Pour achever la tâche de localisation plus facilement, nous devons obtenir les chaînes de cycle par lire des chaînes sauvegardées dans la structure de pile, ce processus est appelé la reconstruction. Alors, la lecture est achevée en parcourant la pile de haut au bas, c-à-d., retourner du complexe final au complexe initial (où au complexe avant d’appliquer la première opération d’éffondrement de face intérieure). Avant de commencer ce processus, nous illustrons par un exemple le calcul d’homologie pour un complexe cellulaire simplifié de dimension 2. La figure 4.1(iv) montre deux classes d’homologie : [v14] pour le groupe H0 et [d2] pour le groupe H1. La tâche de localisation est achevée par la reconstruction des chaînes de cycle de leurs générateurs d’homologie. Dans l’exemple de la figure 5.4(i), nous nous somme intéréssés seulement à la localisation des trous, alors nous considérons uniquement aux itérations liées à l’opération d’éffondrement de face intérieure de niveau 1. Donc, le processus de reconstruction est exécuté sur une pile avec six élé- ments indexés par leur numéro d’itération #it et qui est crée durant les six itérations d’éffondrement de face intérieure du numéro #it=19 à #it=14. Chaque élément est constitué d’un ou plusieurs triplets. Par exemple, l’élé- ment de #it=18 est composé de deux triplets. Alors, cette pile est composée de six éléments et est remplie par l’ensemble suivant des triplets :
(17,d4, + ∂d4− ∂c3); (17,c2, + ∂c2); (17,d2, + ∂d2); (16,c3, + ∂c3− ∂e6); (16,d4, + ∂d4); (16,c2, + ∂c2); (16,d2, + ∂d2); (15,e6, + ∂e6− ∂a6); (15,c3, + ∂c3); (15,d4, + ∂d4); (15,c2, + ∂c2); (15,d2, + ∂d2); (14,a6, + ∂a6− ∂b2); (14,e6, + ∂e6); (14,c3, + ∂c3); (14,d4, + ∂d4); (14,c2, + ∂c2); (14,d2, + ∂d2)i.
Le premier triplet de cet ensemble montre qu’à l’itération #it=19, la cellule avec la clé key =′ d′
2 n’est pas écrasée mais avait une nouvelle frontière ′ + ∂d2 + ∂c2′. Le second triplet montre qu’à l’itération #it=18, la cellule avec la clé key =′ d′
2 n’est pas aussi écrasée, mais maintient sa frontière. Même raisonnement de lecture peut être appliqué sur les triplets restants. Ainsi, dans cet exemple, nous nous intéressons seulement à la reconstruction de la chaîne de cycle de la classe d’homologie [d2] pour le groupe d’homologie H1. L’exécution du processus de reconstruction qui montre comment lire la valeur de boundary_chain avec comme référence la valeur de la clé key de l’itération #it=19 à l’itération #it=14 est comme suit:
- À #it=19, le sommet de la pile définit un élément avec un seul triplet référencié par la clé ′d′2, alors, nous prenons la valeur de boundary_chain de cette clé qui s’assortit à une cellule unique incluse dans chz. Parce que chz=+d2, et à cette itération, ∂19
1 d2=∂
18
1 (d2 + c2). Ainsi, la nouvelle valeur de la chaîne de cycle chz est +d2+ c2.
