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Extraction des invariants et mise en correspondance entre images en utilisant la théorie de l’homologie cubique de l’approche topologique

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

ﻲﻤﻠﻌﻟا ﺚﺤﺒﻟا و ﻲﻟﺎﻌﻟا ﻢﯿﻠﻌﺘﻟا ةرازو

Faculté des Sciences de l’Ingéniorat Année : 2017/2018

Département d’Informatique

THESE

Présentée en vue de l’obtention du diplôme de

Doctorat en Sciences

Option

Informatique

Par

Salah Derdar

Devant le Jury

SERIDI Hassina Professeur à l'UBMA

Président

Farah Nadir

Professeur à l'UBMA

Rapporteur

Seridi Hamid

Professeur à l'U. Guelma

Examinateur

Boucherika Imed MCA à l'U. Souk Ahras

Examinateur

Ziou Djemel

Professeur à l'U. Sherbrooke

Examinateur

Intitulée :

Extraction des invariants et mise en

correspondance entre images en utilisant la

théorie de l’homologie cubique de l’approche

topologique

رﺎـﺘـﺨﻤ ﻲـﺠﺎـﺒ ﺔـﻌﻤﺎـﺠ

ﺔـﺒﺎـﻨـﻋ

BADJI MOKHTAR-ANNABA UNIVERSITY

(2)

Résumé

Cette thèse présente une nouvelle approche en employant la topologie algébrique. Cette approche se décompose en deux parties: l’extraction de l’information homologique de l’image et la localisation des cycles d’homologie. Les trous, les tunnels et les cavités des objets 2D et 3D sont des caractéristiques topologiques concises utilisées pour la représentation et la reconnaissance d’objets. Dans cette thèse, nous avons représenté toute subdivision de forme cubique (régulière ou non) d’objets 2D et 3D en traitant l’extraction et la localisation de ces caractéristiques avec une approche basée sur l’homologie. La subdivision cubique (régulière ou non) des objets est traduit en langage algébrique adapté pour la construction d’une structure de complexe cellulaire simplifié. L’extraction de l’information homologique est équivalent à calculer les groupes d’homologie et l’estimation de leur rang dans le complexe cellulaire simplifié. La localisation signifie la reconstruction des cycles d’objets à partir des générateurs des groupes d’homologie. L’opération de réduction du complexe simplifié avec peu de cellules conduit à un algorithme plus efficace. Notez que plusieurs objets peuvent être analysés simultanément par notre algorithme. Cet algorithme est validé en utilisant des images binaires 2D et 3D.

Mots-clefs

complexe cellulaire simplifié, bloc cubique, cycles d'homologie, méthode de fractionnement, processus de reconstruction.

(3)

ﺺﺨﻠﻣ

ﺔﯾﺮﺒﺠﻟا ﺎﯿﺟﻮﻟﻮﺑﻮﻄﻟا لﺎﻤﻌﺘﺳﺈﺑ ةﺪﯾﺪﺟ ﺔﺑرﺎﻘﻣ مﺪﻘﺗ ﺔﺣوﺮطﻷا هﺬھ . ﻦﯿﺋﺰﺟ ﻦﻣ نﻮﻜﺘﺗ ﺔﺑرﺎﻘﻤﻟا هﺬھ : ﺎﯿﺟﻮﻟﻮﻣوﻷا تارود ﻊﻗﻮﻤﺗ و ةرﻮﺼﻟا ﻦﻣ ﺎﯿﺟﻮﻟﻮﻣوﻷا ﺔﻣﻮﻠﻌﻣ جاﺮﺨﺘﺳإ . ﺐﻘﺜﻟا , مﺎﺴﺟﻸﻟ تﺎﻔﯾﻮﺠﺘﻟا و قﺎﻔﻧﻷا دﺎﻌﺑأ تاذ 2 و 3 ﺔﺣوﺮطﻵا هﺬھ ﻲﻓ .مﺎﺴﺟﻷا ﻰﻠﻋ فﺮﻌﺘﻟا و ﻞﯿﺜﻤﺗ ﻞﺟأ ﻦﻣ ﻞﻤﻌﺘﺴﺗ ةﺰﺟﻮﻣ ﺎﯿﺟﻮﻟﻮﺑﻮﻄﻟا ﺺﺋﺎﺼﺧ ﻲھ ﻲﺒﯿﻌﻜﺗ ﻞﻜﺷ تاذ ﺔﻤﯿﺴﻘﺗ ﻞﻛ ﻞﯿﺜﻤﺘﺑ ﺎﻨﻤﻗ ) ﻻ وأ ﺔﻤﻈﻨﻣ ( دﺎﻌﺑأ تاذ مﺎﺴﺟﻸﻟ 2 و 3 ﻊﻗﻮﻤﺘﻟا و جاﺮﺨﺘﺳﻹا ﺔﺠﻟﺎﻌﻤﺑ ﻚﻟذ و ﺎﯿﺟﻮﻟﻮﻣوﻷا ﻰﻠﻋ ﺰﻛﺮﺘﺗ ﺔﺑرﺎﻘﻤﺑ ﺺﺋﺎﺼﺨﻟا ﮫﺗﺎﮭﻟ . ﺔﯿﺒﯿﻌﻜﺘﻟا ﺔﻤﯿﺴﻘﺘﻟا ) ﻻ وأ ﺔﻤﻈﻨﻣ ( ﺐﺳﺎﻨﻣ ﺔﯾﺮﺒﺟ ﺔﻐﻟ ﻰﻟإ ﺖﻟﻮﺣ مﺎﺴﺟﻸﻟ ة ﻂﺴﺒﻣ يﻮﻠﺧ ﺐﻛﺮﻣ ﺔﯿﻨﺑ ءﺎﻨﺒﻟ . ﺐﻛﺮﻤﻟا ﻲﻓ ﺎﮭﺒﺗر ﺮﯾﺪﻘﺗ و ﺎﯿﺟﻮﻟﻮﻣوﻷا ﺮﻣز بﺎﺴﺣ ﺊﻓﺎﻜﯾ ﺎﯿﺟﻮﻟﻮﻣوﻷا ﺔﻣﻮﻠﻌﻣ جاﺮﺨﺘﺳإ ﻂﺴﺒﻤﻟا يﻮﻠﺨﻟا . ﺎﯿﺟﻮﻟﻮﻣوﻷا ﺮﻣز تاﺪﻟﻮﻣ فﺮط ﻦﻣ مﺎﺴﺟﻷا تارود ءﺎﻨﺑ ﻲﻨﻌﯾ ﻊﻗﻮﻤﺘﻟا . ﻊﻣ ﻂﺴﺒﻤﻟا ﺐﻛﺮﻤﻟا ﺺﯿﻠﻘﺗ ﺔﯿﻠﻤﻋ ﻦﻣ ﺖﻗﻮﻟا ﺲﻔﻧ ﻲﻓ ﻞﯿﻠﺤﺘﻟا ﻦﻣ ةدﺎﻔﺘﺳﻹا ﺎﮭﻧﺎﻜﻣﺈﺑ مﺎﺴﺟأ ةﺪﻋ نﺈﻓ ةرﺎﺷﻺﻟ . ﺔﯿﻟﺎﻌﻓ ﺮﺜﻛأ ﺔﯿﻣزراﻮﺧ ﻰﻟإ دﻮﻘﯾ ﺎﯾﻼﺨﻟا ﻦﻣ ﻞﯿﻠﻗ . 3 و 2 دﺎﻌﺑأ تاذ ﺔﺟودﺰﻣ رﻮﺻ لامﻊﺘﺳﺈﺑ ﻖﯾﺪﺼﺗ و ﺢﯿﺤﺼﺗ ﺔﯿﻠﻤﻌﻟ ﻊﻀﺨﺗ ﺔﯿﻣزراﻮﺨﻟا ﮫﺗﺎھ .ﺎﻨﺘﯿﻣزراﻮﺧ فﺮط

ﺔﯿﺣﺎﺘﻔﻤﻟا تﺎﻤﻠﻜﻟا

:

ﻂﺴﺒﻣ يﻮﻠﺧ ﺐﻛﺮﻣ , ﺔﺒﻌﻜﻣ ﺔﻠﺘﻛ , ﺎﯿﺟﻮﻟﻮﻣوﻷا تارود , ﻢﯿﺴﻘﺘﻟا ﺔﻘﯾﺮط , ءﺎﻨﺒﻟا ﺔﯿﻠﻤﻋ . ii

(4)

Abstract

This thesis presents a new approach using algebraic topology. This approach is composed of two parts: extraction of homological information from the image and localization of

homology cycles. Holes, tunnels and cavities of 2D and 3D objects are concise topological features used for object representation and recognition. In this thesis, we are representing any cubical subdivision (regular or not) of 2D and 3D objects and dealing with the extraction and the localization of these features by using homology based approach. The cubical subdivision (regular or not) of objects is translated into algebraic language suitable for building a

simplified cell complex structure. The extraction of the homology information is equivalent to the estimation of the rank of the homology groups of the simplified complex. The localization means the reconstruction of the object cycles from the generators of the homology groups. The reduction operation of the simplified complex with few cells leads to an efficient algorithm. Note that, several objects can be analyzed simultaneously by our algorithm. This algorithm is validated by using 2D and 3D binary images.

Keywords

simplified cell complex, cubical block, homology cycles, splitting method, reconstruction process.

