II. Le tableur dans le système d’enseignement au niveau du lycée ( programmes du
2.2. Analyse du chapitre des manuels portant sur la notion de ‘suite’
La notion de ‘suite’ est abordée dans les manuels sous différents titres. Les manuels Déclic et Delagrave suivent la structure du programme officiel et cette notion est étudiée dans le chapitre intitulé types de croissance. Le manuel Indice consacre un chapitre entier à cette notion.
Pour chaque manuel, nous allons d’abord présenter l’organisation du chapitre concerné. Ensuite nous allons analyser la partie ‘cours’ pour mettre en évidence les différentes approches utilisées par les manuels pour introduire la notion de suite, L’analyse de la partie ‘exercices/problèmes’ a pour fonction d’une part de nous aider à préciser la potentialité du tableur qui émerge et la fonction accordée à cet outil, d’autre part de voir quels sont les aspects de la notion de suite qui sont plus particulièrement visés.
Pour cette dernière analyse, nous allons d’abord étudier les types de tâches21, ensuite nous allons nous intéresser aux techniques mises en œuvre. Dans le paragraphe suivant, nous allons commencer par la présentation d’une liste des types de tâches relatifs à l’étude des suites avec ou sans tableur.
2.2.1. Une classification des types de tâches
Nous proposons une classification des types de tâches suivant trois environnements : environnement Papier / Crayon (P/C), environnement Tableur (T)22 et environnement Mixte (M). Nous allons réaliser cette classification à partir des formulations des énoncés des tâches. Nous allons tenir en compte le fait que chaque tâche puisse apparaître en tant que question unique d’un exercice/ problème ou, au contraire être associée à d’autres tâches dans un exercice/problème.
Types de tâches en environnement P/C
Par ce groupe, nous désignons des tâches dans lesquelles l’utilisation d’un outil informatique, notamment le tableur, n’est pas demandée dans la formulation de l’énonce de la question, elle n’est pas non plus nécessaire pour la résolution.
Tâches relatives aux termes de la suite
P/C1. Lire des termes d’une suite : Il s’agit de donner les termes d’une suite à partir d’un tableau de valeurs d’une suite numérique ou chronologique ou bien à partir de la représentation graphique d’une suite. Dans l’énoncé de la tâche, les termes de la suite demandés sont reformulés en notation mathématique.
Exemple : Dans la suite des nombres 13 10 7 4 1 -2 -5 -8 -11 -14 … Compléter u(4) = … u9 =… -5= u(…)
Exemple : La population totale de la France métropolitaine en fin d’année, en milliers. Donner p3 = … p5= …
année 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 population 56423 56735 57055 57374 57654 57900 58139 58375
Extrait du manuel Déclic (page 126)
P/C2. Calculer les termes d’une suite : Il s’agit de calculer les termes d’une suite à partir d’une situation ou d’un procédé mathématique, exprimé en langage naturel ou à l’aide d’une formule. Ce type de tâche contient deux sous-types :
P/C2.a. calculer les premiers termes
P/C2.b. calculer des termes pour des rangs ‘grands’
Le calcul de termes d’une suite est demandé soit explicitement par la notation mathématique ou par en langage naturel, soit implicitement à travers la situation donnée dans l’énoncé. Le calcul de termes pour des rangs ‘grands’ peut venir après une question qui demande de déterminer une formule générale de la suite (PC3 ci-dessous).
calcul des premiers termes et des grands termes qui sont précisés par la formulation implicite à partir d’une situation
Exemple : Sous l’influence du vent, la dune avance de 4 mètres par an. Une cabane se situe à 50 mètres de la dune en 2000. Calculer la distance entre la dune et la cabane en 2001, 2002, 2003. […] Dans combien d’années peut-on estimer que la dune commence à recouvrir la cabane ?