- À #it=18, le sommet de la pile définit un élément avec deux triplets avec deux clés ′d′
2 et′c′2, alors, nous prenons la valeur de boundary_chain de ces clés qui s’assortissent aux cellules incluses dans chz. Parce que chz=+d2+c2, et à cette itération, ∂18 1 d2=∂ 17 1 (d2+c2) et ∂ 18 1 c2=∂ 17 1 (c2−d4). Ainsi, la nouvelle
valeur de la chaîne de cycle chz est +d2+ c2− d4. Nous répétons le processus jusqu’à nous atteignons l’élément de la pile de l’itération #it=14. Dans ce cas, cet élément contient six triplets qui associent à six clés′a′6,′e6,′ ′c3′, ′d4′, ′c′
2 et ′d′2. Alors, nous prenons seulement la valeur de boundary_chain de
ces clés qui s’assortissent correctement aux cellules incluses dans la chaîne chz et qui est evaluée dans la dernière itération. Ainsi, à cette itération, ∂14 1 a6=∂ 13 1 (a6 − b2), ∂ 14 1 e6=∂ 13 1 e6, ∂ 14 1 c3=∂ 13 1 c3, ∂ 14 1 d4=∂ 13 1 d4, ∂ 14 1 c2=∂ 13 1 c2 et ∂14 1 d2=∂ 13
1 d2. Cependant, la nouvelle valeur de la chaîne de cycle chz est +d2+ c2− d4+ c3− e6+ a6− b2. En effet, le script de haut dans l’opérateur de frontière indique le numéro de l’itération #it tandis que le script de bas est le groupe du complexe à chaînes dans lequel l’opérateur est appliqué. À noter que ∂0
1 indique l’état initial de l’opérateur de frontière avant de débuter la méthode de réduction. À noter que la complexité calculatoire du processus de reconstruction est O(npm), ou n est la taille de la pile, p est la longueur maximale de boundary_chain et m est la longueur maximale de la chaîne de cycle de résultat. Pour la comparaison, dans le cas d’un complexe cubique standard, les paramètres n, p et m ont des valeurs plus larges que les valeurs déduites lorsqu’on applique le complexe cellulaire avec des bblocs cubiques. L’utilisation du processus de reconstruction pour le complexe cellulaire donne plus d’avantages et bénéfices que pour le complexe standard. Alors, deux facteurs augmentent considérablement le temps d’exécution de ce processus quand on utilise le complexe standard: 1) le générateur d’homologie extrait peut avoir une longue chaîne de cycle; 2) la pile qui est remplie d’éléments sauvegardés peut être de taille large.
5.3
Optimisation de la localisation
Dans cette section, nous avançons un pas en plus et montrons que tout géné- rateur peut entourer géométriquement et exactement un trou ou une cavité, dans ce cas, il est appelé un générateur minimal (où optimal). Aussi, un ensemble de générateurs est appelé minimal s’il n’existe aucun couple de générateurs qui s’intersectent entre eux, et chaque générateur qui entoure géeométriquement et exactement un seul trou se situe sur la frontière de l’objet et son intérieur est disjoint (une seule cavité dans les images 3D). Dans la figure 5.4(i), supposons z1 = +b1+ b4 + e6− d1− c5− c1 − a6− b3 qui note une 1-chaîne de cycle qui représente un générateur ordinaire (où par défault), et z2 = +b2+ e6− d1− c5− c1− a6 qui note une 1-chaîne de cycle qui représente un générateur minimal. Les deux générateurs avec les 1-chaînes de cycle z1 et z2 sont intersectés géométriquement puisque le premier générateur de z1n’est pas minimal. Pour calculer les générateurs minimaux, nous devons appliquer un nouveau processus de tri sur le complexe cellulaire initial avant la génération du complexe à chaînes avec des bases triées.
Avant de débuter le processus de l’éffondrement de niveau q, nous avons be- soin de définir deux bases Eq et Eq−1 et nous trions toutes les faces de Eq−1 qui sont soumises à la méhode de fractionnement. La nouvelle base triée E′
q−1 est formée de deux sous-ensembles: un sous-ensemble des faces partiel- lement communes et un sous-ensemble des faces régulières. A rappeler qu’une face régulière est géométriquement un bloc (ou n-box ) libre (face n’est pas fractionnée) et une face partiellement commune est un bloc qui est le résul- tat d’une intersection entre deux faces régulières anciennes. Par exemple, les
blocs 1-box c3 et a1 (ou a6) dans la figure 4.1(iv) sont respectivement une face partiellement commune et une face régulière. Le sous-ensemble des faces régu- lières est trié par la mise les blocs les plus lointaines de l’origine à l’entête du sous-ensemble. Formellement, supposons E′
q−1={{pci},{orj}} se compose de sous-ensemble des faces partiellement communes et sous-ensemble des faces régulières triées de dimension (q − 1), pour i = 1..m et j = 1..n ou m et n sont respectivement les tailles des deux sous-ensembles. Alors, dans notre exemple dans les figures 5.4, la nouvelle base E′
1 est crée après l’application du processus de tri sur l’ancienne base E1 et qui se compose à l’origine des blocs 1-box suivants : {b3,c3,b4,d3,d4,e1,b1,a1,a2,a3,a6,b2,c1,c2,c5,d1,d2,e2, e4,e6}. Une fois, la base E′
1 est calculée suivant le processus de tri, une nou- velle structure de complexe cellulaire est construite avec adoption de trois bases E0, E′
1 et E2 (voir la figure 5.4(i)). Aprè cela, la phase du processus de l’effondrement sur le complexe à chaînes correspondant doit être appliqué en utiliant les trois étapes suivantes:
– Éffondrement de face intérieure (ou éffondrement intérieur) de tous les blocs cubiques (ou n-box ) seulement par leurs faces du sous-ensemble des faces partiellement communes;
– Éffondrement de face extérieure (ou éffondrement extérieur) de chaque bloc cubique restant seulement par une face la plus lointaine qui ap- partient au sous-ensemble des faces régulières;
– Effondrement de tous les q-box pour q = n − 1 à 1.