(5)

REMERCIEMENTS ET

DEDICACES

Mes remerciements vont à mes directeurs de recherche qui m’ont confié ce travail, à Nadir Farah qui a accepté d’être mon directeur de recherche, et Mohamed Tarek Khadir qui a fait le souci de clarté et de rigueur avec ses corrections et conseils. Et également à mon co-directeur, Djemel Ziou, qui m’a soutenu avec beaucoup de gentillesse et de disponibilité. Les périodes de tra-vail sous sa direction m’ont été particulièrement enrichissantes et fructueuses.

Je remercie par ailleurs les membres du jury de ma thèse.

Je remercie également le département d’informatique de l’université de Badji Moktar à Annaba pour l’acceptation de ma thèse et la direction de Moivre pour m’avoir accueilli dans le laboratoire durant mes stages scientifiques.

Mes dédicaces vont enfin à ma mère, ma femme, mes enfants Doua-Yasmine et Abdelhamid, mes frères et toute ma famille et aussi à tous mes amis qui m’ont aidé et encouragé sans relâche à mener à bien cette recherche univer-sitaire.

(6)

Table des matières

SOMMAIRE i REMERCIEMENTS ET DEDICACES iv 1 INTRODUCTION 1 1.1 Description de l’approche . . . 6 1.2 Contributions . . . 8

2 Topologie et homologie (concepts de base) 11 2.1 Homotopie et homéomorphismes . . . 13

2.2 Homologie . . . 14

2.2.1 Chaines, groupes de cycles et de frontières . . . 16

2.2.2 Groupes d’homologie et générateurs . . . 18

2.2.3 Homologie simpliciale . . . 19

(7)

2.3 Homologie relative . . . 27

2.4 Algorithmes de calcul d’homologie . . . 29

2.4.1 Méthode de forme normale de Smith . . . 30

2.4.2 Méthode de réduction (ou Éffondrement) . . . 35

3 État de l’art 41 3.1 Approches d’homologie et localisation . . . 41

3.2 Techniques de représentations d’objets 3D . . . 44

3.2.1 Représentations topologiques . . . 44

3.2.2 Représentations géométriques . . . 54

4 Représentation d’objets basée sur le bloc 66 4.1 Bloc cubique . . . 68

4.2 Méthode de fractionnement . . . 70

4.3 Génération du complexe à chaînes simplifié . . . 73

4.4 Homologie du complexe cellulaire simplifié . . . 76

5 LOCALIZATION DES CARACTÉRISTIQUES TOPOLO-GIQUES 79 5.1 Principe de localisation . . . 82

(8)

5.3 Optimisation de la localisation . . . 87

6 RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX 92

6.1 Homologie des complexes cubique standard et cellulaire . . . . 93

6.2 Localisation des caractéristiques topologiques . . . 95

6.3 Optimisation de la localisation . . . 97

(9)

Liste des tableaux

6.1 Résultats de calcul de l’homologie des deux complexes (stan-dard et cellulaire) de l’image dans la figure 6.1(a) . . . 94

6.2 Résultats de calcul de l’homologie des deux complexes (stan-dard and cellulaire) de la (a) première image 3D de la figure 6.2(a) (cas de cavités), (b) seconde image 3D de la figure 6.2(d) (cas de tunnels) . . . 95

6.3 Temps consommé durant le calcul de l’homologie et la locali-sation dans le cas de deux approches appliquées sur l’image de la figure 6.6(a): (1) Approche du complexe standard comme dans [8, 21], (2) Notre approche du complexe cellulaire pour les générateurs ordinaires, (3) Notre approche du complexe cellulaire pour les générateurs minimaux. . . 101

(10)

Table des figures

1.1 (a) représentation en blocs est possible avec procèdure de compac-tage si la subdivision initiale est regulière (composée de pixels où voxels), (b) représentation en blocs directe si la subdivision initiale est irrégulière (composée de blocs) . . . 8 1.2 (c) calcul d’homologie et localisation à partir de structures de

com-plexe cellulaire simplifié . . . 9

2.1 Exemple des caractéristiques topologiques d’une forme 2D consis-tante de: (a) une seule composante connexe ; (b) deux compo-santes connexes . . . 12

2.2 Un complexe simplicial (à gauche) et une collection de sim-plexes (au milieu et à droite) qui ne forment pas des comsim-plexes simpliciaux. . . 21

2.3 Un exemple de complexe simplicial avec ces simplexes étiquetés. 21

2.4 Un complexe simplicial qui contient trois 2-dimensionnel sim-plexes. L’orientation de chaque simplexe est indiquée par des flèches. . . 22

(11)

2.5 Fonctions ou homomorphismes de frontière pour les simplexes de dimension 1, 2 et 3. Les expressions à droite notent les effets des fonctions de frontières. . . 23

2.6 Exemple d’homologie relative avec deux sous-niveaux (0,1) qui donnent deux sous-complexes K0 et (K1− K0) . . . 29

2.7 Matrice de la forme normale de Smith. . . 33

2.8 Exemple de réduction où d’éffondrement d’un complexe cu-bique de dimension 2, (i) initial, (ii) modifié après écrasement de A par g (éffondrement intérieur), (iii) modifié après écrase-ment de A par f (éffondreécrase-ment extérieur) . . . 40

3.1 Représentation en structure d’octree, (a) partionnement d’un seul niveau en huit octants, (b) partionnement en plusieurs niveaux . . . 63

3.2 Représentation quadtree d’un objet 2D: (a) représentation en grille d’image, (b) codage de quadtree, (c) structure d’arbre de quadtree. . . 64

(12)

4.1 Méthode de fractionnement: (i) complexe cellulaire invalide de dimension 2 (de grille irrégulière), (ii) fractionnement S(a4,(7)) = {c3,a5} est realisé (a4 est fractionné par le sommet (7), ce qui donne c3 et a5 comme une face partiellement commune et une nouvelle face respectivement), (iii) fractionnement S(a5,(5)) = {b3,a6} est realisé, (iv) complexe cellulaire simplifié valide après l’achèvement de tous les fractionnements possibles. . . 71

4.2 Méthode de réduction appliquée de l’itération #it=1 à l’itéra-tion #it=13: (i) complexe cellulaire simplifié initial de dimen-sion 2 avec une composante connexe et un trou, (ii) complexe réduit après une séquence d’éffondrement extérieur de niveau 2, (iii) complexe réduit après une séquence d’éffondrement ex-térieur de niveau 1. . . 77

4.3 Méthode de réduction appliquée de l’itération #it=14 à l’ité-ration #it=19: (i) complexe réduit avant de commencer l’éf-fondrement intérieur de niveau 1, (ii) écrasemement de b2 par v5, (iii) écrasemement de a6 par v6, (iv) écrasemement de e6 par v7, (v) écrasemement de c3 par v10, (vi) écrasemement de d4 par v12, (vii) écrasemement de c2 par v13 qui donne deux classes d’homologie: [v14] pour H0 et [d2] pour H1. . . 77

5.1 Image binaire segmentée 2D avec six composantes connexes en 2D, dont trois composantes connexes avec des trous, avec un seul trou pour chaque composante . . . 81

(13)

5.2 Image binaire segmentée 3D avec quatre composantes connexes, avec un seul tunnel pour chaque composante . . . 81

5.3 Localisation des invariants topologiques par un représentant cubique (en cubes noirs), (a) complexe cubique de dimension 2, (b) localisation d’un 1-cycle ordinaire, (c) localisation d’un 1-cycle minimal . . . 82

5.4 Méthode de l’éffondrement appliquée après utilisation du pro-cessus de tri: (i) complexe cellulaire simplifié de la figure 4.1(iv), (ii) complexe cellulaire réduit après quatre itérations d’éffon-drement intérieur de niveau q=2, (iii) complexe cellulaire ré-duit après un éffondrement extérieur, écrasement du dernier bloc 2-box E par le premier bloc 1-box a1, (iv) complexe cellu-laire réduit après neuf itérations d’éffondrement extérieur de niveau q=1, (v) complexe cellulaire final après application de cinq itérations d’éffondrement intérieur. . . 90

6.1 (a) image 2D de dimension 512x512 avec 64248 2-cubes, (b) subdi-vision en blocs avec une grille irrégulière (représentation basée sur les blocs) dans une image couleur de cette image qui construit un complexe cellulaire avec 2136 blocs 2-box. . . 93 6.2 (a) première image 3D (66x98x5) composée de 22920 3-cubes, (b)

section où coupe horizontale de la première image, (c) section ver-ticale de la première image, (d) seconde image 3D (81x108x1) com-posée de 3086 3-cubes. . . 94

(14)

6.3 Localisation des trous dans l’image de la figure 6.1(a) par indication de leurs générateurs cubiques ordinaires en couleur rouge:(a) géné-rateur du premier trou, (c) génégéné-rateur du second trou, (b) et (d) présentent deux petites fenêtres des trous montrés respectivement dans (a) et (c). . . 96

6.4 Localisation des cavités: (a) première image 3D de la figure 6.2(a) avec une seule cavité, son générateur cubique ordinaire 3D dans (b) le complexe standard, (c) le complexe cellulaire. . . 97

6.5 Localisation des tunnels: (a) seconde image 3D de la figure 6.2(b) avec un seul tunnel, son générateur cubique ordinaire 3D dans (b) le complexe standard, (c) le complexe cellulaire. . . 98

