Représentations géométriques

Les méthodes existantes de représentations géométriques 3D peuvent être classifiées comme dans la modélisation des objets solides dans trois catégo- ries majeures : géométrie des solides constructives (CSG), représentation de frontières (B-rep) et méthodes basées sur la décomposition [73].

Les représentations 3D géométriques peuvent être aussi classifiées comme: représentations exactes et approximatives [67].

Représentation exacte est un modèle précise de la topologie d’objet et ma- thématiquement représente toute la géométrie. Ces représentations inclurent les surfaces Wireframe, paramétriques, et modèles d’objets représentés par CSG, BRep et modèles implicites. Ici les caractéristiques d’objets sont repré- sentées exclusivement.

et utilisent des primitives simples pour modéliser la topologie et la géomé- trie. Ces représentations inclurent les Facettes/Maillages pour repreésenter les surfaces, les modèles de Voxels pour représenter les volumes.

Représentations de frontières B-Rep

La représentation de frontières B-Rep inclut en pratique [67]

– Modèles de surface

– Modèles Wireframe, Maillages et polygones (modèles de facettes).

Une surface 2D fermée définit un objet 3D. À chaque point sur la frontière, il y a un côté entrant et sortant. Les représentations de frontières peuvent être définies en deux manières, «basées primitives»: une collection de primi- tives formant la frontière (polygones, par exemple) et «basées formes libres» (splines, surfaces parametriques, formes implicites)[67].

Dans la catégorie de B-Rep dans [73], les objets 3D sont représentés comme des unions (ou fusions) de leurs frontières où surfaces fermées. Les surfaces fermées peuvent inclure les polygones planaires, quadriques et les mailles de surface avec une forme libre. Dans cette catégorie, les informations to- pologiques et géométriques sont explicitement définies. Les informations to- pologiques fournissent les relations à travers des sommets, arêtes/courbes et faces/mailles. En plus de la connectivité, les informations topologiques inclurent aussi l’orientation des arètes et faces, etc. Les informations géomé- triques toujours consistent des équations des arètes/courbes et faces/mailles.

Dans la littérature, une représentation minimale des objets 3D subdivisés orientés qui peuvent contenir des tunnels et des cavités est proposée dans [16] (un algorithme pour calculer une représentation minimale d’un object 3D borné par des surfaces 2D est conçu, un ensemble de générateurs d’homologie est alors directement déduit de l’objet 3D simplifié où de la représentation minimale). L’algorithme commence avec une subdivision initiale, representée avec une carte généralisée où chaque cellule est une balle topologique, le nombre de cellules est réduit en utilisant les opérations de simplification (enlèvement où suppression de cellules), tout en préservant l’homologie.

– Maillages de polygones

Le maillage de polygones est une représentation des objets 3D massive- ment utilisée, principalement pour l’échange et l’affichage. Cependant, un bon nombre d’applications en infographie nécessite des descriptions de plus haut niveau qui utilisent cette représentation [82].

Dans [32], une méthode pour réparer la topologie d’une surface donnée et qui effectue des traitements directement sur le maillage polygonal est proposée. Le travail consiste à gonfler une surface corticale reconstruite dans une sphère et élimine les poignées (ou ’handles’) en identifiant et en éliminant les triangles qui se chevauchent dans la sphère gonflée. En utilisant le concept de α-coques, El-Sana et Varshney [28] réalise une simplification contrôlée des modèles CAD par identifier des petits tunnels et des concavités de surface comme des régions non accessibles à une sphère de rayon spécifiée par l’utilisateur. Aussi, Guskov et Wood [41] emploient une technique de croissance de surface qui identifie et élimine les petits poignées (ou ’handles’) complètement contenus dans

un voisinage maillé d’une taille donnée. Les méthodes basées sur le maillage ont l’avantage que les changements topologiques impliquent seulement une modification locale de la géométrie.

– Maillages triangulés de la surface

Le Maillage triangulé de la surface est utilisé par la majorité des ap- proches dans la littérature scientifique. Dans [83], une indexation 3D qui repose sur des représentations à l’aide d’histogrammes de mesures statistiques caractérisant un aspect géométrique des objets 3D est pro- posée. Ces difféntes mesures sont calculées à partir de maillages triangu- lés de la surface des objets. Ce type de maillage étant la représentation la plus simple et la plus fréquemment rencontrée sur Internet (avec le format VRML - Virtual Reality Modeling Language).