Extrait du manuel Delagrave (page 113)
la formulation mathématique des termes demandés à partir d’un procédé mathématique
Exemple : Une suite démarre à u(0) =14. pour obtenir le terme suivant, on prend ce nombre, on lui soustrait 4 et on prend le double du résultat…puis on applique le même procédé pour les suivants. Calculer les quatre termes : u(1)=… u(2)=… u(3)=… u(4)=…
Extrait du manuel Déclic (page 167)
la langage naturel / la formule mathématique des termes demandés à partir de la formulation mathématique
Exemple : Pour chacune des suites suivantes déterminer ses quatre premiers termes. un = n+2,5 un = 3n-8
Extrait du manuel Delagrave (page 113)
Ecrire dans chaque cas la formule donnant le terme d’indice n d’une suite arithmétique en fonction de n. calculer les termes demandés, sans calculatrice. u0 = 35,7 et a = -0,5 un =…., u20 =…
u0= 1024 et a = -10 un =…, u100 =… Extrait du manuel Déclic (page 131) Tâches relatives à une formule de la suite
P/C3. Donner une formule pour la suite : Il s’agit de déterminer la suite par une formule mathématique :
P/C3.a. déterminer la suite u(n) par une formule explicite ( u(n) en fonction de n)
P/C3.b. déterminer la suite u(n) par une formule de récurrence ( u(n+1) en fonction de u(n) Tâches relatives à l’étude des variations
P/C4. Reconnaître et justifier le type de croissance : Il s’agit d’indiquer le type de croissance (linéaire, exponentielle ou ni l’un ni l’autre) à partir d’une situation, d’un tableau de valeurs ou à partir d’une représentation graphique et puis il s’agit de préciser les caractéristiques d’un type de croissance.
Exemple : Pour chacun des exercices suivants, on donne une table de valeurs annuelles. Indiquer en justifiant si la croissance constatée sur cette table est linéaire, exponentielle, ou ni l’un ni l’autre Extrait du manuel Delagrave (page 111)
Exemple : Xavier est une internaute émérite. Il aimerait dialoguer avec le maximum de personnes. Il espère chaque jour multiplier le nombre de ses correspondants de la manière suivante : 1er :… 2e :…3e :…4e:…5e … ….
x2 x3 x4 x5
Il a un seul correspondant départ. Quelle est la caractéristique d’une croissance exponentielle. La croissance de cette série est-elle plus forte qu’une croissance exponentielle ?
Extrait du manuel Déclic (page 149) 1998 1999 2000 2001 2002 2003 50 30 20 15 12,5 11,25
P/C5. Reconnaître et justifier le type de suite : Il s’agit de déterminer les caractéristiques d’une suite en précisant ses éléments (raison et valeur initiale pour les suites géométriques ou arithmétiques)
Exemple : Ecrire les nombres pairs, c'est-à-dire les multiples de 2, depuis 0 jusqu’à 24. ce sont les termes d’une suite arithmétique. Préciser cette suite Exemple : La suite w définie par wn =
2 3 2 n n
est-elle une suite géométrique? Extrait du manuel Indice (page 38 et 39)
Remarque : PC4 et PC5 sont les mêmes types de tâches, mais exprimées dans deux registres différents, celui des ‘types de croissance’ et celui des ‘types de suite’.
P/C6. Reconnaître les variations : Il s’agit d’étudier le sens de variation (croissante ou décroissante) ainsi que de dire s’il s’agit d’une variation accélérée ou ralentie.
Exemple : Le graphique ci-contre présente l’évolution de l’indice du coût à la construction en France. Cet indice permet de fixer le montant et l’augmentation des loyers. On donne quelques valeurs lues :
1960 1970 1975 1980 1985 1990 1998 150 220 350 600 830 960 1070
Indiquer si la croissance de cet indice est accélérée ou ralentie. (On distinguera deux intervalles). Indiquer le critère.
Extrait du manuel Déclic (page 165)
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1960 1970 1980 1990 2000
P/C7. Comparaison des croissances et des suites :
P/C7. Comparaison des croissances et des suites : Il s’agit d’étudier de manière comparative les variations de deux différents types de croissances ou bien de deux différents types des suites à partir d’une situation, d’un tableau de valeur ou d’une représentation graphique.
Exemple : Deux colonies U et V d’insectes ont 1000 individus au départ. Par la suite, la colonie U augmente de 100 individus par mois et la colonie V augmente de 6% par mois. […] à partir de quel mois la colonie V a-t-elle dépassé la colonie U en individus ? Donner tous les calculs qui permettent de justifier.
Extrait du manuel Déclic (page128)
Tâches relatives à un calcul
P/C8. Effectuer un calcul sur la suite : Il s’agit de calculer l’accroissement moyen, le coefficient multiplicateur, le pourcentage d’augmentation, les différences secondes ainsi que la somme jusqu’à un rang donné ou la raison d’une suite.
Tâches relatives à un changement de registre
P/C9. Représenter graphiquement une suite : Il s’agit de donner la représentation graphique d’une suite. La tâche est en général formulée en demandant de placer les points (n, u(n)) sur un repère donné dans l’énoncé après avoir calculé les termes de la suite.
