Reectance et transmittance d'un lm transparent absorbant . 118

Un transparent non-diusant est composé de deux interfaces planes entourant un milieu non-diusant d'indice de réfraction n1 et l'air (indice n0 = 1). Comme représenté sur la gure 6.5, un faisceau de lumière collimatée arrivant sur l'interface supérieure du transparent est rééchi plusieurs fois à l'intérieur du transparent entre ses deux surfaces. Nous considérons que l'épaisseur du transparent est plus grande que la longueur de cohérence de la source utilisée de sorte qu'aucun eet d'inter-férence ne se produit. Dans le cas d'une lame en verre, les polarisations parallèle et perpendiculaire auraient la même trajectoire mais la réectance angulaire des surfaces pour chacune d'elles serait diérente. Cependant, sans doute à cause du ca-ractère fortement biréfringent des lms plastiques, prendre en compte la polarisation ne modie pas signicativement la précision de prédiction. Nous considérons donc que la lumière est temporellement incohérente et non-polarisée à chaque réexion ou transmission aux interfaces.

En traversant le substrat du transparent, la lumière est atténuée d'un facteur t^{1/ cos θ}1

t (λ) d'après l'équation (4.20), où tt(λ) désigne la transmittance normale du transparent, c'est-à-dire la transmittance dénie pour une faisceau perpendiculaire à la couche, et θ1 l'orientation de la lumière dans le transparent. Comme θ1 = arcsin (sin θ0/n1), nous obtenons :

1 cos θ1 =  1 −^sin 2θ₀ n2 1 1/2 (6.20)

En sommant les contributions des composantes sortant de chaque côté du trans-parent, on obtient ainsi une série géométrique exprimant la réectance spectrale R010(θ0, tt, λ)du transparent et sa transmittance spectrale T010(θ0, tt, λ)pour l'angle d'incidence θ0 considéré : R₀₁₀(θ₀, t_t, λ) = R₀₁(θ₀) + ^T 2 01(θ₀) R₀₁(θ₀) t^{2/ cos θ}1 t (λ) 1 − R2 01(θ0) t^{2/ cos θ}1 t (λ) (6.21) et T₀₁₀(θ₀, t_t, λ) = ^T 2 01(θ₀) t^{1/ cos θ}1 t (λ) 1 − R2 01(θ0) t^{2/ cos θ}1 t (λ) (6.22)

Dans le cas où le transparent est uniformément imprimé avec un colorant (une couche d'encre ou plusieurs couches d'encres superposées), les formules (6.21) et (6.22) restent valides en remplaçant la transmittance normale tt(λ) du transparent

6.3 Modèle pour transparent en réexion et transmission 119 Couche non diffusante (n₁) Air (n₀ = 1) Air (n₀ = 1) θ₀ θ₁ θ₀ t_1/cos θ 1 T₀₁(θ₀)t1/cosθ₁[R₁₀(θ₁)t2/cosθ1]T₁₀(θ₁) T₀₁(θ₀)t1/cosθ1[R₁₀(θ₁)t2/cosθ1]²T₁₀(θ₁) T₁₀(θ₀)t1/cosθ1T₁₀(θ₁) T₀₁(θ₀)R₁₀(θ₁)t2/cosθ1[R₁₀(θ₁)t2/cosθ1]T₁₀(θ₁) T₀₁(θ₀)R₁₀(θ₁)t2/cosθ1T₁₀(θ₁) R₀₁(θ₀) 2 2 2

Figure 6.5  Réexion et transmission de lumière collimatée par une lame non diusante.

non-imprimé par la transmittance normale tk(λ) du transparent imprimé avec ce colorant.

A l'incidence normale, en notant r0 la réectance de l'interface à l'incidence normale donnée par la formule (4.25), on obtient :

R₀₁₀(0, t_k, λ) = r₀+^{(1 − r0)} 2 r₀t2 k(λ) 1 − r2 0t2 k(λ) (6.23) et : T₀₁₀(0, t_k, λ) = ^{(1 − r0)} 2 t_k(λ) 1 − r2 0t2 k(λ) (6.24)

Le transparent n'étant pas diusant, le détecteur placé selon la normale de l'échan-tillon ne capte que le faisceau incident normal à la surface, la lumière oblique étant rééchie ou transmise à côté du détecteur. Ainsi, même lorsque la source lumineuse incidente est diuse, la géométrie de mesure est bien une géométrie bi-directionnelle 0:0(voir remarque chapitre 4, section 4.1 page 77).