6.6 (a) image 2D (280x290) composée de 31929 2-cubes, (b) subdivision avec une grille irrégulière (représentation basée sur les blocs) dans une image couleur qui donne un complexe cellulaire avec 601 blocs 2-box. . . 99

6.7 Localisation en couleurs rouge et verte des générateurs cubiques qui entourent deux trous de l’image 2D dans la figure 6.6(a) par des (a) générateurs ordinaires, (b) générateurs minimaux. . . 100

6.8 (a) image 3D (70x72x6) qui est composée de 18296 voxels où 3-cubes et un complexe cellulaire avec 504 blocs 3-box, (b) section horizontale où coupe de cette image. . . 100

(15)

6.9 Localisation de cavités de l’image 3D de la figure 6.8(a) par des générateurs cubiques 3D: (a) générateur ordinaire de la première cavité, (b) générateur ordinaire de la seconde cavité, (c) générateur minimal de la première cavité, (d) générateur minimal de la seconde cavité. . . 102

(16)

Chapitre 1

INTRODUCTION

La représentation d’objets 3D est un problème important en vision par ordi-nateur, infographie et traitement d’images et en prenant plus d’intérêt dans les différents domaines et applications et fournissant les bases de l’infographie, de la conception géométrique assistée par ordinateur, de la visualisation, de la modélisation du solide, de la modélisation géométrique et de la robotique, etc. Les disciplines scientifiques avec ces différentes applications produisent une quantité gigantesque de données à traiter dans les images en plus du fait que la complexité de ces données croît avec la nature de l’image (binaire, niveau de gris, couleur; mono- où multi-résolution). Le fait d’avoir un grand volume d’informations nous donne une plus grande confiance dans la cap-ture des propriétés étudiées, mais extraire celles qui sont les plus pertinentes s’avère très compliqué. Les caractéristiques extraites de l’image sont en gé-néral divisées en deux catégories : de haut et de bas niveau. Les premières de haut niveau peuvent être de nature statistique (les moments complexes, de Zernike, de Hu et chaînes de Markov, ....) et sont utilisées dans la

(17)

recon-naissance d’objets, la reconrecon-naissance de caractères et l’écritures manuscrite. Tandis que les caractéristiques de bas niveau (pixel, forme, texture, ...) s’in-téressent plus aux structures géométriques des objets de l’image et sont donc utilisées comme des entrées au prétraitement réalisé par les techniques ma-nipulant les caractéristiques de haut niveau. Aussi des nouvelles techniques sont introduites dans la modélisation des problèmes en imagerie, en parti-culier, l’approche topologique qui pourra changer considérablement l’aspect de tout espace topologique continu comme l’image. Cette approche qui est qualifiée d’étudier les courbes, les surfaces, les réseaux, et d’autres espaces est devenue plus nécessaire dans beaucoup de domaines d’applications en in-formatique, y compris vision par ordinateur, analyse et traitement d’images, infographie, modélisation moléculaire, etc [65]. Parmi les concepts connus dans cette approche et plus souvent utilisés, nous citerons la théorie de l’ho-mologie. Cette théorie s’applique naturellement sur un complexe construit à partir de l’espace topologique à analyser. En traitement d’images 2D et 3D, l’image peut être décrite et représentée par différentes caractéristiques. Parmi ces caractéristiques, nous citerons les invariants topologiques qui sont pertinents pour la classification des objets et des espaces et invariants aux déformations continues. Différents invariants topologiques ont été proposés, comme les caractéristiques d’Euler, les groupes d’homologie et de cohomo-logie, le groupe fondamental et le coefficient de torsion, etc. La plupart des algorithmes existants sont basés sur la géométrie discrète pour leur estima-tion [55, 75]. En d’autres termes, la topologie algébrique étudie les propriétés des espaces topologiques et les relations entre eux en associant des invariants topologiques à chaque espace [14]. La géométrie discrète et la topologie

(18)

al-gébrique sont deux domaines de connaissance différents. Dans la topologie algébrique, les objets sont exprimés en langage algébrique tant qu’en géo-métrie discrète, tout le raisonnement se fait au niveau combinatoire. Avec l’évolution de la technologie d’imagerie à l’aide d’objets 3D, et la quantité plus importante de données traitées, les groupes d’homologie semblent être adaptés à la représentation des objets, ce qui permet de calculer certaines informations homologiques liées aux caractéristiques non communes telles que les trous, les tunnels et les cavités [86]. On peut citer un modèle pour les images où les racines proviennent de la physique et la topologie algé-brique qui est proposé par Ziou et Allili [87]. Ce modèle comprend le support d’image, les quantités et les opérations de traitement. Le support d’image est considéré comme un complexe cubique où simplicial ou toute autre pri-mitive géométrique. Les quantités d’images sont décrites par les co-chaînes et les opérations par les co-frontières et l’opérateur de Hodge. Dans les ou-vrages [6, 7, 8, 20, 86], le calcul de l’homologie et la localisation sont réalisés uniquement sur un complexe cubique standard avec des cellules de taille uni-taire de forme cubique résultant d’une grille ou d’une subdivision regulière (en images 2D, le pixel objet est un exemple d’une cellule de taille unitaire). Cette subdivision régulière donne un grand nombre de cubes unitaires dans le complexe et les groupes d’homologie et l’estimation de ces générateurs consomment beaucoup de temps et de mémoire. Pour surmonter cet incon-vénient, une nouvelle structure de complexe cellulaire simplifié est proposée à partir d’une représentation d’objet basée sur des blocs cubiques qui résulte d’une subdivision initiale de façon directe où indirecte (la façon indirecte signifie que la subdivision initiale est sous une autre représentation et doit

(19)

donc subir à un prétraitement). Dans cette thèse, nous nous intéressons plus à la représentation basée sur les blocs avec son grille irrégulière. Dans la littérature, plusieurs méthodes pour obtenir des grilles irrégulières à partir de l’image avec une forme rectangulaire et orthogonale sont proposées. Par exemple, dans les images 2D, plusieurs techniques de décomposition d’image rectangulaire sont proposées comme la transformation à distance [76], Quad-tree [47], les décompositions qui sont basées sur le bloc [79], sur le graphe [29], etc., pour obtenir une subdivision initiale. Dans les images 3D, la décompo-sition en voxels est étudiée en utilisant les deux représentations de cubes de taille unitaire et de blocs, alors que, la décomposition d’Octree est bien trai-tée avec la représentation en blocs. Il s’ensuit que les concepts d’homologie peuvent être réutilisés dans les deux représentations. Dans cette thèse, nous proposons un schéma de représentation d’objets basé sur le bloc qui utilise les blocs cubiques pour construire un complexe cellulaire simplifié correspondant et l’utiliser pour la caractérisation des objets 2D et 3D. Ce complexe cellu-laire est utilisé après pour calculer l’homologie et réaliser la localisation de 1-et 2 cycles d’homologie comme dans le complexe cubique standard (pour le même objet, le complexe standard est topologiquement équivalent au com-plexe cellulaire simplifié). L’objectif principal de cette thèse est de remédier le problème de localisation des caractéristiques topologiques, en particulier les cycles d’homologie. Pour cela, nous proposons une nouvelle approche basée sur les concepts de l’approche topologique afin de réussir la tâche de locali-sation définie précédemment. Généralement, ces concepts sont consacrés au calcul de certaines caractéristiques topologiques, et aussi pour modéliser le problème de localisation. Ces caractéristiques englobent les groupes

(20)

d’ho-mologie extraits de l’image. A ce stade, des algorithmes déja existants sont employés pour calculer ces groupes. Si l’homologie qui est un outil classique dans la topologie algébrique participe au calcul de ces groupes, le calcul des générateurs cubiques d’homologie n’est pas très répandu dans la littérature. En effet, la nouvelle approche qui décrit principalement la tâche de loca-lisation et calcul de ces générateurs cubiques d’homologie commence par la construction d’un complexe cellulaire simplifié à partir d’une subdivision avec une grille irrégulière du support d’image. Comme définition, la localisation consiste à calculer pour chaque générateur d’homologie un représentant dans le complexe d’origine qu’on appelle le générateur cubique.

Dans cette thèse, nous proposons six chapitres traitant respectivement le cal-cul des groupes d’homologie et la localisation des cycles d’homologie avec la nouvelle structure de complexe cellulaire simplifié. Le chapitre 2 est consacré aux concepts de topologie et d’homologie. Chaptre 3 présente l’état de l’art qui comporte deux sections, la première est consacrée au calcul d’homologie et la localisation des cycles d’homologie, bien que la deuxième section est re-servée à examiner les techniques et travaux liés aux représentations d’objets 3D. La modélisation d’objets 3D avec la nouvelle représentation en blocs est donnée dans le chapitre 4. L’approche de localisation des cycles d’homolo-gie par des représentants ou générateurs cubiques (ordinaires et minimaux) dans le complexe cellulaire simplifié est illustrée en détail dans le chapitre 5. Dans le chapitre 6, des résultats expérimentaux sont donnés pour valider la nouvelle approche. Nous terminons la thèse par une conclusion avec des perspectives.

