Un regard sur les techniques instrumentées existantes dans les manuels

II. Le tableur dans le système d’enseignement au niveau du lycée ( programmes du

2.3. Un regard sur les techniques instrumentées existantes dans les manuels

Ici, nous allons essayer d’analyser les techniques explicitement décrites dans les manuels pour accomplir les tâches proposées. Pour cette étude, nous allons nous focaliser sur celles qui correspondent à l’environnement Tableur que nous appellerons techniques instrumentées.

Avant d’étudier les techniques instrumentées, précisons la place des techniques dans les activités mathématiques en nous appuyant sur l’approche anthropologique du didactique (Chevallard, 1999). Dans cette approche, les activités mathématiques sont considérées comme des pratiques sociales et les objets mathématiques sont des entités qui résultent des pratiques d’une institution donnée. Les pratiques sociales, en particulier les activités mathématiques peuvent être interprétées sous un modèle qui est appelé praxéologie ou organisation praxéologique. Cette organisation comporte quatre composants : le type de tâche dans lequel les objets mathématiques prennent sens, la technique est une ‘manière d’accomplir’ un type de tâche, la technologie est un discours sur la technique montrant en quoi la technique employée est adéquate et nécessaire et la théorie qui est le niveau supérieur de justification, discours sur la technologie, autrement dit une technologie de la technologie. Dans une institution didactique, l’avancement de la connaissance ne peut se faire sans routinisation de tâches et de techniques pour accomplir ces tâches. Comme le notent Bosch et Chevallard (1999), cette routinisation constitue une naturalisation des types de tâches et des techniques associées.

Figure 11*. Evolution des techniques dans une activité mathématique

De nouveaux apprentissages ont lieu lorsqu’une tâche apparaît comme problématique nécessitant ainsi la mise en place d’une nouvelle technique, soit par l’adaptation d’une technique ancienne, soit par la création d’une technique inédite. Le travail sur les techniques joue donc un rôle important dans la conceptualisation et le niveau des techniques est essentiel pour analyser l’aspect des technologies (Lagrange, 2000).

Dans un article de réflexion concernant la dialectique entre le travail technique et le travail conceptuel, Artigue (2002) précise que, dans l’enseignement, les techniques sont perçues et évaluées le plus souvent du point de vue de leur valeur pragmatique qui renvoie à l’aspect pratique et à leur productivité (efficacité, coût et domaine de validité). Cependant elles ont aussi une valeur épistémique qui dénote la contribution des techniques à la compréhension des objets qu’elles impliquent. L’auteur déduit des recherches réalisées25 concernant l’intégration des outils informatiques dans l’enseignement en France que l’apparition des techniques instrumentées dans une institution modifie l’équilibre existant et implicite entre le travail technique et conceptuel en changeant les valences pragmatique et épistémique des techniques, ainsi qu’en introduisant des nouveaux besoins mathématiques du fait de la transposition informatique ( Balacheff,1994). Selon Artigue, la littérature concernant les environnements informatiques exploite surtout la potentialité pragmatique des techniques instrumentées pour développer les activités mathématiques, pour motiver des généralisations et aussi pour aborder les questions plus complexes. Ainsi, leur valeur épistémique n’est pas suffisamment étudiée. Elle révèle que la valeur pragmatique des techniques instrumentées est plus facile à saisir que leur valeur épistémique car ces techniques sont développées précisément pour leur efficacité dans une tâche donnée. En revanche, en papier/crayon, les techniques imposent souvent une résolution ‘pas à pas’ qui peut rendre plus visible leur valeur épistémique.

25_{Il s’agit des recherches réalisées par les équipes ERES (Montpellier), DIDIREM (Paris) et Equipe TICE (Rennes) depuis 1993.} * Figure 11 et 12 sont adaptées à partir de la présentation d’Artigue dans le séminaire DidaTech 2003

Figure 12*. La valeur épistémique du travail technique et des techniques instrumentées

Artigue précise que le statut institutionnel des techniques dépend des valeurs qui leur sont attribuées. Elle souligne que les institutions doivent préciser le statut des techniques instrumentées pour valoriser leur valeur épistémique dans les classes, la raison pour laquelle les enseignants ont du mal à exploiter les deux valeurs des techniques instrumentées en leur donnant un statut adéquat, tandis qu’elles tendent à orienter les élèves plutôt vers des potentielles pragmatiques des outils informatiques. Elle note aussi qu’une réflexion sur la valeur épistémique des différentes techniques instrumentées chez les enseignants peut être reconstruite par les situations et les tâches adéquates. Artigue précise que le statut institutionnel des techniques dépend des valeurs qui leur sont attribuées. Elle souligne que les institutions doivent préciser le statut des techniques instrumentées pour valoriser leur valeur épistémique dans les classes, la raison pour laquelle les enseignants ont du mal à exploiter les deux valeurs des techniques instrumentées en leur donnant un statut adéquat, tandis qu’elles tendent à orienter les élèves plutôt vers des potentielles pragmatiques des outils informatiques. Elle note aussi qu’une réflexion sur la valeur épistémique des différentes techniques instrumentées chez les enseignants peut être reconstruite par les situations et les tâches adéquates. Cela nous conduit à chercher comment les manuels scolaires de la classe de 1ère L situent les valeurs épistémique et pragmatique des techniques instrumentées. À cet effet, nous allons d’abord dégager les techniques instrumentées précisées dans les manuels.