ou n est la dimension du complexe cellulaire simplifié. Alors, la figure 5.4(ii) présente le résultat de l’éffondrement intérieur de niveau q=2, ou les blocs
cubiques de dimension 2 (ou 2-box ) A, B, C et D sont écrasés respective- ment par leurs faces partiellement communes de dimension 1 b3, c3, b4 et d3 (première étape de l’éffondrement). La figure 5.4(iii) montre l’éffondrement extérieur du dernier bloc 2-box E par a1 (car e1 est un bloc 1-box qui est la première face la plus lointaine dans le sous-ensemble des faces régulières triées et le prochain bloc 1-box à être écrasé dans la base E1) (seconde étape′ de l’éffondrement). Les figures 5.4(iv) et 5.4(v) décrivent la troisième et la dernière étape de l’éffondrement. Pour plus de clarité, la figure 5.4(iv) donne un complexe cellulaire réduit après neuf itérations de l’éffondrement extérieur de niveau q=1 (blocs 1-box a3, a2, c2, d2, e2, b1, e1, e4 et d4respectivement par les sommets v3, v2, v1, v11, v12, v4, v15, v14 et v13). La figure 5.4(v) présente un complexe cellulaire final après cinq itérations de l’éffondrement intérieur de niveau 1 et qui donne deux classes d’homologie ([a6] pour H1 et [v5] pour H0).
Proposition Pour un complexe cellulaire simplifié de dimension n, quand l’écrasement de tous les blocs cubiques de dimension n (ou n-box ) seulement par leurs faces partiellement communes, tout (n−1)-cycle doit contenir seule- ment les blocs de dimension (n − 1) (ou (n − 1)-box ) qui sont situés géomé- triquement sur la frontière de l’objet.
Démonstration Pour la simplicité de prouver cette propriété, nous pre- nons n=2 et un objet composé d’une seule composante connexe. Alors, après exécution de l’éffondrement intérieur de tous les blocs 2-box par leurs faces partiellement communes (ou 1-box ), une composante connexe est représen-
Fig.5.4 – Méthode de l’éffondrement appliquée après utilisation du processus de tri: (i) complexe cellulaire simplifié de la figure 4.1(iv), (ii) complexe cel- lulaire réduit après quatre itérations d’éffondrement intérieur de niveau q=2, (iii) complexe cellulaire réduit après un éffondrement extérieur, écrasement du dernier bloc 2-box E par le premier bloc 1-box a1, (iv) complexe cellu-
laire réduit après neuf itérations d’éffondrement extérieur de niveau q=1, (v) complexe cellulaire final après application de cinq itérations d’éffondrement intérieur.
tée par un seul bloc 2-box (exemple le bloc 2-box E de la figure 5.4(iii)). Cependant, chaque arète ou face de dimension 1 dans ce niveau de l’éffon- drement est soit une arète de frontière ou une arète qui connecte (ou lie) deux frontières différentes de cette composante. Formellement, supposons z à être un 1-cycle dans ce niveau de l’éffondrement, si z contient toute arète e qui connecte deux frontières différentes b1 et b2 de cette composante (b1 est une frontière extérieure, b2 est une frontière intérieure), alors l’unique condition pour z à être un 1-cycle est de trouver une autre face e′6=e de dimension 1 entre deux frontières b1 et b2. Comme résultat, les faces e et e′ de dimension 1 divisent cette composante en au moins deux blocs 2-box, ce qui n’est pas possible puisque toute composante connexe à ce niveau est formée d’un seul bloc 2-box. Cependant, tout 1-cycle à ce niveau de l’éffondrement contient seulement des faces de frontière de dimension 1.
Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons présenté trois sections: principe de localisation, processus de reconstruction et optimisation de la localisation. Dans la pre- mière, nous montrons que la localisation est devenue un outil de validation de certains algorithmes et on a dit que les algorithmes de calcul des groupes d’homologie sont insuffisants pour réaliser la tache de localisation. Dans la deuxième section, le processus de reconstruction qui est la base de la locali- sation et responsable de calculer la chaine des cycles est illustré en détail. La chaine de cycle qui est la représentation algébrique des générateurs cubiques calculés dans cette section est par défault, c-a-d., géométriquement, le géné- rateur cubique ne se trouvent pas forcément sur la frontière des objets. Le calcul d’un générateur cubique sur la frontière des objets qu’on appelle un générateur minimal ou optimal s’est montré dans la dernière section.
Chapitre 6
RÉSULTATS
EXPÉRIMENTAUX
L’algorithme proposé a été validé sur differentes images synthétiques 2D et 3D sur Intel Core i3-2310M 2.10 Ghz avec 6 GB de RAM et IDE Eclipse avec Java JDK 1.8. Les résultats expérimentaux sont organisés dans trois sous- sections: homologie des complexes cubique standard et cellulaire, localization des caractéristiques topologiques et optimisation de la localisation. Pour bien illustrer l’information homologique dans le cas des deux complexes, les résul- tats de l’homologie sont organisés dans une table avec quatre colonnes, où les deux champs ’# cubes’ et ’# blocs’ représentent respectivement le total de cubes dans le complexe standard, le total de blocs cubiques (ou n-box ) dans le complexe cellulaire. Le champ ’homologie’ donne le rang des groupes d’homologie non triviaux H0 et H1 dans le cas des images 2D (H0, H1 et H2 dans le cas des images 3D).
6.1
Homologie des complexes cubique standard
et cellulaire
Le calcul de l’homologie dans le cas des images 2D est présenté en premier.
(a) (b)
Fig.6.1 –(a) image 2D de dimension 512x512 avec 64248 2-cubes, (b) subdivision
en blocs avec une grille irrégulière (représentation basée sur les blocs) dans une image couleur de cette image qui construit un complexe cellulaire avec 2136 blocs 2-box.
Images 2D La figure 6.1(b) visualise une subdivision en blocs avec une grille irrégulière (représentation basée sur les blocs) dans une image couleur qui construit un complexe cellulaire de l’image 2D de la figure 6.1(a). La table 6.1 montre les résultats de calcul de l’homologie des deux complexes (standard et cellulaire) de cette image (64248 2-cubes, 2136 blocs 2-box, 12 composantes connexes et 30 trous).
Images 3D Le calcul de l’homologie dans le cas des images 3D est main- tenant présenté. La figure 6.2(a) décrit la première image 3D avec une seule
Tab. 6.1 – Résultats de calcul de l’homologie des deux complexes (standard et cellulaire) de l’image dans la figure 6.1(a)
dimension # cubes # blocs homologie
0 71141 0-cubes 7187 blocs 0-box H0 = Z12
1 135407 1-cubes 9341 blocs 1-box H1 = Z
30
2 64248 2-cubes 2136 blocs 2-box H2 = 0
cavité. Les figures 6.2(b) and 6.2(c) décrivent respectivement une section où une coupe horizontale et une section verticale de l’image de la figure 6.2(a). Les deux figures de section prouvent l’existence d’une seule cavité dans l’image 3D initiale.
(a) (b)
(c) (d)
Fig.6.2 –(a) première image 3D (66x98x5) composée de 22920 3-cubes, (b) section
où coupe horizontale de la première image, (c) section verticale de la première image, (d) seconde image 3D (81x108x1) composée de 3086 3-cubes.
l’algorithme mentionné ci-dessus. Les tables 6.2(a) et 6.2(b) montre respecti- vement les résultats de calcul de l’homologie de la première image 3D (22920 3-cubes, 336 blocs 3-box, une composante connexe et une cavité) et la se- conde image 3D (3086 3-cubes, 93 blocs 3-box, une compsante connexe et un tunnel) dans les deux complexes (standard et cellulaire).