(21)

1.1

Description de l’approche

L’approche que nous proposons dans cette thèse à la même philosophie comme dans les approches de l’état de l’art et qui est décrite par les étapes suivantes:

une représentation d’objet d’une image 2D où 3D dans sa subdivision ini-tiale est donnée (subdivision en cubes unitaires où en blocs); conversion de la subdivision initiale à une subdivision en blocs (avec une grille irrégulière) si elle est en cubes unitaires (voir les figures 1.1(a) et 1.1(b)); modélisation de chaque bloc rectangulaire de pixels ou voxels comme un bloc cubique (ou n-box ) et utilisation de la méthode de fractionnement pour normaliser les frontières communes entre les blocs adjacents; construction du complexe cellulaire simplifié correspondant avec des collections de blocs cubiques. De plus, nous voyons des simplifications importantes dans le calcul d’homologie et localisation pendant l’utilisation de ce complexe cellulaire qui est construit après l’application de la méthode de fractionnement. Dans cette direction, l’information topologique (groupes d’homologie et générateurs, ...) peut être calculée avec efficacité et facilité puisque le nombre de cellules (où blocs) est petit.

L’approche que nous fournissons ici est valide avec un algorithme utilisé pour la construction de la structure du complexe cellulaire simplifié à partir de la représentation en blocs avec une simplification importante qui préserve l’ho-mologie. En particulier, nous montrons ici que la modélisation de bloc cubique avec la structure de complexe cellulaire simplifiée donne plus de bénéfices que la modélisation de cube élémentaire avec la structure de complexe standard

(22)

qui est decrite dans le chapitre 4, section 1. Les deux structures de complexe sont topologiquement (où homotopiquement) équivalentes et préserve l’ho-mologie du même objet subdivisé. En effet, l’hol’ho-mologie et la localisation par des générateurs cubiques avec la structure de complexe standard en cubes unitaires (subdivision avec une grille régulière) peuvent ainsi être déduits avec la structure de complexe cellulaire simplifiée (subdivision en blocs com-pactés avec une grille irrégulière), où l’objet est décrit avec peu de cellules où blocs.

L’algorithme principal de notre approche suit les étapes suivantes :

1. débuter avec des objets discrétisés dans l’image 2D où 3D avec une sub-division initiale, représentation en cubes unitaires (ensemble de pixels où de voxels) où représentation en blocs;

2. si la subdivision initiale est regulière (composée de pixels où voxels), alors une procédure de compactage simple est exécutée pour donner une subdivi-sion simplifiée associée qui est une représentation en blocs (les deux représen-tations sont topolopiquement équivalents, voir les figures 1.1(a) et 1.1(b)); 3. modélisation du bloc de pixels ou voxels comme un bloc cubique;

4. construction de la structure de complexe cellulaire simplifié correspondant à partir de la représentation en blocs (avec une grille irrégulière). Pour obte-nir un complexe cellulaire valide, il est nécessaire de normaliser les frontières communes entre les blocs cubiques adjacents. Cette normalisation est realisée en utilisant une routine appelée la méthode de fractionnement;

5. validation de la nouvelle représentation d’objet à travers sa structure de complexe cellulaire simplifié par calculer l’information homologique. Dans cette situation, le calcul de l’homologie est employé pour rapidement et

(23)

fa-(a) (b)

Fig.1.1 –(a) représentation en blocs est possible avec procèdure de compactage si

la subdivision initiale est regulière (composée de pixels où voxels), (b) représentation en blocs directe si la subdivision initiale est irrégulière (composée de blocs)

cilement localiser les caractéristiques topologiques, en particulier les cycles d’homologie (trous, tunnels où cavités) avec leurs représentants de généra-teurs cubiques.

1.2

Contributions

Notre approhe présente beaucoup de bénéfices et d’avantages en adoptant la représentation en blocs avec sa structure de complexe cellulaire simplifié et qui sont: 1) offre d’une représentation efficace d’objets 2D et 3D et des don-nées de haute dimension avec des blocs compactés et avec une simplification importante qui préserve l’homologie, 2) modélisation les blocs de pixels ou voxels comme des blocs cubiques (ou n-box ) pour construire une structure de complexe cellulaire simplifié avec un petit nombre de cellules (les

(24)

don-(c)

Fig. 1.2 –(c) calcul d’homologie et localisation à partir de structures de complexe

cellulaire simplifié

nées obtenues réduites accélérent le calcul de l’homologie puisque le complexe cellulaire contient peu de cellules), 3) calcul des groupes d’homologie et lo-calisation de leurs cycles d’homologie avec moins de temps et consommation de mémoire en utilisant la méthode de réduction où de l’éffondrement qui est très efficace que la méthode d’Agoston , 4) la théorie d’homologie peut être aussi appliquée sur des subdivisions où grilles cubiques différentes (régu-lières où non) de l’image, alors, la préservation de l’homologie tout au long de la nouvelle représentation d’objets (représentation en blocs) est garantie par

(25)

cette théorie, 5) calcul des représentants de générateurs d’homologie minimal où optimal est facile, c-à-d., réalisation d’une localisation optimale des cycles d’homologie (générateur cubique d’homologie est minimal s’il s’est situé sur l’intérieur de la frontière de l’objet qui entoure exactement un trou où une cavité), 6) séparation entre la nouvelle représentation d’objet avec sa struc-ture de complexe cellulaire simplifié et l’information topologique, 7) le calcul de l’homologie à partir du complexe cellulaire basé sur une subdivision en blocs avec une grille irrégulière pourra produire des représentants de généra-teurs d’homologie avec de la bonne forme. Ceci révéle un avantage de calculer l’homologie en utilisant une structure de complexe cellulaire simplifié, alors, nous pouvons controler facilement la forme des représentants de générateurs d’homologie dans cette structure.

(26)

Chapitre 2

Topologie et homologie (concepts

de base)

En introduction, nous avons mentionné la classification classique à propos des caractéristiques extraites de l’image, c-à-d, qu’elles sont de bas et de haut niveau. Ces caractéristiques peuvent aussi être classifiées en trois nouveaux profils (photométriques, géométriques et topologiques). Les caractéristiques photométriques (binaire, niveau de gris, couleur), géométriques (points, seg-ments, courbes, surfaces, volumes, ...) sont des entrées aux traitements réali-sés par plusieurs méthodes et algorithmes qui déja existants dans la littéra-ture. Tandis que, les caractéristiques topopologiques nécessitent encore beau-coup de soucis. Ces caractéristiques sont des propriétés d’objet qui peuvent être maintenues où préservées pendant des déformations où des transfor-mations continues que peut subir l’image. Et c’est dans cette optique que la topologie computationnelle a été prouvée comme outil pouvant servir de base pour analyser les caractéristiques topologiques.

(27)

Que mesure la topologie?

En topologie, la propriété la plus importante qui différencie deux formes n’est pas la taille inégale, ni l’apparence différente, mais plutôt le nombre des morceaux connexes de la forme, qu’on appelle aussi les composantes connexes. Un exemple dans les figures 2.1 illustre la topologie au sens des composantes connexes. Dans la figure 2.1(a) la forme est constituée d’une seule composante connexe, alors que dans la figure 2.1(b), elle est constituée de deux composantes connexes. La topologie est donc une science qui étudie les propriétées invariantes d’un objet quand celui-ci est étiré, tordu ou rétréci de manière continue [50].

Fig.2.1 – Exemple des caractéristiques topologiques d’une forme 2D consis-tante de: (a) une seule composante connexe ; (b) deux composantes connexes

Nous présentons, dans ce chapitre, une brève revue des notions basiques et de la terminologie de la topologie algébrique. Pour une description plus complète, nous référons le lecteur à n’importe quel texte standard dans le domaine, tels que [14, 33, 43, 64].

(28)

2.1

Homotopie et homéomorphismes

La caractérisation des objets subdivisés selon leur structure topologique est intéressante dans différents domaines en infographie, géométrie discrète, mo-délisation géométrique et visualisation 3D [57, 65]. Plus précisément, deux espaces topologiques sont "égaux", s’il existe un homéomorphisme entre eux. En général, il est très difficile de prouver qu’il existe où non un homéomor-phisme entre deux espaces topologiques. Cependant, les invariants topolo-giques ont été introduits. Un invariant topologique est une propriété qui est conservée par les homéomorphismes. Par exemple, pour deux espaces topo-logiques quelconques, si une propriété est vraie dans le premier, alors elle sera également vrai dans le deuxième, seulement si les deux espaces sont homéomorphiques. Il existe de nombreux invariants topologiques comme le nombre de composantes connexes, la caractéristique d’Euler, le groupe fon-damental, les groupes d’homologie et l’orientabilité. Parmi tous les invariants topologiques existants, nous sommes particulièrement intéressés aux groupes d’homologie car ils sont classiquement étudiés dans la topologie algébrique [64] et connu d’être des puissant proprietés. Pour chaque dimension q = 0,.., n, le groupe d’homologie Hqd’un objet nD caractérise les cycles d’homologie (les composantes connexes par H0, les trous où tunnels par H1, les cavités par H2, ...). De façon informelle, les groupes d’homologie peuvent être dé-finis comme la caractérisation de la façon comment les cellules sont collées ensemble, et cela se fait en étudiant la frontière de chaque cellule. De plus, de point de vue calculatoire, les groupes d’homologie sont définis de la même manière dans n’importe quelle dimension et sont directement liés aux cellules

(29)

d’un objet et à leurs relations d’incidence.