Récemment, Reuter [74] introduit une méthode de Morse théorétique pour la segmentation et l’enregistrement de la forme en utilisant les ca- ractéristiques topologiques des fonctions propres de Laplace-Beltrami. Ces fonctions propres sont calculées avec une méthode d’éléments finis cubique sur des maillages triangulés.

Dans [4], une méthode qui définit une surface interpolant des valeurs de fonction aux points d’une grille de façon monotone est proposée en premier, c-à-d., en ne créant pas de point critique. Cette surface est composée d’un ensemble de patches de Bézier triangulaires cubiques as- semblés. Pour cela, une approximation des 1-cellules (les liens entre les points critiques dans le complexe de Morse-Smale, ceux-ci sont décrits par des polylignes) par des courbes composées de courbes de Bézier cubiques est appliquée.

Dans l’approche [78], des surfaces simpliciales sont extraites des images binaires 3D. L’extraction des surfaces simpliciales des données de l’image est la première étape d’un schéma pour visualiser les données de l’image, c-à-d, l’extraction d’une surface simpliciale qui approxime un isosur- face de frontière entre l’intérieur et l’extérieur des sous-ensembles de points de l’image, et alors des algorithmes rapides sont utilisés pour construire des triangles afin d’afficher la surface simpliciale approxi- mée. Pour extraire des surfaces simpliciales des images binaires 3D, il faut en premier temps rendre l’image bien composée, puis appliquer quelques algorithmes existants pour extraire des surfaces simpliciales uniformes où adaptives de l’image.

Représentations basées sur la décomposition (Octrees, BSP, ...)

Dans les représentations basées sur la décomposition, un objet 3D est dé- composé d’une collection de primitives de liaison 3D, non intersectés. Les schémas de décomposition d’objets principalement ont trois formes générales: énumeration spatiale, décomposition en cellules et codage Octree. L’énumé- ration spatiale est une approache directe pour une représentation d’objets solides dans laquelle un objet est modélisé comme une collection de cellules volumiques identiques. Des représentations d’objets correctes sont faciles à maintenir mais difficile à les créer à cause de la structure simple. La décompo- sition en cellules est une généralisation de l’énumération spatiale dans laquelle les objets sont représentés comme une collection de primitives simples, non nécessairement exigés d’avoir la même taille où forme. Un cas spécial de mo- délisation avec décomposition en cellules/énumération spatiale est le modèle

basé sur les voxels dans laquelle un objet est modélisé comme une collection de cellules cubiques de même taille qui sont localisées (où situées) dans une grille fixe dans un espace discret 3D [73].

– Représentations en BSP:

BSP nécessite le partionnement de l’espace 3D par une séquence de plans qui divisent successivement l’espace en deux moitiés à la fois. La représentation en arbre de BSP est une arbre binaire avec deux noeuds fils ajoutés comme des noeuds de feuille. Un noeud de feuille représente une portion homogène d’un espace soit «dans» ou «hors». Des régions se diminuent en taille le long de tout chemin dans l’arbre. Il est facile de déterminer si un point se situe dans où hors région par traverser l’arbre de BSP [67].

– Représentations en voxels (pixels en 2D):

Voxel est un élément tri-dimensionnel analogue au pixel dans 2D (où le voxel est l’élément de volume où le pixel volume). Dans la modéli- sation volumétrique, un objet est représenté comme une collection de voxels dans un arrangement 3D qui peut être régulière où irrégulière (les objets 3D est comme étant un tableau d’arrangement tri-dimensionnel d’éléments de volume discrets). Les voxels cubiques dans une grille uniforme où régulière alignés avec les axes de coordonnées est une re- présentation simple et communément utilisée [67].

