2.4 Algorithmes de calcul d’homologie
2.4.2 Méthode de réduction (ou Éffondrement)
Ici nous nous concentrons spécifiquement au calcul d’homologie sur un com- plexe cubique standard, mais cela est conditionné par expliquer premièrem-
ment la méthode de réduction. Ainsi, ces groupes sont calculés en utilisant principalement une variante d’algorithme de réduction parmi plusieurs qui sont cités dans [7, 8, 50, 86]. Il convient de noter que la méthode de ré- duction est plus efficace [86]. Par exemple, l’algorithme présenté dans [86] a une complexité polynomiale. Le concept de réduction, également appelé éffondrement, est d’origine de la théorie de graphe et de la topologie algé- brique [33, 50]. Alors, les groupes d’homologie peuvent être obtenus par une séquence d’opérations de réduction du complexe en éliminant successivement les cellules du complexe en résultat de sorte que l’homologie est conservée à chaque étape.
Les groupes d’homologie peuvent être obtenus par une séquence d’opérations de réduction par éliminer successivement les cellules d’un complexe à chaînes fini libre, sachant que l’homologie est conservée à chaque étape de réduction. C-à-d, pour un complexe à chaînes initial C, et après une étape de réduction, (C,∂) est le complexe à chaînes réduit et H(C) = H(C). Donc, au lieu de calculer l’homologie du complexe initial, nous calculons l’homologie du com- plexe final, c-à-d, H(C) ∼= Cf ou l’exposant f indique que le complexe est final après une séquence d’opérations de réduction. Cette méthode généralise l’idée de l’effondrement élémentaire aux groupes à chaînes [6, 8, 50, 51, 86]. Ainsi on désire maintenant réduire la taille du complexe à chaînes utilisé pour calculer l’homologie, ce qui résulte l’algorithme CCR « Chain Complex Réduction » [50] dont on présentera une version simplifiée.
Principe de réduction
Avant de calculer l’homologie, un complexe à chaînes fini libre doit être gé- néré à partir du complexe cubique. Le calcul de l’homologie est achevé grâce à l’éffondrement intérieur et extérieur du complexe à chaînes. L’éffondre- ment intérieur (resp. extérieur) consiste à éliminer (ou écraser) une cellule par une face commune (resp. une face ayant une coface unique). Le principe algébrique est comme suit, si nous définissons (C,∂) comme un complexe à chaînes généré fini de dimension d, Eq est une base canonique du groupe à chaînes Cq pour q=0 à d, et h·,·i le produit scalaire associé à cette base canonique. Pour chaque q, on associe une base Eq pour Cq (formée unique- ment de q-chaînes élémentaires) on définit ensuite la forme bilinéaire suivante: h.,.i : Cq× Cq → Z sur les générateurs u,v ∈ Eq par :
hu,vi =½ 1 si u= v 0 sinon
Soit m={1,.., d}, étant donné les deux cellules A ∈ Em et a ∈ Em−1 telle que h∂A,ai 6= 0 , a est une face de A (c-à-d., a est incident à A), ce qui signifie que ∂A = λa + r, où λ = h∂A,ai avec λ ∈ R est inversible dans R et r est la sous-frontière restante de A à l’exception de a. Dans une grille cubique, le nombre incident λ = h∂A,ai, prend ses valeurs dans {-1,0,1}. Les valeurs de λ = {−1,1} signifient que a est une face de A respectivement avec une orientation opposée et avec la même orientation. La valeur {0} veut dire que a n’est pas une face de A. Dans la figure 2.8(i), la cellule A est une coface de a tel que ∂2A = (+1)a + r, ou r = e + f − g et λ = +1.
[7, 8, 86]. On effectue une réduction locale du complexe, ce qui revient à :
– Éliminer A de Em et a de Em−1 de telle sorte à préserver l’homologie de (C,∂),
– Définir un complexe à chaînes réduit (C,∂) avec une nouvelle base
Eq := Eq si q /∈ {m − 1,m} Eq− {a} si q = m − 1 Eq− {A} si q = m (2.9)
et nous définissons la nouvelle frontière d’une cellule v comme suit:
∂qv := ∂qv si q /∈ {m,m + 1} ∂qv − λ−1h∂qv,ai ∂qA si q = m ∂qv − h∂qv,Ai A si q = m + 1 (2.10)
Cela signifie que l’homomorphisme de frontière est seulement modifié pour les cellules de dimension m qui ont a dans leurs chaînes de frontière et pour les cellules de dimension (m + 1) qui ont A dans leurs chaînes de frontière. L’homomorphisme de frontière reste inchangé pour les cellules de dimension q /∈ {m,m + 1}. Dans la seconde ligne de la formule 2.10, si la seconde cellule v s’intersecte avec A et tous les deux définissent (ou partagent) a comme une face commune, nous parlons ici de l’éffondrement intérieur sinon il s’agit de l’éffondrement extérieur.