Une déformation de retraction d’un espace topologique X sur un sous-espace Aest une famille de fonctions ft: X → X, t ∈ [0,1], telle que f0 = id (la fonc-tion d’identité), f1(X) = A et ft|A = id pour tout t. La famille ft, doit être continue dans le sens que la fonction associée X × [0,1] → X, (x,t) 7→ ft(x) est continue.

Une déformation de retraction est un cas special de la notion générale d’ho-motopie. Une homotopie est simplement toute famille de fonctions ft: X → Y,t ∈ [0,1], telle que la fonction associée F : X × [0,1] → Y donnée par F(x,t) = ft(x) est continue. Deux fonctions f0,f1 : X → Y sont appelées des fonctions homotopiques, s’il existe une homotopie ftqui connecte les deux et une fois s’écrit f0 ⋍f1. Dans ces termes, une déformation de retraction de X sur un sous-espace A est une homotopie de la fonction d’identité de X sur A, une fonction r : X → X telle que r(X) = A et r|A = id [63].

2.2

Homologie

Dans la plupart des cas, il s’avère difficile de déterminer si deux transfor-mations entre deux espaces sont homotopiques ou si ces deux espaces sont homotopiquement équivalents. En pratique, lorsqu’on veut comparer des es-paces ou des transformations à l’aide d’outils topologiques, on peut le faire d’une manière très satisfaisante, en comparant leurs structures d’homologie respectives, ce qui est moins général mais plus facile à calculer. Même si l’ho-mologie est moins intuitive que l’homotopie, sa nature combinatoire la rend plus attractive. Son grand avantage est qu’elle peut être utilisée pour dire que

(30)

deux espaces topologiques sont équivalents en homotopie (où homéomorphes) où non, sans avoir besoin de prouver qu’il existe où non un homéomorphisme où une équivalence homotopique entre les deux espaces. Pour un espace to-pologique, l’homologie est un moyen algébrique qui compte les cycles non triviaux et qui caractérisent cet espace. Dans l’espace 3D, les trois groupes d’homologie H0, H1 et H2 peuvent être non triviaux, leurs rangs respectifs β0, β1, et β2 (appelés aussi les nombres de Betti) déterminent respectivement le nombre de composantes connexes, de tunnels et de vides (où cavités) [86]. En infographie et traitement d’images, le fait que le groupe d’homologie est un invariant topologique qui intègre ces propriétés, l’homologie est considérée comme un outil utile pour décrire et caractériser les objets dans les images 2D et 3D. Pour des complexes cellulaires, la construction des groupes d’ho-mologie est basée sur le concept de frontière des cellules. En 2D, la frontière d’un point est l’ensemble vide qui correspond au zéro algébrique, la frontière d’une arète est formée de ses deux points extrêmes. De façon similaire, la frontière d’une cellule carrée sera son contour formé de quatre arètes. Un raisonnement analogue nous permettra de déterminer les frontières de cel-lules de plus grandes dimensions. Dans une image 2D où 3D, si ces celcel-lules sont organisées dans une grille cubique de son support composé de pixels où voxels d’objet, elles seront appelées des cubes et sont assemblées pour former un complexe cubique. Lorsque ces cellules sont le résultat d’une triangula-risation de support, elles seront appelées des simplexes et sont assemblées suivant certaines règles pour former ainsi un complexe simplicial [85].

(31)

2.2.1

Chaines, groupes de cycles et de frontières

En analogie simpliciale, les chaînes et les cycles sont respectivement des che-mins et des boucles dans le domaine continu. Une q-chaîne est une somme for-melle de cellules de dimension q avec des coefficients d’entiers. D’où, chaque q-chaîne cq peut être représentée de facon unique comme [45]

cq = nq X

i=1

αiσiq, αi ∈ Z

où nq note le nombre de q-cellules dans la collection. L’ensemble de toutes les q-chaînes ensemble avec l’opération d’addition forme un groupe Cq. Une collection de faces de dimension (q − 1) d’une q-cellule σ, elle-même est une (q − 1)-chaîne et une frontière ∂σ. La frontière d’une q-chaîne est la somme des frontières des cellules dans cette chaîne, c-à-d.

∂qcq = nq X

i=1

αi(∂qσiq)

Par exemple, la frontière de la chaîne 2c1−3c2 (notée ∂(2c1−3c2)) est définie comme 2∂c1− 3∂c2. Il est facile de montrer aussi que pour une q-chaîne c

∂q−1∂qc = 0,

signifiant que la frontière de la frontière d’une q-chaîne quelconque est nulle, c-à-d, n’ayant pas de frontières. L’opérateur de frontière ∂ est une homomor-phisme ∂q : Cq−→ Cq−1 et les opérateurs ∂q pour q = 0, 1,.., n, connectent les groupes à chaînes dans un complexe à chaînes de dimension n:

0−→ Cn ∂n

−→ Cn−1 ∂n−1 −→ ... ∂1

−→ C0 ∂0

−→ 0. Les homomorphismes de frontières sont définis sur les chaînes de cellules comme des extensions linéaires des opérateurs de la frontière de base pour chaque cellule.

(32)

En discret, un complexe à chaînes est associé à une structure de complexe géométrique (simplicial, cubique où autre) qui est à son tour construit à par-tir d’objets nD discretisés subdivisés. Chaque groupe à chaînes de dimension q, est généré à partir de collection des q-cellules de ces objets (simplexes ou cubes). Ainsi, calculer les groupes d’homologie sur une structure combina-toire (complexe simplicial, complexe cubique, ...) nécessite un opérateur de frontière de base sur les cellules [3].

Parmi toutes les chaînes possibles, l’homologie considère deux types particu-liers de chaînes: les cycles et les frontières. Un cycle z est une chaîne satisfai-sant ∂z = 0, une chaîne b est une frontière s’il existe une chaîne c satisfaisatisfai-sant ∂c = b. Pour chaque dimension q, l’ensemble des q-cycles muni de l’addition est un sous-groupe de Cq, noté Zq. L’ensemble de toutes les frontières muni de l’addition est un sous-groupe de Zq, noté Bq (une frontière est un cycle ayant comme propriété ∂∂c = 0 qui doit être satisfaite pour les chaînes). Le groupe d’homologie Hq est défini comme le quotient de groupes Zq/Bq. Alors, les éléments du groupe d’homologie Hq sont les classes d’équivalence telle que deux cycles sont dans la même classe d’équivalence s’ils diffèrent par une frontière. Les groupes d’homologie sont des groupes abéliens générés finis, donc le théorème suivant décrit leur structure [43]. Formellement, tout groupe abélien généré fini G est isomorphe à une somme directe de la forme:

ZM· · ·MZ

| {z }

β

M

Z/t1ZM· · ·MZ/tkZ (2.1)

où 1 < ti ∈ Z et ti divise ti+1. Le rang β d’un groupe d’homologie est aussi appelé son nombre de Betti, et les tisont aussi connus comme leur coefficients de torsion.

(33)

2.2.2

Groupes d’homologie et générateurs

En topologie calculatoire, les invariants topologiques sont divers: groupes d’homologie et de co-homologgie, groupe fondamental, coefficients de torsion, orientabilité, etc. Les groupes d’homologie sont des invariants topologiques principaux donnés pendant l’exécution d’un algorithme de calcul d’homolo-gie. Alors que le nombre de ces invariants topologiques est donné par le rang de ces groupes d’homologie. Cependant, le rang des groupes d’homologie non triviaux H0, H1 et H2 donne respectivement le nombre de composantes connexes, de trous (ou tunnels en 3D) et de cavités (uniquement en 3D). Nous introduisons maintenant les groupes d’homologie. Formellement, sup-posons un complexe K (cubique, simplicial ou autres) construit à partir d’un espace topologique X. Le q-ième groupe d’homologie du complexe K est le groupe quotient, défini par la formule suivante:

Hq= Zq/Bq = Ker ∂q/Im ∂q+1 (2.2)

Si z1 = z2+ Bq, (z1,z2 ∈ Zq), alors la différence entre z1 et z2 est la frontière et z1 et z2 sont homologues. Le q-iéme nombre de Betti du complexe K est β(Hq), le rang de q-iéme groupe d’homologie, βq= rang Hq où βq = dim Hq. De l’expression (2.2)

βq = rang(Hq) = rang(Zq) − rang(Bq)

Ce quotient permet de distinguer les q-cycles non frontières des q-cycles fron-tières (Intuitivement, le calcul de l’homologie suppose que nous avons sup-primé les cycles qui sont frontières d’un sous-complexe de dimension

(34)

supé-rieure de l’ensemble de toutes les q-cycles, pour que les cycles restantes ex-trairent des informations sur les trous de dimension q du complexe. En termes simplifiées, la dimension de q-iéme homologie (connue par q-iéme nombre de Betti) compte le nombre de cycles de dimension q dans le complexe).

Pour plus de détails, et d’après la proprieté de dualité d’Alexander [43], il y a une représentation intuitive des trois premiers nombres de Betti agréablement expliqués dans [88]. Comme un 0-cycle non frontière représente un ensemble des composantes connexes du complexe correspondant, il y a un élément de base par composante afin que β0 représente le nombre des composantes de ce complexe. D’où, rang(H0) = 1 pour un complexe connecté, donc la notion de connectivité est reflété dans H0. Un 1-cycle non frontière représente une collection de courbes fermées non-contractibles, ou basée sur la proprieté de dualité, un ensemble de tunnels formé par ce complexe. Chaque tunnel peut être representé comme une somme des tunnels de la base pour que β1 repré-sente la dimension de la base pour les tunnels. Ces tunnels peuvent être percus comme étant un graphe avec les cycles [88]. Un 2-cycle qui n’est pas lui même une frontière représente l’ensemble des surfaces fermées non-contractibles. La dimension de la base pour les cavités, qui est égale au nombre des cavités est représenté par β2.