Visualisation en volume est le domaine avec croissance et déve- loppement plus rapide en infographie guidé par le besoin pour l’ana- lyse des ensembles de données volumétriques immenses générées dans des projets scientifiques et médicaux. Des systèmes de visualisation

en volume sont utilisés pour créer des affichages de haute qualité à partir des données scalaires et vectorielles définies sur des grilles multi- dimensionnelles, d’habitude pour le but de remporter un aperçu dans un problème scientifique. La visualization en volume aussi utilise un concept de voxels. Mais les voxels utilisés dans les applications de CAD sont à peu prés différents dans le sens que le voxel seulement représente un status de l’occupance d’objet dans le volume donné pour le cas des modèles binaires [67].

Plusieurs méthodes sont proposées en infographie, visualisation et mo- délisation des solides pour la voxelisation des objets 3D. La voxelisa- tion est d’origine des systèmes d’acquisition des images 3D, elle peut être aussi appliquée sur d’autres représentations comme en polygones [31, 66] et en CSG [31]. Comme il y a beaucoup de méthodes de voxeli- zation, donc il y a plusieurs schémas de représentation pour les modèles en voxels. Peu de schémas de représentations pour ces modèles sont en utilisation.

Des représentations de nature algébrique topologique des objets géo- métriques sont exprimés dans [35] en termes des homotopies à chaines particulières, appellées les AM-modèles. De plus, tous les algorithmes pour calculer l’homologie basés sur la méthode de réduction matricielle à une forme normale de Smith peuvent être traduit dans cette configu- ration sans aucun cout de calcul additionnel. En plus, les AM-modèles pour les images numériques binaires 3D peuvent être utilisées après les opérations sur l’ensemble des voxels (union, intersection, différence et inversion).

– Volumes élémentaires:

L’approche proposée par [49] consiste à décrire une forme en utilisant des structures volumiques élémentaires 3D appelées géons (ou geome- tric ions). Les primitives volumétriques 3D utilisées sont alors des cy- lindres, cubes, parallèlépipèdes, cones (tronqués ou non) et ellipsoides. D’autres approches utilisent quant à eux un jeu de superquadriques pour décrire la forme des objets 3D. Leur approche consiste dans un premier temps à ségmenter l’objet en différentes régions, puis à associer à chaque région une forme élémentaire. Une structure similaire à celle d’un graphe permet ensuite de décrire la forme des objets de manière compacte. Cependant, ces approches ne sont pas adaptées pour décrire de manière précise les objets avec topologie plus complexe (par exemple une anse de vase où une main). En effet, les différentes régions doivent avoir une forme proche des structures volumétriques élémentaires 3D pour que leur description soit pertinente.

– Représentations d’Octree (Quadtree en 2D):

L’octree est une généralisation 3D de la structure de quadtree pour 2D (la procédure de codage d’octree est une extension de codage quadtree des images 2D). Chaque noeud dans un octree a huit fils ou octants (voir la figure 3.1(a)). L’octree qui est une structure d’arbre hierar- chique qui est construit dans une manière haut-bas en subdivisant re- cursivement des régions non homogènes du volume en huit sous-régions jusqu’à chaque noeud terminal de l’arbre correspond à une région du volume dans lequel tous les voxels partagent la même valeur. Cette structure permet de:

- décrire chaque région d’un volume (ou image 3D) comme des noeuds; - stocker efficacement des données 3D;

- fournir aussi une représentation convenable pour stocker l’information à propos de l’intérieur de l’objet;

- achèver la compression de données par stockage de l’information; - décrire un partionnement recursif d’un volume en octants qui sont complètement pleins où vides.

Quand nous comparons avec la représentation en voxels, les octrees réduirent les exigences de stockge pour les objets 3D. Une véritable implémentation de l’octree utilise les pointeurs pour représenter les connexions entre un parent et les noeuds descendants à chaque étape de partitionnement (voir les figures 3.2 pour l’exemple de quadtree d’une image 2D)[67]. La grille initiale de l’octree peut être obtenue soit directement de l’image de volume (par exemple, données MRI) où des maillages polygonaux en utilisant des routines de balayage-conversion [84]. Aussi, un exemple de code de l’image 2D de la figure 3.2(a) dans la représentation en structure de quadtree peut être comme suit: ’P PPPF FPPE PEFP FFPP FFEE FEFE FEFF FEFE FEFF FFFE’.