Exemple : […] Donner ci-contre une représentation graphique pour les points de coordonnées ( n, Cn )
Extrait du manuel Indice (page 34)
P/C10. Résoudre une équation algébrique : Il s’agit de résoudre une équation algébrique donnée ou de faire un calcul algébrique pour une comparaison des suites.
Exemple : En 1988, le nombre de licenciés de la Fédération française de Tennis (FfT) était de 1350000 et celui de la Fédération française de Golf(FfG) de 135000. chaque année, la FfT perd 31000 licenciés et la FfG gagne 14000 licenciés.
[…]
Résoudre l’équation 1350000-31000x = 135000+14000x.
En quelle année les nombres des licenciés des deux fédérations seront-ils égaux si la tendance se maintient ? Extrait du manuel Déclic (page131)
Remarque : Il s’agit d’un type de tâche visant le même but que PC7, mais ici une résolution algébrique est explicitement demandée, alors que dans PC7, il s’agissait d’observations sur les valeurs de la suite.
Types de tâches en environnement T
Par ce groupe, nous désignons les tâches qui proposent explicitement l’utilisation d’un outil informatique et dans le cas général il s’agit d’un tableur.
Tâches relatives aux termes de la suite et à un calcul
T1. Calculer les termes d’une suite : il s’agit de calculer des termes d’une suite à l’aide d’un tableur ou d’une calculatrice.
Exemple : A l’aide de la calculatrice, calculer les termes u(17), u(23) et u(51) d’une suite arithmétique de terme initial 567 et d’accroissement -18 Extrait du manuel Déclic (page 131)
T2. Calculer la somme ou les variations d’une suite ou réaliser un calcul : Il s’agit de calculer la somme des termes ou la variation absolue et relative d’une suite. Pour le calcul de la somme, l’énoncé de la tâche est en général formulé par rapport à la situation. La somme des termes de la suite jusqu’au rang n n’est pas explicitement demandée (cf. exemple 1).
Exemple 1 : Lors de son embauche en janvier 2001 un futur employé doit choisir entre deux propositions faites par son employeur concernant l’évolution de son salaire : proposition A : son salaire mensuel augmente de 60 euros chaque année Proposition B : son salaire mensuel augmente de 4,5 % chaque année. Le salaire initial est 1000 euros. […] Calculer pour chaque proposition la somme totale des salaires reçus à la fin de la 20ième année, à la fin de la
21ième année.
Exemple 2 : Prendre une feuille de format A4 (21,0*29,7). On la plie en deux chaque fois. La superficie de la feuille au départ 623,7 cm². Calculer la variation absolue et relative à chaque pliage.
Extrait des fiches informatiques du manuel Delagrave (CH10-Ex13 et TP3)
Tâches relatives à une formule de la suite T3. Construire une formule tableur :
T3 a. formule d’une suite : il s’agit de construire une formule à entrer dans le tableur pour calculer les termes d’une suite.
T3 b. formule pour un calcul : cet item consiste dans la construction d’une formule pour réaliser un calcul sur le tableur ; le calcul de coefficient multiplicateur ou les variations relatives ou absolues entre les termes, etc.
Exemple :
Extrait des fiches informatiques du manuel Delagrave (CH10-Ex14)
Tâches relatives à la feuille de calcul
T4. Créer une feuille de calcul : il s’agit de construire une feuille de calcul à partir de la démarche précisée dans l’énoncé.
T4.a. à partir d’indications précises : toutes les formules à entrer, les noms des colonnes, le format des cellules sont précisées étape par étape pour réaliser une feuille de calcul. Il s’agit de suivre ces consignes et d’entrer les données dans la feuille de calcul.
Exemple : La légende du jeu d’échecs :
On raconte que l’inventeur du jeu d’échec présenta ce nouveau jeu au Calife (ou au Pharaon…). Le Calife se passionna pour ce jeu et voulu récompenser l’inventeur. Pourquoi le Calife ne put-il jamais le faire ? L’inventeur ne demandait pourtant pas beaucoup … a priori et le Calife avait accepté sa requête : un grain de riz pour la première case, le double pour la deuxième case, le double de la deuxième case pour la troisième case… et ainsi de suite, en doublant le nombre de grains d’une case à l’autre.
A l’aide d’un tableur : établir une feuille de calcul comme ci-contre. Le nombre de grains de riz pour chaque case est en colonne A.