2.2.3

Homologie simpliciale

Construction du complexe simplicial

D’après [45], tout sous-ensemble de V = {vα0,vα1,...,vαn} détermine un n-simplexe noté par hvα0,vα1,...,vαni. Les éléments vαi de V sont des sommets

(35)

du simplexe noté par hvαii et n est la dimension du simplexe. Tout ensemble de simplexes avec sommets dans V est appelé une famille simpliciale et sa di-mension est la plus grande didi-mension de ces simplexes. Un q-simplexe σq est une q-face d’un n-simplexe σn, noté par σq .σn, si chaque sommet de σq est aussi un sommet de σn. L’union des faces d’un simplexe σnest une frontière de σn. Un complexe simplicial représente une collection de simplexes. Plus for-malement, un complexe simplicial K sur un ensemble fini V = {vα0,vα1,...,vαn} de sommets est un sous-ensemble non vide du grand ensemble V , afin que le complexe simplicial K soit fermé sous la formation des sous-ensembles. D’où, si σ ∈ K et ρ ∈ σ, alors ρ ∈ K. Un simplexe de dimension 0 est un point (où sommet), de dimension 1 est un segment, de dimension 2 est un triangle, de dimension 3 est un tétrahédron et ainsi de suite. La définition formelle d’un complexe simplicial implique que le complexe simplicial K exige que

– chaque face de tout simplexe dans K est aussi dans K et

– l’intersection de simplexes σ1 et σ2 dans K est soit vide où est une face commune pour les deux.

Exemple de complexe simplicial

Dans la figure 2.2 à gauche, la collection de simplexes est l’unique confi-guration qui satisfait ces exigences bien que les deux autres ne sont pas des complexes simpliciaux. Au milieu, les simplexes (triangles) intersectent, mais pas le long de simplexes communs. À droite, un triangle manque une arête. La dimension d’un simplexe σ est égale au nombre de sommets qui le défi-nissent moins un. La dimension du complexe simplicial est le maximum des

(36)

Fig. 2.2 – Un complexe simplicial (à gauche) et une collection de simplexes (au milieu et à droite) qui ne forment pas des complexes simpliciaux.

Fig.2.3 – Un exemple de complexe simplicial avec ces simplexes étiquetés.

dimensions des simplexes constituant le complexe. Dans la figure 2.3, nous montrons un exemple d’un complexe simplicial. Dans cet exemple, l’ensemble des sommets est V = {v0,v1,...,v7}, et le complexe simplicial est composé des sous-ensembles {∅,{v0},{v1},{v2},{v3},{v4},{v5},{v6},{v7},{v0,v1},{v0,v2}, {v0,v3},{v0,v5},{v0,v6},{v1,v2},{v2,v3},{v2,v7},{v3,v4},{v3,v5},{v4,v5},{v5,v6}, {v0,v2,v3},{v0,v3,v5},{v0,v5,v6},{v3,v4,v5}}

La dimension du complexe est 2 puisqu’elle est la dimension maximale d’un simplexe. En plus, ils y avaient quatre 2-dimensionnel simplexes (ou

(37)

tri-angles), douze 1-dimensionnel simplexes (ou arètes) et huit 0-dimensionnel simplexes (ou sommets). La manière la plus commode (ou convenable) afin de représenter un complexe simplicial est à travers qu’on appelle la matrice d’incidence, dont les colonnes sont étiquetées par leurs sommets et les lignes sont étiquetées par leurs simplexes.

Fig. 2.4 – Un complexe simplicial qui contient trois 2-dimensionnel

sim-plexes. L’orientation de chaque simplexe est indiquée par des flèches.

Le complexe simplicial de la figure 2.4 est utilisé pour illustrer les concepts de chaînes expliqués précédemment. Par exemple, les combinaisons v1, v2 et 3v5− 5v4 sont des 0-chaînes. En manière générale, toutes les 0-chaînes de ce complexe peuvent être écrites comme une somme formelle P8

i=1αivi. Simi-lairement, les 1-chaînes et les 2-chaînes peuvent être écrites respectivement comme P13

i=1αiai et P3

i=1αifi. La frontière d’une chaîne est la somme des frontières des simplexes dans la chaîne. Pour le complexe simplicial dans la

(38)

Fig. 2.5 – Fonctions ou homomorphismes de frontière pour les simplexes de dimension 1, 2 et 3. Les expressions à droite notent les effets des fonctions de frontières. figure 2.4: ∂2f1 = −a1 + a7 + a8 + a10, ∂1∂2f1 = ∂1(−a1 + a7 + a8 + a10) = −(v4− v1) + (v1− v2) + (v2− v1) + (v4− v1) = 0.

2.2.4

Homologie cubique

De nombreux problèmes en vision par ordinateur et reconnaissance d’objets conduisent à une grille cubique regulière en subdivisant l’espace topologique en cubes avec des sommets dans un treillis d’entiers. La numérisation de l’image est réalisée par une subdivision cubique et conduit à un support où une structure composée de carrés d’unités appelés pixels. Cette structure est

(39)

suffit à appliquer la théorie de l’homologie cubique et à traiter directement avec les pixels. La première étape pour l’utilisation de l’homologie cubique est de construire le complexe cubique à partir de support de l’image.

Cube unitaire

Pour décrire la structure du complexe correspondant, nous devons définir les cubes d’unité. Formellement, un cube unitaire ou un cube élémentaire Q ⊂ Rd est donné par [86]:

Q = I1× I2× ... × Id⊂ Rd (2.3) où Ii est soit un singleton {l}, alors il est appelé un intervalle dégenéré, ou un intervalle fermé [l, l + 1] de longueur unité avec des extrémités entières, pour un certain entier l. L’ensemble X ⊂ Rd d’une union finie de cubes élémentaires est appelé un ensemble cubique.

Cependant, la frontière d’un cube élémentaire q-cube Q est la somme alternée de ses faces (ou (q − 1)-cubes), c-à-d,

∂qQ = q−1 X i=0 (−1)i(Bk iQ − AkiQ) (2.4)

où Aki et Bki sont respectivement les faces de l’avant et de l’arrière du q-cube élémentaire Q, c-à-d,

AkiQ = I1× ...Ikj−1× {aj} × Ikj+1× ... × Id et BkiQ = I1× ...Ikj−1× {bj} × Ikj+1× ... × Id

Pour lequel Ikj=[aj,bj], 1 ≤ kj ≤ d et 0 ≤ j ≤ q − 1. Chacun de ces (q − 1)-cubes élémentaires est une face de Q. Contrairement, q-cube Q est appelé une coface de l’un de ses faces.

(40)

Construction du complexe cubique standard

Pour représenter l’image binaire en complexe cubique, il faut générer un com-plexe cubique à partir de l’image. Le détail de l’algorithme consacré à générer ce complexe se trouve dans [86]. La grille cubique régulière qui est compo-sée de cubes de taille unitaire à forme rectangulaire est une représentation d’ensemble cubique utilisant des cubes élémentaires ou unitaires qui est plus adaptable et plus efficace pour décrire le support d’image. Elle est souvent utilisée dans beaucoup d’algorithmes en infographie et vision par ordinateur. Les pixels ou les voxels dans une image peuvent être vu comme des cubes [87]. Généralement, une image est définie comme un support formé des cubes et quantités assignées à ces cubes [7, 86]. De manière plus générale, une image binaire donnée de dimension n est considérée comme un ensemble de n-cubes unitaires, qu’on appelle également des n-pixels. Les pixels appartenant à l’ob-jet sont mis à un et ceux de l’arrière plan sont à zéro. Alors, le support peut être vu comme des cubes formés des pixels ayant de valeur un. Dans le cas des images binaires, nous considérons uniquement le support d’image formé de n-pixels. Lorsque n=0, l’image est un ensemble de sommets; lorsque n=1, un ensemble d’arêtes; lorsque n=2, un ensemble de carrés; quand n=3, un ensemble de cubes volumineux, et ainsi de suite [7]. Deux n-pixels sont soit séparés ou s’intersectent dans un p-pixel commun, sachant que p<n. Cette subdivision de support de l’image qui est réalisée par un pavage cubique est suffisante pour appliquer les concepts de la théorie d’homologie cubique [9, 10, 27]. Cette subdivision cubique régulière est couramment utilisée en infographie, vision par ordinateur et traitement d’images. Dans le cas de l’image binaire, nous n’avons que le support de pixels comme source de

(41)

pri-mitives, et la coordonnée des pixels est considérée comme l’attribut de ces primitives.

La collection de tous les q-cubes élémentaires Q dans Rd avec dimension q est dénotée par Kq, pour q ∈ N. Un complexe cubique K dans Rd est un ensemble de q-cubes élémentaires où 0 ≤ q ≤ d tel que chaque face d’un cube dans K est également dans K et l’intersection de deux cubes dans K est soit vide ou une face commune, d’ou

– Chaque face q-cube unitaire de K est aussi dans K;

– L’intersection de deux q-cubes unitaires quelconques dans K est soit vide, ou une face commune de ces deux q-cubes unitaires.