Dans [40], il est possible de calculer un AT-modèle pour une image numérique sous d’autres représentations. Par exemple, le AT-modèle est construit en utilisant la représentation quadtree d’une image numérique binaire. Pour une représentation quadtree d’une image numérique I, un complexe simplicial est construit; la représentation simpliciale de l’image numérique I est homotopique à la représentation simpliciale de la représentation quadtree de I). Une approche qui est basée sur un CW-

(a) (b)

Fig. 3.1 – Représentation en structure d’octree, (a) partionnement d’un seul niveau en huit octants, (b) partionnement en plusieurs niveaux

complexe est destinée pour un calcul robuste par une approximation linèaire et cela par la localization des opérations géométriques à travers la décomposition de l’espace. L’approximation par octree est utilisée avec efficacité dans les opérations logiques et autres opérations locales due de son localité spatiale [54].

Représentations CSG (géométrie constructive du solide)

La représentation CSG consiste à combiner les primitives simples en utili- sant des opérations logiques et les représenter comme un arbre binaire. Les opérations logiques inclurent l’union, l’intersection et la différence. Pour gé- nérer l’objet, l’arbre est traité dans une première passe en profondeur. La représentation CSG peut ne pas être unique [67].

(a) (b)

(c)

Fig.3.2 – Représentation quadtree d’un objet 2D: (a) représentation en grille d’image, (b) codage de quadtree, (c) structure d’arbre de quadtree.

Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté l’état de l’art en deux parties: l’homo- logie avec la localisation et les représentations d’objets 3D. Dans la première partie, des approches et travaux liées aux algorithmes de calcul de l’homologie et quelques travaux qui ont entamé le problème de la localisation sont pro- posés. Dans la deuxième partie, nous montrons les diffèrentes techniques de représentations d’objets 3D, spécialement, les représentations de nature topo- logique (structures de complexe, squellettes et graphes) et les représentations géométriques (B-Rep, Octree, BSP, ...). Les représentations topologiques sont

(a)

(b)

Fig. 3.3 – Représentations d’objet 3D: (a) BSP, (b) CSG

plus promoteuses vu qu’elles complètent les représentations d’objets propo- sées dans cette thèse et constituent aussi une base solide et bonne plateforme pour le prochain chapitre consacré à élaborer le nouveau modèle proposé.

Chapitre 4

Représentation d’objets basée sur

le bloc

En topologie calculatoire, plusieurs modèles pour les représentations d’objets 3D sont sus-citées. Parmi eux, on peut citer les modèles cubiques et simpli- ciaux. Dans ce chapitre, nous accordons plus d’intérêt au modèle cubique avec une grille irrégulière (subdivision non uniforme) pour la représentation d’objet qui est caractérisée par une simplification et une réduction signi- ficative. La subdivision cubique qui est souvent utilisée par de nombreux algorithmes dans l’infographie, vision par ordinateur et traitement d’images peuvent être classée en deux subdivisions cubiques: régulière et irrégulière. dans le cas de subdivision régulière, les pixels et les voxels respectivement dans les images 2D et 3D peuvent être vus comme des cubes [87]. Notez que, la subdivision régulière de l’image est un moyen direct pour appliquer les concepts de l’homologie cubique, y compris le calcul d’homologie [9, 10, 27]. Au passé, nous avons considéré les problèmes impliquant des espaces plus généraux, nous avons besoin d’un pas en arrière et considérons comment ces

espaces plus généraux pourraient être représentés. Une large classe d’espaces topologiques d’intérêt pratique peut être représentée par une subdivision cu- bique régulière dans des sous-ensembles, chacun avec une topologie simple, collés ensemble le long de leurs frontières. L’autre classe de subdivision cu- bique peut être considérée où classée comme irrégulière. Plusieurs exemples de représentations en structures cubiques irrégulières sont cités comme les schémas polygonaux, maillages quadrilatéraux et hexahédriques et les trian- gulations 3D supportant des surfaces normales, etc.