Tab. 6.2 – Résultats de calcul de l’homologie des deux complexes (standard
and cellulaire) de la (a) première image 3D de la figure 6.2(a) (cas de cavités), (b) seconde image 3D de la figure 6.2(d) (cas de tunnels)
dimension # cubes # blocs homologie
0 33716 0-cubes 1691 blocs 0-box H0 = Z1
1 90282 1-cubes 3550 blocs 1-box H1 = 0
2 79488 2-cubes 2197 blocs 2-box H2 = Z1
3 22920 3-cubes 336 blocs 3-box H3 = 0
(a)
dimension # cubes # blocs homologie
0 6700 0-cubes 662 blocs 0-box H0 = Z1
1 16222 1-cubes 1179 blocs 1-box H1 = Z
1
2 12608 2-cubes 610 blocs 2-box H2 = 0
3 3086 3-cubes 93 blocs 3-box H3 = 0
(b)
6.2
Localisation des caractéristiques topologiques
Nous débuterons premièrement par la présentation de la localisation des trous dans le cas des images 2D.
Images 2D Les figures 6.3(a) et (c) présentent deux générateurs cubiques ordinaires (où par défault) en couleur rouge de deux trous parmi 30 trous qui existent dans la première image donnée dans la figure 6.1(a). Alors, les figures
(a) (b) (c) (d) Fig.6.3 –Localisation des trous dans l’image de la figure 6.1(a) par indication de
leurs générateurs cubiques ordinaires en couleur rouge:(a) générateur du premier trou, (c) générateur du second trou, (b) et (d) présentent deux petites fenêtres des trous montrés respectivement dans (a) et (c).
6.3(b) et (d) présentent deux petites fenêtres de générateurs cubiques ordi- naires visualisés respectivement dans les figures 6.3(a) et (c) où la localisation de ces deux trous est visuellement plus détaillée.
Images 3D La localisation dans le cas des images 3D est maintenant pré- sentée, en commençant premièrement par la localisation des cavités dans ces images.
Les figures 6.4(b) et 6.4(c) décrivent un générateur cubique 3D ordinaire de la seule cavité de l’image 3D dans la figure 6.2(a) respectivement dans le cas du complexe standard et complexe cellulaire. Deuxièmement, nous présentons aussi la localisation de tunnels dans l’image 3D de la seconde image 3D dans la figure 6.5(a). Les figures 6.5(b) et 6.5(c) décrivent un générateur cubique ordinaire 3D du seul tunnel respectivement dans le cas du complexe standard et complexe cellulaire.
(a) (b) (c)
Fig. 6.4 – Localisation des cavités: (a) première image 3D de la figure 6.2(a)
avec une seule cavité, son générateur cubique ordinaire 3D dans (b) le complexe standard, (c) le complexe cellulaire.
6.3
Optimisation de la localisation
Images 2D Dans cette sous-section, la localisation des trous dans les images 2D est présentée en utilisant les générateurs cubiques minimaux (où opti- maux). Les figures 6.6(a) et 6.6(b) décrivent respectivement l’image 2D et sa subdivision avec une grille irrégulière (représentation basée sur les blocs) dans une image couleur qui donne un complexe cellulaire avec 601 blocs 2-box. La figure 6.7(a) décrit deux générateurs cubiques ordinaires de deux trous en couleurs rouge et verte de l’image 2D donnée dans la figure 6.6(a). Alors, la figure 6.7(b) décrit deux générateurs cubiques minimaux de deux trous en couleurs rouge et verte de la même image 2D.
Une comparaison entre deux approches dans les images 2D est réalisée. La première approche comme dans [8, 21] utilise un complexe cubique standard construit à partir d’une subdivision avec une grille régulière (représentation
(a) (b) (c)
Fig.6.5 – Localisation des tunnels: (a) seconde image 3D de la figure 6.2(b) avec
un seul tunnel, son générateur cubique ordinaire 3D dans (b) le complexe standard, (c) le complexe cellulaire.
basée sur des cubes unitaires). Cette approche calcule l’homologie et réalise la localisation avec des générateurs cubiques ordinaires (localisation avec des générateurs cubiques minimaux, i.e., représentant minimal après application du concept de co-frontière [5]). Alors, notre seconde approche utilise un com- plexe cellulaire construit à partir d’une subdivision avec une grille irrégulière et peut s’exécuter dans deux manières différentes. Dans la première manière, un complexe cellulaire est utilisé pour calculer des générateurs cubiques ordi- naires avec la méthode de fractionnement. Dans la seconde manière, aussi un complexe cellulaire est utilisé pour calculer des générateurs cubiques mini- maux avec la méthode de fractionnement et le processus de tri. La table 6.3 résume la comparaison en temps consommé pendant l’utilisation des deux approches.
