Définition du problème

La géométrie de ce problème est dictée par l’application souhaitée, soit la détection du cancer du sein. Le volume conducteur proposé, présenté à la figure 7.18, est une hémisphère de 135 mm de diamètre, comportant 8 électrodes disposées sur un plan et une électrode de masse placée à la base.

La distribution de plus de 95 000 points répartis sur cette géométrie constitue la grille électrique. À titre de référence, elle est reproduite à la figure E.39.

La distribution de conductivité électrique est montrée à la figure 7.19. Elle est constituée d’un fond homogène à 0,06 S/m où s’ajoute une gaussienne dont les paramètres sont spécifiés au tableau 7.2.

7.2.3 Conditions frontières

Les conditions frontières appliquées pour la résolution des problèmes électrostatiques sont les mêmes que celles du problème multi-électrodes, pour l’ensemble de 4 configurations élec- triques (voir tableaux 6.2 et 6.3).

Figure 7.18 Illustration de la géométrie du problème (partie électrique). Les 9 électrodes sont placées en retrait.

7.2.4 Acoustique

Pour ce problème, le transducteur et les conditions d’excitation sont les mêmes que ceux des derniers problèmes (onde unipolaire).

7.2.5 Signaux résultants (solution du problème direct)

L’ensemble choisi pour l’orientation du transducteur est constitué de trois groupes. La première orientation d’un groupe est obtenue en plaçant la face du transducteur à la coor- donnée Pt = (0 mm, 0 mm, −120 mm), puis en effectuant une rotation de θ1 degrés autour

de la droite yc, passant par le point Pc = (0 mm, 0 mm, −20 mm), suivie d’une rotation de

Tableau 7.2 Définition de la gaussienne pour la distribution de conductivité électrique

A (S/m) xc (mm) yc (mm) zc (mm) ηx (mm) ηy (mm) ηz (mm) 0,25 -12,0 -6,0 -15,0 10,0 10,0 12,0 avec σgauss(x, y, z) =      A e− (x−xc)2 2η2_x − (y−yc)2 2η2_y − (z−zc)2 2η2_z , si (x−xc)2 (3ηx)2 + (y−yc)2 (3ηy)2 + (z−zc)2 (2ηz)2 6 1 0, sinon

Figure 7.19 Distribution de conductivité électrique. Les traits noirs représentent la cavité hémisphérique.

θ2 degrés autour de l’axe z. Les orientations suivantes du groupe sont obtenues par rotations

successives de θ3 degrés autour de l’axe z. Le tableau 7.3 donne les spécifications pour ce

problème. Une représentation de ces 28 orientations est présentée à la figure 7.20.

Tableau 7.3 Spécifications des paramètres de rotation pour les orientations acoustiques Nombre

Groupe # d’orientations θ1 (degrés) θ2 (degrés) θ3 (degrés)

1 4 -15,0 67,50 90,0

2 8 -30,0 45,00 45,0

3 16 -60,0 33,75 22,5

La figure 7.21 présente le signal de MACE pour la configuration électrique #1 avec la première orientation acoustique.

Figure 7.20 Représentation des 28 orientations du transducteur. (a) Groupe #1 : orientations 1 à 4. (b) Groupe #2 : orientations 5 à 12. (c) Groupe #3 : orientations 13 à 28. Pt= (0 mm, 0 mm, −120 mm),

Figure 7.21 Signal de MACE pour la configuration électrique #1 avec la première orientation acoustique. Le signal de MACE obtenu pour une conductivité électrique homogène de 0,06 S/m, correspondant à la valeur de fond de la distribution σ0, est également tracé.

7.2.6 Reconstruction

Pour ce problème, le seul cas examiné est celui où nous évitons de commettre le « crime inverse ». Pour référence, les grilles électrique, acoustique et d’intégration utilisées pour la résolution du problème inverse sont montrées aux figures E.42 à E.44.

La conductivité électrique de référence σ1 a été fixée à 1,0 S/m sur tout le domaine. Pour

l’utilisation de l’équation 2.34, les valeurs suivantes ont été prises : tj = [41, 98 µs, 42, 28 µs, 42, 58 µs, . . . , 77, 68 µs] et KI = 100 × 10−11Pa

−1

. Les orientations acoustiques sont celles décrites plus haut.

Pour ce problème, la grille de reconstruction est une distribution de 2693 points espacés régulièrement. Cette grille est présentée à la figure 7.22. Les conditions d’interpolation sont les mêmes que celles des problèmes précédents (passage de la grille de reconstruction à la grille électrique).

Les valeurs des paramètres de reconstruction pour ce problème sont les suivantes : – valeurs a priori des paramètres du modèle (mprior) : 0,06 S/m ;

– valeurs initiales des paramètres du modèle (m0) : 0,06 S/m ;

– écart-type sur les paramètres du modèle (pour la construction de la matrice de cova- riance Cm) : 0,01 S/m pour les points de la grille de reconstruction en périphérie et à

la base, 0,03 S/m pour les points sur la couche intérieure de ces points (mais non à la base), 0,2 S/m pour les autres points. Aucune covariance entre ces paramètres ;

– écart-type sur les données d de tension électrique (pour la construction de la matrice de covariance Cd) : 1 × 10−6 V. Aucune covariance entre ces paramètres ;

– écart-type sur la modélisation (pour la construction de la matrice de covariance CT) :

0 V ;

– critère d’arrêt : 2 itérations.

Pour ce problème, une résolution par méthode de quasi-Newton a été employée.