Extrait du manuel Déclic (page 140)
T4.b. à partir de la feuille de calcul présentée: une feuille de calcul est illustrée de façon incomplète dans l’énoncé. Les données et parfois certaines formules sont affichées sur cette feuille. Le manuel simplifie ainsi la tâche de l’élève en lui proposant une organisation de la feuille. L’élève a cependant à compléter des éléments importants dans la tâche (formules, etc.)
Exemple : Sophie verse chaque mois une somme d’argent sur un compte.
Elle verse 315 € le premier mois. Mais elle diminue son versement chaque mois de 20 €. Etablir une feuille de calcul comme ci-contre.
Extrait du manuel Déclic (page 135)
T5. Modifier des données d’une feuille de calcul : après avoir créé une feuille de calcul à partir des premières données, il s’agit d’utiliser la fonction actualisation automatique de la feuille de calcul en entrant les nouvelles données. La question est par exemple de trouver la cellule à changer en fonction des nouvelles données.
Exemple : [… (cf. exemple de T3)] En modifiant le capital initial chercher par essais successifs une valeur, à 1 euro près, du capital initial pour avoir 2000 euros à la fin de la 6ième année. Extrait des fiches informatiques du manuel Delagrave (CH10-Ex14)
Tâches relatives à un changement de registre
T6. Représenter graphiquement une suite : il s’agit d’utiliser l’assistant graphique du tableur pour réaliser la représentation graphique d’une suite.
Types de tâches en environnement Mixte
Nous désignons par ce groupe les tâches dans lesquelles les deux environnements (papier/crayon et tableur) sont référés. Il s’agit en général de partir d’une situation ‘tableur’ pour réaliser les tâches en papier -crayon sans qu’on ait besoin d’utiliser directement un tableur. Autrement dit, les énoncés des tâches sont formulés en se référant au tableur mais cette tâche peut être réalisée en papier crayon si les élèves ont déjà acquis certaines connaissances sur les fonctionnalités essentielles d’un tableur. Les sujets de l’épreuve anticipée de Mathématique – Informatique pendant laquelle l’utilisation du tableur n’est pas autorisée, contiennent des tâches qui sont des exemples typiques de ces tâches (cf. chapitre VI).
Tâches relatives aux formules
M1. Reconnaître une formule du tableur : il s’agit de reconnaître une formule du tableur relativement à un calcul demandé ou à une cellule précisée pour une feuille de calcul. Cette tâche consiste seulement à indiquer une formule alors que T3 (ci-dessus) imposait d’entrer la formule pour la réalisation d’un calcul sur le tableur.
Exemple : Pour tirage papier de photographies numériques, trois agences proposent les tarifs suivants : Agence B : les 50 premiers photos sont à 0,53 € pièce, les 50 suivantes sont à 0,45 € pièce et les suivantes à 0,38 € pièce.
Agence C : pour un tirage de 1 à 39 photos : toutes les photos sont à 0,35 € pièce ; pour un tirage de 40 à 59 photos : toutes les photos sont à 0,33 € pièce ; pour un tirage de 60 à 99 photos : toutes les photos sont à 0,31 € pièce ; pour un tirage de 100 photos et plus : toutes les photos sont à 0,25 € pièce.
Agence C : 2,90 € forfaitaire plus 0,25 € par photo.
Pour calculer le prix de revient des tirages dans les différentes agences, on a utilisé un tableur. On a reproduit dans l’annexe l’une partie d’écran. On veut que les formules entrées puissent être recopiées vers le bas et s’actualisent automatiquement si on change les valeurs des lignes 3à 6.
a. Quelle formule écrit-on dans la cellule C9 ? jusqu’où peut-on la recopier ? b. Quelle nouvelle formule écrit-on dans la cellule C48 ?
c. Quelle formule à recopier jusqu’en B58 faut-il écrire en B9 ?
d. On recopie cette formule jusqu’à la cellule B58 : qu’est-elle devenue en B50 ? e. Quelle nouvelle formule faut-il écrire dans la cellule B59 ?
Extrait du sujet de BAC Général Série L Session 2004 - Epreuve anticipée de Mathématiques - Informatique (France)
M2. Convertir une formule : il s’agit de convertir une formule mathématique pour le tableur ou une formule donnée en langage du tableur en formule mathématique.
Exemple : Deux colonies U et V d’insectes ont 1000 individus au départ. Par la suite, la colonie U augmente de 100 individus par mois et la colonie V augmente de 6% par mois.
u0 = 1000 et un+1 = un + 100 v0 = 1000 et vn+1 = vn x 100
adapter ces formules aux cellules du tableur ci-contre.
