Reconstruction

La méthode de reconstruction de conductivité électrique proposée est destinée à être appliquée sur des mesures de MACE acquises expérimentalement et devrait être validée avec de tels signaux. Néanmoins, durant la phase de développement, l’utilisation de signaux de synthèse en remplacement de signaux réels s’avère toujours très utile pour évaluer ses performances dans des conditions contrôlées. Souvent plus simple à mettre en œuvre que ne le serait le montage expérimental, ceci n’est pas sans soulever certains problèmes que l’analyse de Lionheart (2004) peut permettre d’éviter. Cet auteur expose certains critères à rencontrer pour évaluer correctement la résolution d’un problème inverse à partir de données de synthèse. Selon l’expression consacrée, ne pas rencontrer ces critères donne lieu à commettre un crime de problème inverse1_{. Ceci peut se produire, entre autres, via la représentation des grilles}

des problèmes direct et inverse.

Dans ce qui suit, quatre cas sont examinés, ordonnés par degré de « crime inverse ». Cette organisation permet d’introduire graduellement les sources d’erreurs et d’identifier leur importance dans le résultat final :

– Cas #1 : les valeurs de sensibilité utilisées pour la reconstruction sont celles obtenues par le problème direct électrique, sans tenir compte de la partie acoustique. La recons- truction est faite sur la même grille électrique que celle utilisée pour la résolution du problème direct. Ceci est fait dans le but de montrer la performance et le comportement de la reconstruction dans des conditions quasi idéales ;

– Cas #2 : les valeurs de sensibilité utilisées pour la reconstruction proviennent de l’ex- pression 2.24 et sont calculées à partir des signaux VM ACE_{; la partie acoustique est} prise en compte, les signaux VM ACE _{temporels sont utilisés et leur amplitude à la fré-} quence centrale du transducteur est évaluée. La grille électrique employée pour calculer la sensibilité νref apparaissant dans cette expression 2.24 est la même que celle ayant servi à produire les signaux VM ACE mesurés. La source d’erreur introduite dans ce cas #2 est celle liée aux approximations qui ont mené à l’équation 2.24. Les valeurs de sensibilité ainsi calculées sont donc différentes de celles du premier cas, qui dispose de la sensibilité « exacte ». Nous nous attendons à ce que la conductivité électrique re- construite diffère de celle exacte. Le but ici est de montrer l’ampleur de cette différence provoquée par la formulation approximative de la sensibilité (équation 2.24) ;

– Cas #3 : ce cas simule les conditions où un signal de calibration est disponible. Il est similaire au deuxième pour ce qui est de l’utilisation de l’expression approximant la sensibilité (équation 2.24) et employant les signaux VM ACE mesurés. Pour ce qui est des signaux VM ACE de référence, ils sont calculés avec la grille électrique fine comme si des 1. En anglais, les expressions « inverse crime » ou « inverse problems crimes » sont retrouvées.

signaux de calibration avaient été acquis. Toutefois, la reconstruction est effectuée sur une grille électrique plus grossière. Ces conditions s’approchent de celles qui pourraient être obtenues en pratique et constitue une situation où nous évitons de commettre un « crime inverse » ;

– Cas #4 : ce cas simule les conditions où un signal de calibration n’est pas disponible et que ces données de référence doivent être simulées. Il fait la reconstruction de la conductivité électrique à partir des valeurs de sensibilité obtenues par la formule 2.24, alors que la simulation des signaux de référence se fait sur la grille électrique grossière ; la reconstruction se fait aussi sur la grille électrique grossière. Nous évitons ici de commettre un « crime inverse ».

Selon les besoins des cas #3 et #4, les grilles utilisées pour la reconstruction sont les sui- vantes : grille électrique grossière (figure E.8), grille acoustique grossière (figure E.9) et grille d’intégration grossière (figure E.10).

Pour ce problème, la conductivité électrique de référence a été posée à 1,0 S/m sur tout le domaine. Pour l’utilisation de l’équation 2.24, les valeurs suivantes ont été prises : fréquence

ω de 1,0 MHz, plage temporelle [t0 = 60 µs, tf = 65 µs], KI,mes et KI,ref à 100 × 10−11 Pa−1. Les valeurs des paramètres de reconstruction pour ce problème sont les suivantes : – valeurs a priori des paramètres du modèle (mprior) : 1,0 S/m ;

– valeurs initiales des paramètres du modèle (m0) : 1,0 S/m ;

– écart-type sur les paramètres du modèle (pour la construction de la matrice de cova- riance Cm) : 100 S/m. Aucune covariance entre ces paramètres ;

– écart-type sur les données d de sensibilité (pour la construction de la matrice de cova- riance Cd) : 1 × 10−3× abs(dobs). Aucune covariance entre ces paramètres ;

– écart-type sur la modélisation (pour la construction de la matrice de covariance CT) :

0 V/m3_;

– critère d’arrêt : norme du gradient à atteindre (kγ_nk) : 0,1.

Le choix de très faibles valeurs d’écarts-types sur les données et de très grandes valeurs d’écarts-types sur les paramètres du modèle fait en sorte que la reconstruction est très peu régularisée par l’ajout de l’a priori. Il est donc attendu que la reconstruction atteigne le point où les valeurs des données fournies par le modèle soient presque égales à celles spécifiées comme objectif. Ces circonstances sont choisies dans le présent problème pour montrer les performances de convergence de la reconstruction vers une solution pour laquelle les données n’ont subi l’inclusion d’aucun bruit.