Le signal ˜E(t) choisi pour ce problème est un créneau de valeur 5 × 105 s−1, non nul sur une durée de 2 × 10−6 s et débutant à t = 0 s. Ceci est particulièrement important pour ce problème de grand volume (en comparaison à la minceur de la lame acoustique) pour réduire l’erreur de discrétisation tout en permettant de garder un nombre de points raisonnable dans les différentes grilles.

Le processus de reconstruction est limité à 2 itérations car la charge de calculs est très grande (il faut environ une journée de calculs par itération). La distribution de conductivité électrique reconstruite est présentée aux figures 7.23 et 7.24.

Concernant la détection de l’objet, le tableau 7.4 résume les valeurs obtenues pour quel- ques critères définis à la section 6.7 pour la distribution de conductivité électrique reconstruite et celle exacte.

Figure 7.22 Distribution de points de la grille de reconstruction. La géométrie de cette grille s’insère dans celle du problème électrique (presque hémisphérique). Les 2693 points sont distribués régulièrement.

7.2.7 Discussion générale des résultats de ce problème

Les valeurs obtenues pour la position du centre de masse de l’objet estimé sont très bonnes, présentant une erreur absolue de l’ordre du millimètre. La performance est un peu moins bonne pour l’estimation de la taille de l’objet, qui est surévaluée de 41 % pour fseuil = 1/4 et de 24 % pour fseuil = 1/2. La valeur maximale de la conductivité électrique estimée est bien en-dessous de celle exacte (d’au moins 50 %), mais la taille de l’objet estimé est plus grande que celle exacte. C’est pourquoi la réponse en amplitude est significativement

Tableau 7.4 Quantification de la détection de l’objet

σexact σreconstruit

Critère fseuil = 1/4 fseuil = 1/2 fseuil = 1/4 fseuil = 1/2 Réponse en amplitude 1,000 1,000 0,689 0,689 Centre de masse (x) -0,01198 m -0,01198 m -0,01243 m -0,01350 m Centre de masse (y) -0,00598 m -0,00601 m -0,00899 m -0,00807 m Centre de masse (z) -0,01558 m -0,01500 m -0,01508 m -0,01863 m

Résolution 0,332 0,237 0,467 0,293

Déformation de l’objet 0,059 0,074 0,227 0,241

différente de celle exacte, mais ne la sous-évalue que de 31 %. Quant à la déformation de l’objet, il faut d’abord noter qu’elle est non nulle même pour la distribution exacte, car l’objet est une gaussienne ayant différents d’écarts-types selon les trois dimensions ; elle n’a pas une forme parfaitement sphérique. Pour l’objet estimé, tel qu’observable sur la figure 7.23, plusieurs ramifications sont apparentes autour de la région d’intensité maximale, ce qui détériore l’aspect sphérique cherché. Cependant, l’affichage en surfaces de niveau (figure 7.24) permet de mieux apprécier cet aspect sphérique. La présence importante d’oscillations est aussi gênante pour la détection visuelle de l’objet à partir des images de la figure 7.23, mais l’est moins pour la figure 7.24 car les seules surfaces de niveau affichées sont pour des valeurs de conductivité électrique supérieures à celle du fond.

Ces valeurs obtenues des critères de détection sont de bons indicateurs d’une détection réussie de l’objet, particulièrement si nous nous basons sur la position du centre de masse et sur la résolution, qui renseignent respectivement sur la localisation et la taille de l’objet. De plus, cet objet issu de la reconstruction présente une région interne de forme passablement sphérique, qui était la forme à retrouver. Concernant la valeur de réponse en amplitude beaucoup plus faible que celle exacte, une cause possible est l’arrêt prématuré du processus itératif. Il est toutefois possible que, même à convergence de ce processus, cette réponse en amplitude sous-estime la conductivité électrique exacte. Ce comportement est affecté par les conditions imposées pour la reconstruction, dont l’écart-type des paramètres du modèle, jouant un rôle important sur la régularité du processus de convergence et de la solution obtenue.

Il est important de souligner que plusieurs conditions ayant servi à cette reconstruction sont bien meilleures que celles pouvant être attendues en réalité. Par exemple, aucun bruit n’a été ajouté aux signaux et la modélisation géométrique et acoustique sont parfaites (sauf pour ce qui touche à leur représentation sur les différentes grilles). De plus, ce problème a été fait pour une distribution de conductivité électrique simple ; d’autres distributions plus complexes requièrent des grilles plus raffinées faisant augmenter considérablement la tâche de calculs, ce qui était difficilement réalisable pour ce projet. La résolution de ce problème permet, tout de même, de valider la fonctionnalité de la méthode proposée pour ce cas présentant plusieurs difficultés.

Certains des éléments clés ayant permis cette réalisation sont :

– champ acoustique unipolaire, permettant d’obtenir l’information sur l’ensemble du vo- lume à partir d’un petit nombre d’acquisitions ;

– système multi-électrodes, permettant une meilleure distribution spatiale de la sensibilité du système électrique ;

individuellement la variance des paramètres du modèle selon leur position ;

– méthode de résolution numérique adaptée aux géométries concaves, permettant la ré- solution du problème électrostatique avec une stabilité suffisante.

Figure 7.23Distribution de conductivité électrique reconstruite. La colonne de gauche contient les tranches de la conductivité électrique reconstruite. La colonne de droite contient la distribution de conductivité élec- trique exacte pour ces mêmes tranches. Chacune des lignes est pour une tranche. L’objet à détecter n’a pas de frontière bien définie sur la reconstruction, mais sa localisation est bonne.

Figure 7.24 Distribution de conductivité électrique reconstruite (surfaces de niveau). La forme à caractère sphérique de l’objet peut être observée particulièrement par les surfaces de niveau en rouge et en jaune.