Cela nous conduit à chercher comment les manuels scolaires de la classe de 1ère L situent les valeurs épistémique et pragmatique des techniques instrumentées. À cet effet, nous allons d’abord dégager les techniques instrumentées précisées dans les manuels.

Tâche : Calculer les termes d’une suite ( T1) Tâche : Calculer les termes d’une suite ( T1)

Le manuel Déclic qui est caractérisé par ce type de tâches par rapport aux deux autres manuels (cf. récapitulation des analyses de trois manuels), précise des techniques instrumentées pour le calcul de termes d’une suite arithmétique et géométrique.

Pour une suite arithmétique

Pour une suite arithmétique : Deux techniques instrumentées pour deux situations différentes sont présentées:

1. Cas où l’on connaît les deux premiers termes : On écrit les deux premiers termes dans deux cellules consécutives, on sélectionne ces deux cellules (croix blanche) et on tire à l’aide de la croix noire en bas à droite. (Figure 13)

Figure 13. Calcul des termes

d’une suite arithmétique par le recopie incrémentée

Figure 14. Calcul des termes

d’une suite arithmétique par une formule

2. Cas où l’on connaît le terme initial et l’accroissement constant (la raison) : On écrit l’accroissement constant a dans une cellule (ici A1). En B4, on écrit la formule de récurrence et on tire cette formule pour obtenir tous les termes de la suite. (=B3+$A$1, on voit cette formule sur la feuille de calcul donnée,

voir Figure 14 26) Manuel de Déclic, p.132

On peut schématiser et nommer des techniques instrumentées comme suivantes :

Tâche

Tâche Techniques instrumentées Techniques instrumentées Gestes sur tableur Gestes sur tableur

Calculer les termes d’une suite

arithmétique

Technique-incrémentée

 organisation de la feuille de calcul

 utilisation de la fonction de recopie incrémentée

Technique-récurrente

 Organisation de la feuille de calcul

 Construction d’une formule-tableur récurrente

 Utilisation de la fonction de recopie

 nommer les colonnes/lignes pour les indices et les termes de la suite

 entrer les indices

 entrer deux premiers termes de la suite  recopier

 nommer les colonnes/lignes pour les indices et les termes de la suite

 entrer les indices

 entrer la raison de la suite dans une cellule - entrer une formule où on ajoute la raison au terme précédent et où on utilise une référence absolue pour la raison

-recopier

Pour une suite géométrique : La technique-récurrente est favorisée dans le calcul de termes d’une suite géométrique. Autrement dit, il s’agit d’écrire la formule

récurrente de la suite géométrique (=B3*$D$1, cf. Figure 15 ) et de recopier cette formule.

Dans le cas d’une suite géométrique, cette technique repose sur une reconnaissance du coefficient multiplicateur : « pour obtenir les termes d’une suite géométrique, le plus simple est de connaître le coefficient multiplicateur CM, et de l’appliquer au fur et à mesure ».

Figure 15. Calcul des termes d’une

suite géométrique par une formule

Tâche Techniques instrumentées Gestes sur tableur

Calculer les termes d’une suite

géométrique

Technique-récurrente

 Organisation de la feuille de calcul

 Construction d’une formule-tableur récurrente

 Utilisation de la fonction de recopie

 nommer les colonnes/lignes pour les indices et les termes de la suite

 entrer les indices

 entrer le coefficient multiplicateur dans une cellule

- entrer une formule où on multiplie le terme précédent par le coefficient multiplicateur et où on utilise une référence absolue pour le coefficient multiplicateur

Dans les deux autres manuels ( Indice et Delagrave), aucune technique n’est précisée. Cependant à partir des données dans les tâches proposées, nous constatons que l’application de la formule de récurrence d’une suite sur tableur est présentée comme une technique essentielle. L’application de la formule explicite est uniquement donnée dans le manuel Déclic en tant que tâche pour une suite géométrique (par exemple pour la suite présentée ci-dessus, il est demandé d’expliquer cette formule-tableur =$B$3*$D$1^A4). Pourtant il s’agit bien d’une autre technique pour le calcul de termes d’une suite.