Dans cette section, nous proposons une extension du concept du complexe cubique que nous appellons le complexe cellulaire dans le but de l’utiliser pour caractériser les objets 2D et 3D. Ce nouveau complexe est basé sur une nouvelle subdivision de support d’image qui conduit à offrir une nouvelle en- tité géométrique appelée le bloc cubique et notée q-box de dimension q. Cette nouvelle subdivision avec une grille irrégulière de support a été créée dans le but d’extraire le minimum de blocs de l’image. En traitement d’images, une telle subdivision de support avec une grille irrégulière souvent est plus compliquée, et peut être le résultat des traitements algorithmiques donnés par plusieurs façons différentes (plusieurs algorithmes de décomposition ou subdivision d’image existent dans la littérature qui permettent de donner une représentation composée de blocs, c’est-à-dire un ensemble rectangulaire de pixels ou voxels, par exemple Octree, Quadtree, décomposition basée sur les blocs [29, 47, 76, 79], segmentation basée sur les arbres [19, 40, 46, 47], etc). Au lieu de représenter les images 2D et 3D avec un grand nombre de cellules ou cubes unitaires (pixels ou voxels), nous remplaçons cette représentation par une nouvelle représentation basée sur des blocs composés eux-même de

cellules unitaires en utilisant une simple procédure de compactage. En outre, beaucoup d’applications en traitement d’images 2D et 3D peuvent utiliser des données où la subdivision initiale est une grille irrégulière de blocs. Nous sup- posons également que les blocs sont rectangulaires ainsi que orthogonaux. Un cas particulier d’une grille irréguliere avec les blocs est la subdivision cubique hiérarchique; ils proviennent du bloc initial par une séquence de subdivisions où un bloc est remplacé par 2d _{sous-blocs de demi longueur et d est la di-} mension du bloc initial. En 2D et 3D, l’ensemble des sous-blocs du dernier niveau de subdivision s’appelle Quad-tree et Octree respectivement. Dans la représentation Octree, l’élément octant est considéré comme un bloc de cel- lules unitaires tridimensionnelles. Dans le cas de la décomposition en voxels, le bloc est formé suivant le compactage d’un ensemble de voxels adjacents en forme rectangulaire et orthogonale. Ce compactage conduit à une grille irrégulièe avec un petit nombre de blocs.

4.1

Bloc cubique

Le bloc cubique est un ensemble de cubes unitaires adjacents qui sont re- groupés sous forme rectangulaire selon leurs coordonnées de position. Pour construire la structure du complexe cellulaire, le bloc de pixels ou voxels est modélisé comme un bloc cubique et est désigné par q-box (c-à-d., bloc de dimension q, pour q=0,.., d, où d est la dimension du complexe) où un bloc cubique est considéré comme une cellule dans le nouveau complexe. Dans les images 3D, le 3-box représente un bloc de voxels (en 2D, 2-box est un bloc de pixels). La nouvelle entité q-box conçue pour construire un complexe

avec une taille réduite se caractérise par deux vecteurs. Le premier donne les coordonnées de position, alors, le second vecteur présente l’échelle de com- pactage par axe, de sorte que la dimension de ce vecteur donne la dimension du repère (le nombre d’axes canoniques). En effet, le plus petit bloc cubique est un simple cube avec une échelle égale à un. La formule (2.3) est toujours utilisé pour définir le bloc cubique avec une différence unique est que Ii est soit un singleton {l} ou un intervalle fermé [l + si], pour certains entiers l et si. On peut dire que, le plus petit bloc cubique est un cube unitaire avec si = 1.

A rappeler, le bloc cubique offre plus d’avantages et de bénéfices dans le cal- cul de l’homologie et la tâche de localisation. La subdivision en blocs avec une grille irrégulière donnée par les algorithmes cités précédemment est ex- ploitée dans le but d’extraire des collections avec un nombre minimum de blocs pour construire le complexe cellulaire correspondant, même si cela ne peut répondre aux exigences du complexe cubique standard pour générer un complexe valide au niveau combinatoire, c-à-d, cette nouvelle subdivision avec moins de blocs que nous proposons au niveau géométrique ne remplit pas une exigence imposée par la théorie d’homologie cubique (le problème posé est comment rendre ce complexe cellulaire non valide à un autre valide