Pour un complexe cubique 2D, l’algorithme de réduction est linéaire avec le nombre de générateurs. Pour un complexe de dimension m (avec m ≥ 3), la complexité devient d’environ O(n3
) où n est la cardinalité maximale des bases de générateurs de toutes les dimensions supérieures à m. Cependant, avec un choix judicieux des générateurs, on peut diminuer cette complexité à O(n2
Exemple de réduction
Les deux formules mentionnées précédemment 2.9 et 2.10 sont illustrées par un exemple de la figure 2.8. La figure 2.8(i) donne un complexe cubique initial de dimension 2 avec trois bases canoniques E0, E1 et E2. La figure 2.8(ii) est un complexe cubique modifié après un éffondrement intérieur avec l’écrase- ment de la cellule A ∈ E2 par la cellule g ∈ E1 comme est illustré dans la for- mule (2.10) et comme g est une face commune des deux cellules A et B, donc, nous pouvons déduire un complexe à chaînes réduit correspondant en élimi- nant g et en remplacant A et B par une cellule qui reste notée par B ∈ E2 , ou sa frontière est ∂A + ∂B. Formellement, l’application de la deuxième ligne de la formule (2.10) avec l’élimination de A, conduit à la nouvelle frontière de B qu’est ∂B = ∂B−λ−1h∂B,gi ∂A = ∂B −(+1) h∂B,gi ∂A, ou λ = h∂A,gi=+1 et donc, ∂B = (b + c − d − g) + (a + g − e − f) = a + b + c − d − e − f. La figure 2.8(iii) présente un complexe cubique modifié après l’écrasement de A par la face externe f. Comme résultat, A est éliminé et la frontière de B qui est tou- jours la même, puisque ∂B = ∂B −λ−1h∂B,f i ∂A = ∂B −(λ−1)(0)∂A = ∂B, (h∂B,fi=0). Donc, les bases E du complexe à chaînes réduit correspondant déduites des bases E du complexe à chaînes initial en éliminant les cellules A et g selon la figure 2.8(ii); ce qui donne les nouvelles bases E2 = E2− {A} et E1 = E1 − {g} en appliquant les formules de (2.9). Même raisonnement est appliqué sur les cellules A et f selon la figure 2.8(iii). Un exemple détaillé de la méthode de réduction se trouve dans [7, 86]. La réduction est effectuée dans quelques itérations de telle sorte que l’homologie du complexe à chaînes est toujours maintenu.
Fig. 2.8 – Exemple de réduction où d’éffondrement d’un complexe cubique de dimension 2, (i) initial, (ii) modifié après écrasement de A par g (éffon- drement intérieur), (iii) modifié après écrasement de A par f (éffondrement extérieur)
Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons montré les concepts de base sur l’homologie et la topologie. Nous avons d’abord présenté la topologie en termes de l’homo- topie et l’homéomorphisme avec des formulations mathématiques. Ensuite, nous avons passé à l’homologie avec les groupes d’homologie, et les homo- logies simpliciale, cubique et relative avec des exemples, puis, nous avons abordé les méthodes de calcul de l’homologie, principalement, la méthode de forme normale de Smith et la méthode de réduction de face. Tout au long de cette section, nous avons présenté une matière de base pour préparer à présenter notre approche. Ayant en tête ces notions, nous allons dans le cha- pitre suivant, présenter l’état de l’art des travaux dont une partie touche l’homologie, qui nous mèneront à élaborer les approches de l’homologie et la localisation.
Chapitre 3
État de l’art
Cet état de l’art touche les différents algorithmes de calcul des groupes d’ho- mologie (en spécifiant la méthode de calcul) avec leurs générateurs (c-à-d, la localisation par des représentants de générateurs) en premier lieu et les différentes techniques de représentations d’objets 3D en deuxième lieu.