Cela nous conduit à penser à la nature de ces deux types de formules sur tableur. Regardons la construction de ces formules au niveau mathématique avant de passer au niveau tableur. Pour une formule récurrente, les élèves doivent reconnaître la relation entre deux termes consécutifs. Cependant, pour une formule explicite, il ne suffit pas de reconnaître cette relation mais ils doivent généraliser la détermination de la suite.

Dans une première étape, l’édition de ces formules sur tableur met en avant l’aspect algébrique des formules plutôt que l’aspect « fonctionnel ». Lors de l’algébrisation de la relation entre deux termes consécutifs d’une suite sur tableur, les objets algébriques habituels en papier/crayon et de nouveaux objets interviennent (variable, formule, etc.). Haspekian (2005) étudie, dans le cadre d’une approche instrumentale, ces objets algébriques qui résultent de la potentialité du tableur. En s’appuyant sur les travaux d’Ainley (1999) et de Capponi (1999) qui montrent l’ambiguïté de la référence cellule et de la variable, elle définit la variable sur tableur par les objets de ‘variable -cellule’ et ‘variable - colonne’ du tableur. Le tableau ci-dessus montre la manière dont Haspekian caractérise ces deux nouveaux objets :

Figure 16. Objet ‘variable-cellule’ du tableur, Haspekian(2005)

Variable-cellule Variable -colonne

Contenu numérique Variable abstraite Adresse Correspond au papier/crayon Case du tableau

• La variable- cellule est, par rapport à la variable en papier crayon,

- Concrétisée/ numérisée - Matérialisée

- Localisable (possède une adresse) et localisée (se confond avec son adresse)

• Son écriture symbolique est plus complexe

• Enfin, rappelons que, selon Capponi (1999-2000), le geste lié à son écriture peut correspondre à une intention d’écrire un nombre et non un symbole, de traiter une valeur et non une variable (en « cliquant » sur la valeur numérique avec la souris)Par ailleurs, en mode LC du tableur, l’écriture même de cette variable n’est plus unique, contrairement au papier-crayon : L(1)C(1), L(-1)C(-1), L1C2 et L2C1 peuvent désigner, dans plusieurs formules, la même variable-cellule

La variable-colonne est une variable-cellule qu’on a « multipliée ». Cette multiplication porte sur la cellule et se réalise par la donnée de nouvelles valeurs aux cellules arguments pour faire la recopie de la formule, puis par la réactualisation des résultats après recopie. La variable-colonne existe donc par les gestes liés à l’instrument (recopie et réactualisation) mais non dans les formules.

La variable colonne est donc : • Concrétisée/ numérisée •Matérialisée

•Mais ne se localise pas dans la formule (sauf à travers le geste de recopie)

Elle n’a pas de représentation symbolique dans la formule.

En ce qui nous concerne, l’édition d’une formule récurrente est plus facile que celle d’une formule explicite. Dans le premier cas, la détermination de la relation entre deux termes consécutifs sur tableur mobilise deux variables cellules dont une est le terme précédent dans la même colonne. La formule-tableur n’est donc pas compliquée pour les élèves. Cependant, pour une formule explicite, il faut d’abord généraliser la définition de la suite dans la formule tableur, ensuite voir que trois variables cellules interviennent dans la formule dont une qui correspond aux indices et devient une variable-colonne.

Un geste essentiel sur tableur apparaît comme un point commun aux techniques instrumentées présentées ci-dessus. C’est de recopier, notamment la poignée de recopie. Ce geste est indiqué dans les tâches en utilisant le verbe ‘tirer’ comme : ‘Parmi les formules proposées, laquelle écrire en cellule B3 pour obtenir tous les termes de la suite en tirant27’.

La valeur pragmatique des techniques s’appuie sur ce geste : en recopiant la formule, il permet de réaliser d’une seule fois plusieurs calculs et d’éviter de remplir les cellules une par une. Quant à la valeur épistémique de ce geste, il permet de voir les changements de valeurs, aussi grandes ou aussi petites que l’on veut. Les élèves peuvent donc observer les variations.

Certains connaissances informatiques favorisent la valeur pragmatique des techniques. L’utilisation d’une référence absolue dans une formule pour la raison des suites au lieu des valeurs numériques

permet d’utiliser la feuille de calcul construite pour le même type de situations par l’actualisation automatique d’une feuille de calcul.