Pour cette méthode, la grille de reconstruction est identique à celle d’acquisition. Pour faire l’interpolation des valeurs de conductivité électrique de la grille de reconstruction à la grille électrique, l’ordre des fonctions d’interpolation a été fixé à 1 (base linéaire de fonctions),

et les fonctions d’agrandissement déterminant la largeur de la fonction noyau pour chacun des points sont posées par :

[ax(xK, yK, zK), ay(xK, yK, zK), az(xK, yK, zK)] =

0, 585 × [dGR_x (xK, yK, zK), dGRy (xK, yK, zK), dGRz (xK, yK, zK)] (5.2) où les dG

• expriment la distance entre les points spécifiée sur la grille G désignée (ici, la grille

de reconstruction) selon la dimension x, y ou z, pour chacune des coordonnées (xK, yK, zK) de la grille électrique. La valeur de 0,585 = 1,17/2 a été choisie à partir de la valeur 1,17 habituellement spécifiée pour l’interpolation avec une base quadratique.

Les valeurs de sensibilité servant à la reconstruction pour chacun des cas de ce pro- blème sont montrées à la figure 5.16. Pour référence, la figure 5.17 montre la distribution de sensibilité pour la conductivité électrique exacte obtenue pour la solution du problème électrostatique sur la grille électrique grossière. La reconstruction effectuée pour chacun de ces cas atteint les valeurs de sensibilité montrées à la figure 5.18. La figure 5.19 présente les distributions reconstruites de conductivité électrique interpolées sur la tranche en z = 0 m. Pour référence, la conductivité électrique exacte sur cette tranche est montrée à la figure 5.20. Les distributions reconstruites sur l’ensemble du volume sont affichées aux figures E.11 à E.14, tandis que l’erreur absolue, soit σreconstruit− σexact, est présentée aux figures E.15 à E.18.

Figure 5.16 Valeurs de sensibilité utilisées pour la reconstruction. Sur ces graphiques, les points sont les échantillons (sur la grille de reconstruction) servant de données objectives. En (a), la surface provient d’une interpolation fine, sur la tranche en z = 0 m, de la sensibilité exacte. Sur les graphiques (b) à (d), une telle interpolation n’est pas possible puisque les valeurs de sensibilité sont obtenues directement à partir des mesures réalisées à ces positions.

Le cas en (c) a des valeurs objectives beaucoup plus élevées que les cas en (a) et en (b) dû à une représentation différente de la grille électrique. Ces valeurs sont près de celles de la figure 5.17. En (d), bien que la même grille électrique qu’en (c) soit utilisée, des valeurs similaires à celles en (a) et en (b) sont obtenues.

Figure 5.17 Valeurs de sensibilité pour la conductivité électrique exacte obtenues par la résolution du problème électrostatique sur la grille électrique grossière. Les points sont les échantillons de cette surface aux coordonnées des points de la grille de reconstruction.

Figure 5.18 Valeurs de sensibilité reconstruites. Tel que décrit à la section 4.3.3, le processus de recons- truction doit calculer la sensibilité, sur la grille électrique, pour la conductivité électrique obtenue à chaque itération. Cette sensibilité est ensuite interpolée sur la grille de reconstruction pour être comparée aux don- nées objectives. Sur ces graphiques, une interpolation fine de la sensibilité est représentée par les surfaces afin d’illustrer la forme générale de la sensibilité reconstruite. Les échantillons de ces surfaces aux coordonnées de la grille de reconstruction sont marqués par les croix noires. Les points roses (affichés sous les croix noires) sont les valeurs objectives (identiques aux valeurs de la figure 5.16).

Ces graphiques montrent que les valeurs de sensibilité interpolées sur la grille de reconstruction, à la fin du processus itératif, sont très près des valeurs objectives et ce, pour les 4 cas présentés.

Figure 5.19Valeurs de conductivité électrique reconstruites. Les points correspondent aux valeurs estimées de conductivité électrique (obtenues sur la grille de reconstruction). Les surfaces montrent les valeurs obtenues à partir de celles sur la grille de reconstruction. Rappelons que l’interpolation est produite par une base linéaire de fonctions.

En (a), la distribution de conductivité électrique estimée est fortement similaire à la distribution exacte. En (b), la distribution surévalue celle exacte dans la région des inclusions gaussiennes. Cette différence est attribuable à la différence de forme de la distribution de sensibilité objective fournie (à la figure 5.16, l’amplitude des rebondissements est significativement plus grande en (b) qu’en (a)). En (c), les valeurs estimées de conductivité électrique sont très similaires à celles obtenues en (b). Cette similitude provient du fait que la distribution de sensibilité objective fournie, bien que différente dans les deux cas, concorde avec la représentation de la grille électrique pour la reconstruction. En (d), la sensibilité fournie en valeurs objectives sous-évalue de manière générale celle attendue selon la représentation de la grille électrique pour la reconstruction. Ainsi, la conductivité électrique estimée est généralement surévaluée.

La racine carrée de l’erreur quadratique, soit qR

Ω(σreconstruit− σexact)

2_{dΩ, est de : (a) 1, 5 × 10}−5_{, (b)}

Le nombre d’itérations requis pour atteindre la convergence souhaitée est généralement faible (environ 6 pour les cas ci-dessus). Ce critère est basé sur la norme maximale permise du gradient pour arrêter le processus itératif. Sur un ordinateur possédant deux processeurs à double cœur fonctionnant à 2,60 GHz, le temps de calcul pour effectuer la reconstruction est de l’ordre de la dizaine de minutes. L’opération la plus exigeante en calculs est l’inversion des 2 × NPGR systèmes linéaires à chacune des itérations servant à la création de la matrice Gn.