Notons Eq l’ensemble de tous les q-cubes unitaires (ou élémentaires) de K, on définit une q-chaîne dans K comme une somme formelle des multiples d’entiers d’éléments de Eq. L’ensemble des q-chaînes noté Cq(X) définit un groupe abélien libre avec une base commune Eq. Cq(X) = 0 si q > d ou q < 0, où d est la dimension de K. La connexion (ou relation) entre Cq(X) et Cq−1(X) est donnée par l’homomorphisme ou l’application de frontière comme suit:

∂q : Cq(X) −→ Cq−1(X) (2.5)

Cette application peut être généralisée dans une séquence comme suit:

... ∂i+1 −→ Ci ∂i

−→ Ci−1 ∂i−1

−→ ..., (2.6)

Cette séquence définit un complexe à chaînes libre généré, noté (C,∂). Notez que ∂0 = 0 puisque C−1(X) = 0, et l’application de frontière satisfait la plus importante propriété ∂2

(42)

Les deux exigences utilisées pour construire le complexe cubique standard peuvent également être étendues pour construire un complexe cellulaire sim-plifié de blocs cubiques (ou n-box ) dans le cas de la nouvelle représentation d’objets basée sur les blocs.

2.3

Homologie relative

Les groupes d’homologie relative sont des outils utiles pour étudier les quo-tients d’espaces topologiques. Comme nous voulons être uniquement concerné par les complexes finis, les groupes à chaînes de dimension q sont générés et finis pour q <= d et q >= 0 (d est la dimension du complexe). On peut étendre les définitions précédentes de l’homologie à une paire d’espaces (X,A) avec A ⊆ X [25, 43]. L’idée est de considérer uniquement les cellules (ou gé-nérateurs) de X qui n’appartiennent pas à A, c-à-d., ignorer toute cellule dans A. Plus précisément, les groupes d’homologie relative sont définis tels qui suit. Soit Cq(X,A) le groupe quotient à chaînes Cq(X)/Cq(A). Il s’en suit que toutes les q-chaînes dans A seront triviales dans Cq(X,A). La connexion entre Cq(X) et Cq−1(X) est donnée par l’homomorphisme de frontière qui est illustré comme suit: ∂q : Cq(X) −→ Cq−1(X). Étant donné que les deux ho-momorphismes de frontière ∂q : Cq(X) → Cq−1(X) et ∂q : Cq(A) → Cq−1(A), induit un homomorphisme de frontière quotient ∂q : Cq(X,A) → Cq−1(X,A). En variant q, on obtient une séquence d’homomorphismes de frontière:

...−→ Cq(X,A)∂q+1 ∂q

−→ Cq−1(X,A) ∂q−1

−→ ..., (2.7)

(43)

l’était déjà avant de passer aux groupes de quotient. Pour un complexe à chaînes, les groupes d’homologie kerq/Imq+1 de ce complexe seront par défi-nition les groupes d’homologie relative Hq(X,A).

Ainsi, le q-ième groupe d’homologie d’un couple d’espaces (X,A) est le groupe de quotient, défini par la formule (2.8)

Hq(X,A) = Zq(X,A)/Bq(X,A) (2.8)

À partir de la définition d’homomorphisme de frontière relative, on peut noter que [85]:

1. Les groupes d’homologie Hq(X,A) sont appelés les cycles relatifs : les q-chaines c ∈ Cq(X) telles que ∂c ∈ Cq−1(A),

2. Un cycle relatif c est appelé trivial dans Hq(X,A) si ce cycle est une frontiere triviale. En d’autres termes, c = ∂β + γ pour certain β ∈ Cq+1(X) et γ ∈ Cq(A)

Dans un complexe topologique 2D (simplicial, cubique ou autre), le rang des groupes d’homologie H0 et H1 donnent respectivement le nombre des composantes connexes relatives et le nombre de 1-cycles relatives ou trous. mais, le rang de groupe d’homologie de dimension q est trivial pour q ≥ 2. Ces propriétés rendent plus précise l’idée intuitive selon laquelle Hq(X,A) serait l’homologie de X modulo A et que l’on illustre dans l’exemple suivant. Exemple: Un exemple pour calculer les groupes d’homologie relative est illustré dans la figure 2.6. Ce figure donne un espace cubique X avec une seule composante connexe et un trou. Cet espace est subdivisé en deux sous-niveaux K0 et K1 − K0 adjacents, tels que K0 ⊂ K1=K. Le premier

(44)

sous-Fig. 2.6 – Exemple d’homologie relative avec deux sous-niveaux (0,1) qui donnent deux sous-complexes K0 et (K1− K0)

niveau contient un seul 2-cube A, alors, le deuxième sous-niveau est composé de trois 2-cubes B, C et D (c-à-d., l’espace de quotient X-{A}). L’homologie relative des complexes K0 et K1− K0 est comme suit:

H0(X,{A}) = φ, H1(X,{A}) = Z (1-cycle d’homologie relative). H0({A},φ) = Z, H1({A},φ) = φ

2.4

Algorithmes de calcul d’homologie

Il existe plusieurs algorithmes pour calculer l’homologie (méthode de la forme normale de Smith, méthode de réduction où d’éffondrement et autres). L’al-gorithme le plus connu est basé sur la méthode de réduction [51, 86]. Plus précisement, des algorithmes ont été conçus pour calculer les nombres de Betti, les coefficients de torsion et éventuellement les groupes d’homologie et leurs générateurs. L’algorithme la plus classique est baseé sur les réduc-tions des matrices d’incidence en une forme qu’on appelle la forme normale de Smith [2, 24, 52, 64, 68, 70]. Généralement, les matrices d’incidence de l’object complet sont prises, nécessitant souvent une complexité de calcul et espace mémoire plus élevés à cause des grosses valeurs des entiers qui peuvent appa-raitre durant le processus de calcul [52]. Beaucoup de travaux souhaitent à

(45)

optimiser ce processus [24, 34, 80]. Autres travaux veulent simplifier la struc-ture pendant que sa topologie est préservée [35, 50, 51]. Quelques travaux suivent une approche incrémentale et avaient l’intention de calculer l’homo-logie d’un objet pendant que sa construction [16, 18]. Recémment, la théorie de l’homologie persistente a été introduit [26]. Officiellement, l’approche ori-ginale permet de décrire la topologie d’un objet sur différents échelles. En particulier, l’homology persistente mene à la notion d’homologie localisée pour calculer des agréables générateurs [89].

Dans les prochaines sous-sections, nous introduisons les deux méthodes les plus célèbres: méthode de la forme normale de Smith et méthode de réduction où d’éffondrement que utilisent respectivement les algorithmes mentionnées dans [24, 70] et [7, 8, 50, 86].

2.4.1 Méthode de forme normale de Smith

Contrairement aux groupes fondamentaux, il y a un algorithme bien défini pour calculer les groupes d’homologie d’un complexe arbitraire X, origina-lement due à Poincaré, appelé l’algorithme de réduction. En addition aux groupes eux-mêmes, l’algorithme de réduction calcule la base pour chaque groupe d’homologie : un ensemble de q-cycles dont les classes d’homologie génèrent Hq(X). L’algorithme de réduction de Poincaré est actuellement équi-valent à un algorithme publié avant les quatre dernier décennies par Smith pour calculer une forme normale d’une matrice d’entiers. L’algorithme de Smith est une variante de l’algorithme d’élimination de Gaussien standard, qui a été découvert par les mathématiciens chinois.

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Soit diag(d1, d2,..., dm) est la matrice carrée m × m avec les entiers d1, d2,..., dm le long du diagonale, et des zéros autrement. La forme normale de Smith d’une matrice d’entiers M de taille r×c est la matrice du produit S ˜M T = M , où S est une matrice d’entiers invertible r × r, T est une matrice d’entiers invertible c × c, et ˜M est une matrice d’entiers r × c de la forme [30].

˜

M =· diag(d1, d2,..., dm) 0

0 0

¸

où chaque entier di divise son successeur di+1. En particulier, les matrices M et ˜M ont les deux le rang m. L’algorithme de réduction pour calculer la forme normale de Smith modifie la matrice en utilisant les opérations élémentaires de lignes et de colonnes suivantes:

(1) échanger deux lignes où colonnes; (2) multiplier une ligne où colonne quelconque par -1; (3) additionner une multiplication entière d’une ligne où colonne à une autre. Si nous voulons calculer les matrices S et T , nous débu-tons avec les matrices d’identité de S et T , modifions S à chaque opération de ligne, et modifions T à chaque opération de colonne. Cependant, nous avons besoin uniquement de matrice ˜M . Finalement, l’algorithme de Poin-caré calcule les groupes Bq, Zq, et Hq par réduire chaque matrice de frontière ∂q à sa forme normale de Smith Sq∂qTq. Supposons que chaque matrice ˜˜ ∂q a mqentrées diagonales non zéros dq1|dq2|...|dqmq. Alors, nous pouvons exprimer les groupes de frontière, de cycle, et d’homologie comme suit:

   Zq= Znq−mq Bq= Zmq+1 Hq ∼= Znq−mq−mq+1 ⊕Lmq+1 i=1 (Z/dqiZ)

Si dqi = 1, le groupe correspond Z/dqiZest trivial et peut donc être supprimé de la décomposition de somme directe de Hq. Les cellules de dimension q (par

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exemple, q-simplexes orientés) dans X définissent une base pour le groupe à chaînes Cq(X) et la matrice de frontière ∂q exprime l’homomorphisme de frontière linéaire en ce qui concerne les bases standards de Cq−1et Cq. Chaque opération élémentaire de ligne ou de colonne correspond à un changement de base dans Cq−1 et Cq, respectivement. L’échangement de deux lignes où de deux colonnes consiste à échanger les indices des deux éléments de la base. La multiplication d’une ligne où d’une colonne par -1 inverse l’orientation d’un élément de frontière. Si ei et ej sont les i-ième et j-ième éléments de la base de Cq, alors, l’addition de la colonne i à la colonne j aussi revient a remplacer ej avec un nouveau élément de base ei+ ej. Finalement, si ˆei et ˆej sont les i-ième et j-ième éléments de la base de Cq−1, alors, l’addition de la ligne i à la ligne j revient a remplacer ˆei avec un nouveau élément de base

ˆ ei- ˆej.

