Comme nous l’avons vu précédemment, pour un espace subdivisé avec une grille irrégulière Xs, le q-ème groupe d’homologie est le groupe quotient de q-cycles non frontières et de q-cycles qui ne le sont pas, noté par Hq(Xs), pour q=0 à d où d est la dimension du complexe cellulaire simplifié à construire. Un exemple de calcul de l’homologie d’un complexe cellulaire de dimension 2 est donné dans la figure 4.2. Alors, la figure 4.2(i) donne le complexe cellu- laire initial. Dans ce contexte, l’homologie est calculé en utilisant l’algorithme de réduction précédent. Après avoir appliquer cet algorithme, deux classes d’homologie sont calculées dans 19 itérations de réduction de face comme le montre la figure 4.3(vii). Ces itérations sont réparties en cinq itérations de réduction de face extérieure de niveau 2 (voir la figure 4.2(ii)), huit itéra- tions de réduction de face extérieure de niveau 1 (voir figure 4.2(iii)) et six itérations de réduction de face intérieure de niveau 1 (voir figures de 4.3(i) à 4.3(vii)). En même temps de calculer l’homologie, une nouvelle structure est utilisée comme une pile pour stocker les générateurs réduits ou les géné- rateurs qui ont une frontière modifiée. Cette structure sera utilisée dans le processus de reconstruction de la prochaine section pour réaliser la tâche de localisation.
Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons vu deux types de subdivision qui caractérisent la représentation cubique: subdivision regulière et subdivison irrégulière. Pour
Fig. 4.2 – Méthode de réduction appliquée de l’itération #it=1 à l’itéra- tion #it=13: (i) complexe cellulaire simplifié initial de dimension 2 avec une composante connexe et un trou, (ii) complexe réduit après une séquence d’éf- fondrement extérieur de niveau 2, (iii) complexe réduit après une séquence d’éffondrement extérieur de niveau 1.
Fig. 4.3 – Méthode de réduction appliquée de l’itération #it=14 à l’itération #it=19: (i) complexe réduit avant de commencer l’éffondrement intérieur de niveau 1, (ii) écrasemement de b2 par v5, (iii) écrasemement de a6 par
v6, (iv) écrasemement de e6 par v7, (v) écrasemement de c3 par v10, (vi)
écrasemement de d4 par v12, (vii) écrasemement de c2 par v13 qui donne deux
le premier type, nous avons montré dans la section 2.2.4 que la représenta- tion avec une sudivision cubique regulière conduit à construire un complexe cubique standard avec l’entité de cube unitaire. Le deuxieme type de subdivi- sion cubique conduit à créer une nouvelle représentation en blocs avec l’entité de bloc cubique et son intervalle hétérogène, en s’appuyant sur la méthode de fractionnement destinée principalement pour normaliser les frontières entre les blocs. Cette représentation en blocs permet à construire une nouvelle structure de complexe cellulaire simplifié et à générer un complexe à chaines simplifié associé qui facilite après à appliquer la thèorie de l’homologie.
Chapitre 5
LOCALIZATION DES
CARACTÉRISTIQUES
TOPOLOGIQUES
Les groupes d’homologie sont des invariants topologiques primordiaux don- nés par le calcul d’homologie. Ainsi, ces groupes sont calculés par l’utilisation des algorithmes basés principalement sur la méthode de l’éffondrement et qui sont cités et illustrés avec plus de détails dans [7, 8, 50, 86]. Les concepts de la théorie d’homologie ont été aussi illustrés dans ces papiers. La mé- thode avec un exemple de la génération du complexe à chaînes et le calcul d’homologie sont donnés dans [21]. Récemment, le problème de localisation des caractéristiques topologiques a suscité beaucoup d’attention à cause de leurs applications dans plusieurs disciplines, y compris l’analyse et la com- préhension des formes, la recherche des formes et l’analyse des éléments finis. Contrairement aux caractéristiques géométriques (telle que la courbure) qui sont uniquement invariantes sous les transformations rigides, les caractéris- tiques topologiques sont en plus invariantes sous les déformations continues
[11]. Ainsi, elles fournissent des informations quantitatives et qualitatives glo- bales à propos d’une forme 2D où 3D, comme le nombre des composantes connexes, des trous/tunnels et des cavités.