La table 6.3 montre la consommation en temps dans trois colonnes pen- dant l’utilisation des deux approches. La première colonne donne le temps de consommation quand nous appliquons la première approche. La seconde
(a) (b)
Fig.6.6 –(a) image 2D (280x290) composée de 31929 2-cubes, (b) subdivision avec
une grille irrégulière (représentation basée sur les blocs) dans une image couleur qui donne un complexe cellulaire avec 601 blocs 2-box.
approche avec deux manières différentes. La seconde colonne donne le temps de consommation de la première manière (complexe cellulaire pour calculer des générateurs cubiques ordinaires avec la méthode de fractionnement). La troisième colonne donne le temps de consommation de la seconde manière (complexe cellulaire pour calculer des générateurs cubiques minimaux avec la méthode de fractionnement et le processus de tri). Le signe (-) indique que cette méthode où processus n’est pas applicable pour une telle approche. La table 6.3 confirme le gain en temps quand nous utilisons le complexe cellu- laire avec une grille irrégulière (notre approche). Le gain en temps concerne le calcul de l’homologie et la réalisation de la localisation appliqués sur l’image de la figure 6.6(a).
Images 3D Deuxièmement, nous présentons la localisation optimale des cavités dans les images 3D. La figure 6.8(a) décrit l’image 3D qui est composée
(a) (b)
Fig. 6.7 – Localisation en couleurs rouge et verte des générateurs cubiques qui
entourent deux trous de l’image 2D dans la figure 6.6(a) par des (a) générateurs ordinaires, (b) générateurs minimaux.
(a) (b)
Fig. 6.8 – (a) image 3D (70x72x6) qui est composée de 18296 voxels où 3-cubes
et un complexe cellulaire avec 504 blocs 3-box, (b) section horizontale où coupe de cette image.
Tab. 6.3 – Temps consommé durant le calcul de l’homologie et la localisation dans le cas de deux approches appliquées sur l’image de la figure 6.6(a): (1) Approche du complexe standard comme dans [8, 21], (2) Notre approche du complexe cellulaire pour les générateurs ordinaires, (3) Notre approche du complexe cellulaire pour les générateurs minimaux.
étapes/approche (1) (2) (3)
(sec.) (sec.) (sec.)
génération du complexe à chaînes 309 0.5 0.5
+ méthode de fractionnement - 0.5 0.5
+ processus de tri - - 1
calcul de l’homologie 84 1 1
localisation (processus de reconstruction) 132 8 15
+ concept de co-frontière[5] 186 - -
total (sec.) 711 10 18
de 18296 voxels où 3-cubes et un complexe cellulaire avec 504 blocs 3-box. Alors, la figure 6.8(b) présente une section horizontale où coupe de l’image 3D de la figure 6.8(a). Les figures dans 6.9(a), (b) donnent respectivement la localisation par un générateur cubique ordinaire 3D de la première et la seconde cavité. Aussi, les figures dans 6.9(c), (d) donnent respectivement la localisation par un générateur cubique minimal 3D de la première et la seconde cavité.
Conclusion
Ce chapitre présente les résultats expérimentaux qui valident notre approche destinée à concevoir un modèle topologique inspiré des représentations d’ob- jets de l’espaces d’images 2D ou 3D avec une subdivision régulière ou irré- gulière. Dans ce chapitre, nous avons présenté des résultats pour le calcul de l’homologie et la localisation sur deux structures de complexes, complexe
(a) (b)
(c) (d)
Fig. 6.9 – Localisation de cavités de l’image 3D de la figure 6.8(a) par des géné-
rateurs cubiques 3D: (a) générateur ordinaire de la première cavité, (b) générateur