Soient {e1,e2,...,enq} et {f1,f2,...,fnq−1} être deux bases pour Cq et Cq−1 res-pectivement, quand l’algorithme de réduction se termine. Ainsi, {e1,e2,...,enq} est une base pour l’espace de colonnes de ˜∂q, et {f1,f2,...,fnq−1} est une base pour l’espace de lignes de ˜∂q. Les éléments de la base de colonnes emq+1,...,enq comprend une base pour le groupe des cycles Zq, et les éléments de la base de lignes escaladés d1f1,...,dmqfmq comprend une base pour le groupe des frontières Bq−1. Avec une attention additionnelle, nous pouvons assurer que la base pour chaque groupe de frontières Bq est un sous-ensemble de la base du groupe de cycles Zq correspondant, avec possible exception pour quelques coefficients de torsion non trivial dmq > 1. Ainsi, nous pouvons facilement obtenir une base pour chaque groupe d’homologie Hq, où chaque q-cycle est une base pour un des facteurs de sa décomposition de somme directe.

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Fig. 2.7 – Matrice de la forme normale de Smith.

L’algorithme standard pour calculer la forme normale de Smith nécessite O(n2

) opérations élémentaires de ligne et de colonne, dont chacune néces-site exactement O(n) opérations arithmétiques, où n = r + c. Ainsi, l’algo-rithme de réduction est souvent rapporter à s’exécuter incorrectement dans la complexité temporelle O(n3

). Malheureusement, les entiers dans la ma-trice peuvent s’augmenter largement tant que l’algorithme est en exécution; comme résultat, l’implémentation directe de l’algorithme de Smith a une complexité temporelle exponentielle double. Le premier algorithme de com-plexité polynomial pour calculer la forme normale de Smith d’une matrice d’entiers a été décrit par Kannan et Bachem [52]; des algorithmes ont été descrit par Iliopoulos [48], et Storjohann [80, 81]; voir aussi une étude de litérature réalisée par Dumas et al. [24].

Exemple de réduction [30]: On peut maintenant utiliser l’algorithme de reduction précédent pour calculer l’homologie d’un petit complexe simplicial. Nous Considérons la frontière du 3-simplexe standard ∆3 comme une trian-gulation orientée de la sphère S2, avec les sommets {w,x,y,z}. Nous pouvons

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arbitrairement orienter les simplexes ou cellules de ce complexe comme suit: sommets : {w,x,y,z}

aretes : {wx,wy,wz,xy,xz,yz} triangles : {wxy,wxz,wyz,xyz}

Les homomorphismes de frontière ∂1 et ∂2 sont représentés par les deux matrices suivantes: ∂1 w x y z wx -1 1 0 0 wy -1 0 1 0 wz -1 0 0 1 xy 0 -1 1 0 xz 0 -1 0 1 yz 0 0 -1 1 ∂2 wx wy wz xy xz yz wxy 1 -1 0 1 0 0 wxz 1 0 -1 0 1 0 wyz 0 1 -1 0 0 1 xyz 0 0 0 1 -1 1

Pour réduire ∂1, nous supprimons premièrement la première colonne par ad-ditionner les deuxième, troisième, quatrièmme colonnes, et échanger la co-lonne vide à la droite. Puis, nous débarassons des trois dernières lignes par additionner et/où les trois premières lignes.

∂1 7→ x − w y − w z − w w wx 1 0 0 0 wy 0 1 0 0 wz 0 0 1 0 xy -1 1 0 0 xz -1 0 1 0 yz 0 -1 1 0 7→ ˜ ∂1 x − w y − w z − w w wx 1 0 0 0 wy 0 1 0 0 wz 0 0 1 0 xy + wx − wy 0 0 0 0 xz + wx − wz 0 0 0 0 yz + wy − wz 0 0 0 0

À partir de la matrice réduite ∂1, nous pouvons maintenant lire m1 = 3 et d1 = d2 = d3 = 1. De plus, nous avons les bases suivantes pour Z1 et B0:

Z1 = hxy + wx − wy,xz + wx − wz,yz + wy − wzi ∼= Z3 B0 = hx − w,y − w,z − wi = h∂wx,∂wy,∂wzi ∼= Z3

Similairement, pour réduire ∂2, nous appliquons premièrement les opérations de colonnes pour réduire la matrice à la forme de bas échelon, puis appliquer

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les opérations de lignes pour obtenir la forme normale de Smith. Dans cet exemple, les opérations de colonnes que nous appliquons sont les inverses des opérations de lignes que nous utilisons pour réduire ∂1, afin que nous finissons avec la même base pour le groupe à chaînes C1.

∂2 7→ xy + wx − wy xz + wx − wz yz + wy − wz wx wy wz wxy 1 0 0 0 0 0 wxz 0 1 0 0 0 0 wyz 0 0 1 0 0 0 xyz 1 -1 1 0 0 0 7→ ˜ ∂2 xy + wx − wy xz + wx − wz yz + wy − wz wx wy wz wxy 1 0 0 0 0 0 wxz 0 1 0 0 0 0 wyz 0 0 1 0 0 0 xyz − wxy + wxz −wyz 0 0 0 0 0 0

Aussi, nous pouvons lire m2 = 3 et d1 = d2 = d3 = 1 de la matrice réduite ˜

∂2. De plus, nous avons les bases suivantes pour Z2 et B1: Z2 = hxyz − wxy + wxz − wyzi ∼= Z

B1 = hwx − wy + xy,wx − wz + xz,wy − wz + yzi = h∂wxy,∂wxz,∂wyzi ∼= Z3 A noter que B1 et Z1 sont générés par le même ensemble des 1-cycles, et ainsi sont identiques comme groupes. Nous concluons que la sphère ∂∆3 a exactement l’homologie mentionnée par les groupes suivants:

H0 = C0/B0 = hw,x,y,zi/hx − w,y − w,z − wi = hwi ∼= Z H1 = Z1/B1 = Z1/Z1=φ

H2 = Z2 = hxyz − wxy + wxz − wyzi ∼= Z

2.4.2 Méthode de réduction (ou Éffondrement)

Ici nous nous concentrons spécifiquement au calcul d’homologie sur un com-plexe cubique standard, mais cela est conditionné par expliquer

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premièrem-ment la méthode de réduction. Ainsi, ces groupes sont calculés en utilisant principalement une variante d’algorithme de réduction parmi plusieurs qui sont cités dans [7, 8, 50, 86]. Il convient de noter que la méthode de ré-duction est plus efficace [86]. Par exemple, l’algorithme présenté dans [86] a une complexité polynomiale. Le concept de réduction, également appelé éffondrement, est d’origine de la théorie de graphe et de la topologie algé-brique [33, 50]. Alors, les groupes d’homologie peuvent être obtenus par une séquence d’opérations de réduction du complexe en éliminant successivement les cellules du complexe en résultat de sorte que l’homologie est conservée à chaque étape.

Les groupes d’homologie peuvent être obtenus par une séquence d’opérations de réduction par éliminer successivement les cellules d’un complexe à chaînes fini libre, sachant que l’homologie est conservée à chaque étape de réduction. C-à-d, pour un complexe à chaînes initial C, et après une étape de réduction, (C,∂) est le complexe à chaînes réduit et H(C) = H(C). Donc, au lieu de calculer l’homologie du complexe initial, nous calculons l’homologie du com-plexe final, c-à-d, H(C) ∼= Cf ou l’exposant f indique que le complexe est final après une séquence d’opérations de réduction. Cette méthode généralise l’idée de l’effondrement élémentaire aux groupes à chaînes [6, 8, 50, 51, 86]. Ainsi on désire maintenant réduire la taille du complexe à chaînes utilisé pour calculer l’homologie, ce qui résulte l’algorithme CCR « Chain Complex Réduction » [50] dont on présentera une version simplifiée.

Figure

Table des figures
Fig. 1.1 – (a) représentation en blocs est possible avec procèdure de compactage si
Fig. 1.2 – (c) calcul d’homologie et localisation à partir de structures de complexe
Fig. 2.2 – Un complexe simplicial (à gauche) et une collection de simplexes (au milieu et à droite) qui ne forment pas des complexes simpliciaux.
+7

Références

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