Quant à la valeur épistémique des techniques, la notion de récurrence est mise en avant dans ces techniques. La technique-explicite dans laquelle le calcul de termes est réalisé à partir d’une formule explicite d’une suite, pourrait favoriser l’aspect ‘fonctionnel’ d’une suite ( par ex : relation entre la colonne d’indice et la colonne de termes, un = u(n))

Tâche : Calculer la somme (T2)

Pour le calcul de la somme des termes, une seule technique apparaît dans les exercices/problèmes. C’est de créer une colonne par une formule où dans chaque ligne le nouveau versement s’ajoute à la somme précédente. Il s’agit donc d’une formule récurrente de la somme des versements.

Le manuel Déclic, dans la partie relative à l’initiation au tableur, présente la fonction SOMME du tableur. Il n’existe pourtant aucune remarque, ni rappel concernant l’utilisation de cette fonction automatique du tableur pour réaliser cette tâche.

Tâche Techniques instrumentées Gestes sur tableur

Calculer la somme des termes d’une suite

Technique-somme récurrente

 Organisation de la feuille de calcul  Construction d’une formule-tableur

récurrente

 Utilisation de la fonction de recopie

 nommer les colonnes/lignes pour la somme - entrer une formule où on ajoute au fur à mesure chaque terme à la somme des termes précédents

-recopier

Ici, nous constatons que le manuel favorise une technique instrumentée qui met en avant sa valeur épistémique. La technique dont la valeur pragmatique est plus forte ( utilisation de la fonction SOMME ), n’est pas présentée dans le manuel.

Tâche : Représenter graphiquement une suite (T6)

Dans l’analyse des types de tâches, nous avons constaté que malgré la potentialité graphique du tableur, ce type de tâche n’était pas très présent dans les manuels. Le manuel Déclic précise les étapes à suivre sur l’assistant graphique pour le premier exercice/problème, en demandant la représentation graphique d’une suite. Il s’agit d’une suite géométrique avec la raison 2 et le terme initial 1 (un+1= 2*un) (cf. exemple de T6)

0 1E+18 2E+18 3E+18 4E+18 5E+18 6E+18 7E+18 8E+18 9E+18 1E+19 0 20 40 60 80 1 100 10000 100000 0 1E+08 1E+10 1E+12 1E+14 1E+16 1E+18 1E+20 0 10 20 30 40 50 60 70

Dans la première étape, la suite est visualisée en échelle linéaire (Figure 17). Comme le changement de valeurs entre les termes de cette suite est assez grand, l’échelle linéaire où les très petites valeurs sont insaisissables, est mal adaptée. Elle n’affiche pas correctement tous les termes de la suite. Dans la deuxième étape, l’échelle logarithmique qui permet de ‘dilater’ les faibles et les fortes valeurs, est donc activée seulement pour les ordonnées (Figure 18).

À la fin de l’indication donnée, on obtient une représentation graphique où la courbe apparaît comme linéaire. Pourtant, il s’agissait bien d’une suite géométrique, le tableur devait donc représenter une courbe exponentielle. On devrait aussi appliquer le changement d’échelle sur les abscisses. Dans ce cas, le tableur affiche une courbe exponentielle. (Figure 19)

1 100 10000 100000 0 1E+08 1E+10 1E+12 1E+14 1E+16 1E+18 1E+20 1 10 100 Figure 18. un+1 = 2 x un Figure 17. un+1 = 2 x un

L’axe Y en échelle logarithmique

Figure 19. un+1 = 2 x un , Les deux axes en échelle logarithmique

en échelle linéaire

Pour les élèves qui exploitent la première fois l’assistant graphique du tableur pour la représentation graphique d’une suite, le changement de format des axes n’est pas évident. Cette application nécessite une instrumentation. La technique donnée par le manuel n’est pas complète pour obtenir une bonne réponse comme nous avons montré ci-dessus. Il nous semble que très peu d’élèves Pour les élèves qui exploitent la première fois l’assistant graphique du tableur pour la représentation graphique d’une suite, le changement de format des axes n’est pas évident. Cette application nécessite une instrumentation. La technique donnée par le manuel n’est pas complète pour obtenir une bonne réponse comme nous avons montré ci-dessus. Il nous semble que très peu d’élèves

peuvent arriver à interpréter cette question. Le problème d’affichage des graphiques dans la bonne fenêtre est déjà évoqué par plusieurs recherches réalisées sur l’usage de la calculatrice graphique. Elles montrent en particulier comment le travail des élèves peut être bloqué par les mauvais affichages.

Dans le manuel Delagrave, nous ne trouvons pas de présentation ni d’explication concernant la représentation graphique sur tableur. Le manuel se contente de préciser le type de graphique ‘nuage des points’ à choisir.

Dans le document Pratiques d'enseignants de mathématiques en environnement technologique : L'intégration du tableur dans l'enseignement des suites en Première Littéraire (Page 79-87)