Extrait du manuel Déclic (page128)
M3. Interpréter une formule ou un procédé sur le tableur : il s’agit de préciser ce que signifie une formule donnée du tableur par rapport à la question.
Exemple : Deux villes, Ajou et Multi, ont la même population de 100 000 habitants le 1er janvier
2000. Les statisticiens observent que chaque année, Ajou a 10 000 habitants de plus et que Multi voit sa population augmente de 7%. Expliquer les formules indiquées dans les cellules A, B, et C du tableur pour observer l’évolution des populations.
Extrait du manuel Indice (page 39)
A B C
1 1 100 000 100 000 2 =A1+1 =B1+100000 =C1*1,07
M4. Vérifier par une formule : Il s’agit de contrôler les données affichées dans une feuille de calcul par les calculs faits avec une formule mathématique et vice versa.
Tâches relatives à la lecture de feuille de calcul
La lecture de feuille de calcul est demandée à partir de deux situations : la première situation est celle dans laquelle la feuille de calcul est donnée par la question. La deuxième est celle dans laquelle les élèves construisent d’abord la feuille de calcul en accomplissant les tâches précédentes. Pour la deuxième situation, les tâches pourraient être considérées comme des tâches en environnement du tableur suite à la construction de feuille de calcul. Cependant comme nous prenons en compte chaque tâcheséparément, il nous semble plus pertinent de placer ce type des tâches dans ce groupe.
Nous distinguons cinq types pour ce groupe : M5. Lire des termes d’une suite
M6. Reconnaître le type de suite M7. Reconnaître les variations M8. Comparer les suites
Les quatre premiers types sont déjà définis en environnement de P/C. Nous n’allons pas reprendre ici les mêmes définitions. Cependant, il nous semble nécessaire de souligner encore une fois la différence entre ces deux groupes (celles d’en P/C et celles d’en T) : les types de tâches en environnement M sont accomplis à partir d’une feuille de calcul où les valeurs des résultats des opérations sont affichées. Il s’agit donc pour les élèves d’interpréter ces listes numériques par rapport à la question.
Les quatre premiers types sont déjà définis en environnement de P/C. Nous n’allons pas reprendre ici les mêmes définitions. Cependant, il nous semble nécessaire de souligner encore une fois la différence entre ces deux groupes (celles d’en P/C et celles d’en T) : les types de tâches en environnement M sont accomplis à partir d’une feuille de calcul où les valeurs des résultats des opérations sont affichées. Il s’agit donc pour les élèves d’interpréter ces listes numériques par rapport à la question.
Taches méta23 Taches méta23
10. Préciser un procédé sur le tableur :
10. Préciser un procédé sur le tableur : il s’agit d’expliquer une démarche pour effectuer les calculs demandés sur le tableur.
Exemple : Un tableur donne, dans la colonne A, des valeurs du naturel n à partir de 1 et, dans la colonne B, des termes d’une suite un . comment procéder pour écrire dans la colonne C les termes de la suite v définie par vn = un – 0,2 ?
Extrait du manuel Indice (page41)
M11. Vérifier un résultat : il s’agit d’utiliser les résultats obtenus d’un calcul par le tableur ou en papier/ crayon pour vérifier l’un avec l’autre.
Environnement Papier/Crayon (P/C)
Environnement Tableur (T)
Tâches relatives aux termes de la suite
P/C1.Lire des termes d’une suite P/C2.Calculer les termes d’une suite : a. les premiers termes
b. les termes pour des rangs ‘grands’
Tâches relatives à une formule de la suite
P/C3. Déterminer une formule pour la suite : a. par la formule explicite (u(n) en fonction de n b. par la formule récurrence (u(n+1) en fonction de u(n) )
Tâches relatives à l’étude des variations
P/C4.Reconnaître et justifier le type de croissance P/C5.Reconnaître et justifier le type de suite P/C6.Reconnaître les variations
P/C7.Comparaison des croissances et des suites
Tâches relatives à un calcul
P/C8. Effectuer un calcule sur la suite
Tâches relatives à un changement de registre
P/C9.Représenter graphiquement une suite P/C10.Résoudre une équation algébrique
Tâches relatives aux termes de la suite et à un calcul
T1.Calculer les termes d’une suite
T2.Calculer la somme ou la variation d’une suite ou réaliser un calcul
Tâches relatives à une formule de la suite
T3.Construire une formule du tableur : a. une formule d’une suite
b. une formule pour un calcul