L’extraction des caractéristiques où invariants topologiques, en particulier, les cycles d’homologie signifie le calcul et la localisation de leurs générateurs (ces cycles sont localisés géométriquement par des représentants cubiques dans le complexe d’origine). Les invariants topologiques incluent les compo- santes connexes, les trous/tunnels et les cavités. L’exemple de la figure 5.1 montre les invariants topologiques d’une image binaire de six composantes connexes en 2D. Trois composantes connexes avec trois trous, avec un seul trou dans chacune. Alors, l’exemple de la figure 5.2 montre les invariants topologiques d’une image binaire de quatre composantes connexes en 3D. Chaque composante contient un seul trou et pas de cavités.
L’algorithme de calcul d’homologie (par exemple, celui conçu par Ziou et Allili [86]) peut nous déterminer les classes d’homologie pour un complexe cubique donné. Ce calcul d’homologie donne uniquement l’information to- pologique minimale (le nombre des invariants topologiques dans les images 2D et 3D). Malheureusement, cette information ne conduit pas à la localisa- tion des cycles par un représentant cubique pour les trous, les tunnels et les cavités. Pour remédier à ce problème, une nouvelle approche de localisation qui emploie les résultats de calcul de l’homologie est développée et présentée dans ce chapitre. La localisation avec un représentant de générateur cubique concerne deux types de cycles: un cycle ordinaire et un cycle minimal qui s’intersecte entièrement avec la frontière intérieure de l’objet. La localisation par un représentant cubique revient à distinguer géométriquement les cubes
qui forme le cycle de l’invariant topologique d’un groupe d’homologie. Les figures ci-dessous montrent un exemple de localisation d’invariants topo- logiques. La figure 5.3(a) décrit un complexe cubique 2D, la figure 5.3(c) dé- crit la localisation d’un cycle ordinaire (représentant cubique en cubes noirs), ainsi la figure 5.3(d) présente la localisation d’un cycle minimal (représentant cubique en cubes noirs).
Fig. 5.1 – Image binaire segmentée 2D avec six composantes connexes en
2D, dont trois composantes connexes avec des trous, avec un seul trou pour chaque composante
Fig. 5.2 – Image binaire segmentée 3D avec quatre composantes connexes,
Fig. 5.3 – Localisation des invariants topologiques par un représentant cu- bique (en cubes noirs), (a) complexe cubique de dimension 2, (b) localisation d’un 1-cycle ordinaire, (c) localisation d’un 1-cycle minimal
5.1
Principe de localisation
La localization est devenue un outil puissant pour valider la robustesse et la consistence de quelques algorithmes tel que la mise en correspondance d’images [20]. Elle pourrait être aussi utilisé en reconnaissance d’objets, dé- tection, retracement des objets en mouvement dans une séquence d’images, etc. En premier lieu, tous les algorithmes conçus sont réservés pour calcu- ler les groupes d’homologie. Malheureusement, ces groupes d’homologie seuls
sont insuffisants et nécessitent un représentant géométrique pour les locali- ser qu’on l’appelle un générateur cubique (pour les 1-cycles, est une courbe d’arêtes; pour les 2-cycles, est une surface fermée de carrés). Par définition, un générateur cubique d’une classe d’homologie géométriquement est un re- présentant cubique de cette classe dans le complexe initial et algébriquement est une chaîne de cycle composée d’une somme alternative de cellules avec des coefficients dans Z où Z2. Par exemple, ce générateur est definé par une 1-chaîne de cycle pour les trous dans les images 2D (une 1-chaîne de cycle pour les tunnels et une 2-chaîne de cycle pour les cavités dans les images 3D).
Quelques remarques peuvent être mentionnées sur ces algorithmes: soit ils utilisent une représentation d’objet plus complexe et non simplifiée (par example, une pyramide de graphes pour représenter une image multi-résolution est utilisée dans [71]) ou tous les calculs sont réalisés sur une surface fermée connectée dans R3
[22]. Aussi, le calcul d’homologie et l’extraction des ca- ractéristiques topologiques sont exécutés sur une structure de complexe avec beaucoup de cellules en utilisant la méthode de forme normale de Smith qui s’exécute sur des matrices avec des entiers de grosses valeurs. Dans cette thèse, une nouvelle approche (calcul d’homologie et localisation) est conçue en se basant sur une représentation d’objet simplifiée avec une manière ef- ficace avec: un complexe cellulaire réduit avec peu de cellules, un proces- sus d’éffondrement et un processus de reconstruction (voir la figure 1.1(c)). La localisation des cycles d’homologie est réalisée réellement après le calcul d’homologie en utilisant une pile de cellules stockées et un algorithme de re- construction des chaînes de cycle. Cette chaîne est formée d’un ensemble de
cellules stockées dans la pile qui ont été collectées durant le calcul d’homo- logie [21].