Résolution des problèmes électrostatiques

La résolution des problèmes électrostatiques correspond à trouver ϕI (situation I) et ϕL (situation L). Rappelons que ϕI est la distribution de potentiel produite par l’application du courant aux électrodes de source et de puits lorsque les électrodes de mesure sont déconnec- tées, tandis que ϕL _{est la distribution de potentiel produite par l’application d’un courant de} 1 ampère aux électrodes de mesure lorsque les électrodes de source et de puits sont déconnec- tées. Cette résolution se fait sur la grille électrique. Le problème électrique formulé contient autant d’équations que d’inconnues. Les inconnues sont les valeurs ˆϕ associées au potentiel

électrique sur les points de cette grille. Notons toutefois que, puisque la formulation utilisée dans cet exemple contient le renforcement de Kronecker, tel qu’expliqué à la section A.4, les inconnues ˆϕ ont la même valeur que le potentiel électrique ϕ.

À chaque point de la grille est associée une équation à résoudre. Ces équations sont décrites au tableau 5.4.

Dans ce tableau, Γ∆

el correspond à la triangulation de la surface de l’électrode el, com- portant un ensemble de triangles t d’aire ∆St. La première équation pour le domaine de type « Électrode » exprime, sous forme discrétisée, que le courant total passant au travers de la surface de l’électrode est la somme des produits de la densité de courant sur chacun des triangles constituant cette surface avec l’aire du triangle respectif. Dans cette équa- tion, les valeurs de conductivité électrique et de potentiel électrique sont obtenues par :

Figure 5.2Illustration de la géométrie du problème (partie électrique). Il faut noter, en particulier, que les électrodes de mesure font le tour de l’échantillon. : Électrode source. 4 : Électrode puits. _{ : Électrode} mesure suiveuse. × : Électrode mesure inverseuse.

Tableau 5.4 Équations à résoudre selon le domaine d’application (lieu du point associé à l’équation)

Domaine Équation(s)

Intérieur (Ω/Γ) ∇ · (−σi∇ϕi) = 0

Potentiel fixé (Γg) ϕi= V

Isolation électrique (Γisol) (−σi∇ϕi) · n = 0

Électrode (Γel) P t∈Γ∆ el ((−σt∇ϕt) · n)∆St= Iel, i = Γel{1} ϕi+1 = ϕΓel{1}, i = Γel{2}, . . . , Γel{NPel} σt∇ϕt =  P3 i=1σi∇ϕi 

/3, où les points i utilisés sont ceux formant le triangle t. La seconde

forme d’équation pour ce domaine exprime que le potentiel électrique est le même pour tous les points appartenant à cette région.

Pour la résolution de ces problèmes électrostatiques, l’ordre de la base de fonctions pour l’interpolation est de 2 (base quadratique) et les fonctions d’agrandissement déterminant la largeur de la fonction noyau pour chacun des points sont posées par :

[ax(xK, yK, zK), ay(xK, yK, zK), az(xK, yK, zK)] =

1, 17 × [dGJ_x (xK, yK, zK), dGJy (xK, yK, zK), dGJz (xK, yK, zK)] (5.1) où les dG

• expriment la distance entre les points spécifiée sur la grille G désignée (ici, la grille

électrique) selon la dimension x, y ou z, pour chacune des coordonnées (xK, yK, zK) de cette grille.

Figure 5.3 Distribution de conductivité électrique. Sa représentation discrète sur la grille électrique est montrée à la figure E.2.

Les solutions obtenues pour les deux situations sont calculées en 3D. La coupe de ces solutions en z = 0 m est illustrée aux figures 5.4 et 5.5.

Les distributions de densité de courant correspondantes sont illustrées aux figures 5.6 et 5.7. À des fins de visibilité, seule la partie du domaine près de l’électrode de mesure suiveuse est représentée.

Figure 5.4 Solution du problème électrostatique (situation I). Un courant de 10 mA circule entre les électrodes de source et de puits, placées aux extrémités du domaine conducteur. Cette figure trace en élévation la distribution de potentiel au plan z = 0 m. À titre de référence, cette solution sur les points de grille est reproduite à la figure E.3. Les deux plateaux de potentiel, vers les extrémités, sont produits par les électrodes de mesure qui agissent à proximité comme des courts-circuits, créant ainsi des équipotentielles.

Figure 5.5Solution du problème électrostatique (situation L). Un courant de 1 A circule entre les électrodes de mesure. Cette figure trace en élévation la distribution de potentiel au plan z = 0 m. À titre de référence, cette solution sur les points de grille est reproduite à la figure E.4. Les deux plateaux de potentiel, aux extrémités, proviennent du fait que le courant circulant dans les régions correspondantes (c’est-à-dire des électrodes de mesure vers les extrémités du volume conducteur) est pratiquement nul.

Figure 5.6 Densité de courant du problème électrostatique près de l’électrode de mesure suiveuse (situation

I). L’effet « court-circuit » de l’électrode de mesure est manifeste par la forte courbure des lignes de courant.

Puisque la plaque est beaucoup plus mince que la longueur de l’électrode de mesure (selon x), très peu de courant circule dans le volume conducteur au niveau de cette électrode.

Figure 5.7 Densité de courant du problème électrostatique près de l’électrode de mesure suiveuse (situation

Figure 5.8 Sensibilité du problème électrostatique. Cette figure trace en élévation la distribution de sen- sibilité acousto-électrique au plan z = 0 m. À titre de référence, cette solution sur les points de grille est reproduite à la figure E.5. Cette sensibilité est positive dans la région entre les électrodes de mesure car les densités de courant JI et JLy ont la même orientation. En dehors de cette région centrale, la sensibilité est pratiquement nulle car JL est très faible.

5.1.5 Acoustique

Le champ acoustique est produit par un transducteur monoélément, sphérique et concave. La simulation vise à reproduire les caractéristiques du transducteur qui est utilisé dans la partie expérimentale (voir section 3.1.2 pour les détails sur les instruments). Les paramètres de ce transducteur, qui ont été utilisés pour la simulation, sont donnés au tableau 5.5.

Tableau 5.5 Paramètres du transducteur acoustique pour la simulation

Paramètre Valeur

Diamètre de la région active 64,0 mm Distance focale 63,0 mm

La réponse électromécanique REM(t) du transducteur qui a été utilisée pour la simulation provient d’une mesure prise par un hydrophone (Precision Acoustics Ltd., Dorchester, Dor- set, United Kingdom) de 1,0 mm de diamètre placé au foyer du transducteur. Cette réponse électromécanique est tracée à la figure 5.9. Le signal d’excitation E(t) appliqué au transduc- teur est tracé à la figure 5.10. La densité de force fs(t) résultante, obtenue par l’équation 4.4, est tracée à la figure 5.11. L’enveloppe du champ acoustique produit dans ces conditions, sur la tranche centrale de ce transducteur, est montrée à la figure 5.12.

La grille utilisée pour la discrétisation du problème acoustique contient un peu plus de 8100 points distribués régulièrement autour du foyer. Elle est reproduite à la figure E.6.

Le positionnement du transducteur par rapport à la géométrie du problème électrique est illustré à la figure 5.13.