe, et élimine les ’handles’ par briser les cycles dans le graphe en utilisant les opérations morphologiques de préservation de la topologie. Cependant, la construction de graphe de Reeb dans [77] est basée sur un balayage aligné aux axes, pendant que l’élimination de ’handles’ avec le graphe dans [42] nécessite une analyse de connectivité non triviale pour identifier les ’handles’ cachés dans chaque noeud de graphe. Contrairement, la représentation en squelette proposée dans [84] d’un objet solide est simplement suffit pour calculer une grille adaptive et permettre pour une identification facile des ’handles’ de surface de différente taille. Dans [83], une approche d’indexation de modèles 3D appliquée aux recherches par similarité de forme et d’aspect dans des bases de données d’objets 3D est présentée. L’approche repose sur la méthode d’appariement de graphes

de Reeb multirésolution proposée par Hilaga et al. [44]. Le travail est basé sur des maillages de modèles 3D de géométrie plus ou moins complexes, à différents niveaux de résolution, et parfois texturés.

Aussi, une structure hierarchique d’une image 2D, c-à-d, une pyramide de graphes irrégulier est conçue dans [69, 70, 71] (pour représenter une image 2D multi-résolution) afin de calculer les groupes d’homologie et leurs généra- teurs. À partir de l’image, une hierarchie de l’image est construite, par deux opérations qui préservent l’homologie de chaque région. Au lieu de calculer les générateurs d’homologie sur la base où le nombre de cellules est large, une réduction du nombre de cellules par une pyramide de graphes est appliquée.