3.1
Approches d’homologie et localisation
Beaucoup d’approches de calcul d’homologie et de localisation sont proposées dans la littérature. En topologie computationnelle, les groupes d’homologie calculés sont généralement associés avec leurs générateurs d’homologie esti- més aussi durant le calcul d’homologie. Nous commençant ce chapitre par voir les approches les plus récentes.
Une méthode pour calculer les groupes d’homologie et ses générateurs d’une image 2D multi-résolution, en utilisant une structure hierarchique, c-à-d, une pyramide de graphes irrégulier [69, 70, 71]. Avec cette structure, des généra-
teurs d’homologie sont calculés efficacement au niveau supérieur de la pyra- mide, puisque le nombre de cellules est petit, et un processus haut-bas est alors utilisé pour déduire les générateurs d’homologie à tous les niveaux de la pyramide, y compris le niveau de base, c-à-d, l’image initiale. Dans [70], les générateurs des groupes d’homologie de dimension 1 d’une image 2D qui sont calculés par la méthode d’Agoston toujours situent sur les frontières des régions. Dans [68], l’homologie complète des formes classiques et des objets discrétisés de dimension arbitraire : nombres de Betti, coefficients de torsion et générateurs est calculée en utilisant l’homologie simpliciale et la forme normale de Smith modifiée (mSNF) et des calculs de valeurs entières sont exécutés avec un modulo.
Une approche algorithmique pour le calcul de l’homologie sur des formes arbi- traires discrétisées à travers des complexes simpliciaux finis. Cette approche est basée sur la théorie de l’homologie constructive. Il fournit un outil, la séquence constructive de Mayer-Vietoris, qui offre une manière élégante pour calculer l’homologie d’un complexe simplicial à partir de l’homologie de ses sous-complexes et de leurs intersections. Cet algorithme pour le calcul de l’homologie qui est appelé algorithme de Mayer-Vietoris (MV) est modulaire et plus efficace que l’algoithme classique basé sur la réduction des matrices d’incidence à une forme normale de Smith (SNF) [11] (l’information homo- logique complète incluant les nombres de Betti, les coefficients de torsion et les représentants de générateurs d’homologie. L’homologie simpliciale d’une forme peut être efficacement exprimée en termes de l’homologie de ses sous- espaces, c’est-à-dire les sous-composantes de la forme d’entrée et de leurs intersections).
Calcul d’homologie et localization des cycles avec des représentants de géné- rateurs autour des trous sont aussi étudiés dans [8, 21] en utilisant l’homo- logie cubique, et dans [8], les générateurs cubiques entourent exactement les trous après calculer premièrement la co-frontière des cycles d’homologie de dimension 2.
Dans les images 3D et données de haute dimension, un algorithme dans [22] pour calculer les boucles sur la surface qui enveloppe les cavites et les tunnels est conçu pour identifier des caractéristiques comme les cavités et les tun- nels dans une forme entourée par une surface. Dans [16], un algorithme pour calculer efficacement des générateurs d’homologie des objets 3D subdivisés orientés qui peuvent contenir des tunnels et des cavités. Un ensemble de géné- rateurs d’homologie est alors directement déduits sur des objets 3D simplifiés. Dans [17], une manière efficace pour calculer des générateurs d’homologie de cartes ou plans généralisés de dimension n. L’algorithme de calcul de géné- rateurs d’homologie est appliqué sur l’object réduit par réduire les matrices d’incidence dans leur forme normale de Smith-Agoston.
Un algorithme pour calculer efficacement les générateurs d’homologie des ob- jets 3D subdivisés orientés qui peuvent contenir des tunnels et des cavités est proposé dans [16]. L’algorithme commence avec une subdivision initiale, representée avec une carte généralisée où chaque cellule est une balle topolo- gique, le nombre de cellules est réduit en utilisant les opérations de simplifica- tion (enlèvement où suppression de cellules), tout en préservant l’homologie. Une représentation minimale qui est homologiquement équivalent à l’objet initial est obtenue. Un ensemble de générateurs d’homologie est alors direc- tement déduit de l’objet 3D simplifié.
Un autre algorithme pour calculer les groupes d’homologie et ses générateurs des objets 3D subdivisés orientés qui peuvent contenir des tunnels et des cavités est proposé dans [15](des opérations de contraction et d’enlèvement d’une pyramide de graphe irregulière sont utilisées aussi comme dans [69, 71] pour calculer les groupes d’homologie et ses générateurs).