La transmittance normale tk(λ)du colorant k peut être déduite de la mesure de R₀₁₀(0, t_k, λ) ou de T010(0, t_k, λ). Cependant, la réectance d'un transparent étant faible (de l'ordre de 0,1), la mesure est plus sensible au bruit et donc moins précise. Dans ce cas, nous privilégions la mesure de T(k)

120 Chap. 6  Modèles spectraux pour imprimés en demi-tons

normale de chaque colorant à partir de la relation (6.24) :

t_k =  (1 − r₀)⁴ + 4r2 0  T₀₁₀^(k)2 1/2 − (1 − r₀)² 2r2 0T₀₁₀^(k) (6.25)

6.3.2 Extension du modèle aux demi-tons

Pour un transparent imprimé en demi-ton, nous n'avons logiquement pas d'eet Yule-Nielsen puisque le support n'est pas diusant. Nous pouvons donc simplement appliquer le modèle de Neugebauer (équation 6.3) en prenant comme réectance (transmittance) pour le colorant k, la réectance R010(0, tk, λ) (respectivement la transmittance T010(0, tk, λ)). Nous obtenons alors pour la réectance :

R₀₁₀(θ₀, a_k, t_k, λ) = 8 X k=1 a_kR₀₁₀(θ₀, t_k, λ) (6.26) et pour la transmittance : T₀₁₀(θ₀, a_k, t_k, λ) = 8 X k=1 a_kT₀₁₀(θ₀, t_k, λ) (6.27) Cependant, nous avons observé expérimentalement qu'un léger phénomène similaire à l'eet Yule-Nielsen se produit, dû à la transition de la lumière d'un colorant à un autre pendant le processus de réexions multiples, notamment lorsque la lumière est légèrement diusée par une encre ou une impureté et devient oblique. Nous propo-sons donc d'appliquer la transformée Yule-Nielsen aux équations (6.26) et (6.27) :

R₀₁₀(θ₀, a_k, t_k, λ) = " 8 X k=1 a_kR^1/n₀₁₀(θ₀, t_k, λ) #n (6.28) et : T₀₁₀(θ₀, a_k, t_k, λ) = " 8 X k=1 a_kT₀₁₀^1/n(θ₀, t_k, λ) #n (6.29)

Comme pour les imprimés sur papier, le paramètre n est généralement diérent en réectance et en transmittance. L'amélioration de la précision de prédiction est montrée dans la table 6.4 du paragraphe 2.4.1.

Jusqu'à présent, nous avons supposé que le transparent et les encres étaient non-diusants. Cependant, en pratique, une faible diusion de lumière par les encres est

6.3 Modèle pour transparent en réexion et transmission 121 perceptible en réexion. Nous pouvons observer sur la gure 6.6 que la réectance d'un transparent imprimé est plus grande que celle du transparent non-imprimé alors qu'elle devrait être plus faible si les encres étaient purement absorbantes. An de tenir compte de la diusion par les encres, nous introduisons une composante supplé-mentaire, notée ρ et supposée lambertienne. Pour simplier l'écriture des équations à suivre, nous ajoutons un coecient multiplicatif K à cette composante, K valant 0 lorsque la diusion est ignorée et 1 lorsqu'elle est prise en compte. Nous supposons également que cette composante diuse est indépendante de la composante direc-tionnelle R010. Nous considérons que le transparent reçoit un ux lambertien ΦA. La

Réflectance 0,20 0,15 0,10 0,05 0 _{400 500 600 700 (nm)}

Figure 6.6  Réectance spectrale d'une couche d'encre imprimée sur un transparent : cyan (ligne en pointillée), magenta (ligne point-trait), jaune (ligne discontinue) et aucune encre (ligne pleine).

partie non-diusante et la partie lambertienne du transparent vont interagir dié-remment avec le ux reçu. Une fraction Kρ (λ) de ΦAest diusée et le ux Kρ (λ) ΦA

est captée par le détecteur. Le ux R010(0, a_k, t_k, λ) Φ_Arééchi par le transparent est également capté par le détecteur. La réectance spectrale du transparent est donnée par :

ˆ

R (λ) = R₀₁₀(0, a_k, t_k, λ) + Kρ (λ) (6.30) A cause de cette faible diusion, nous ne pouvons plus armer que la géo-métrie de mesure est bi-directionelle. Nous devons donc considérer une géogéo-métrie bi-directionnelle pour la composante directionelle, et une géométrie hémisphérique-directionnelle pour la composante diuse. Dans ce cas, seule une fraction 1/π du ux lambertien incident est rééchi pour la composante spéculaire et seule la fraction 1π du ux lambertien rééchi par la composante diuse est capté par le détecteur. En divisant ensuite par la réectance du diuseur parfait, on obtient ˆR. En eectuant

122 Chap. 6  Modèles spectraux pour imprimés en demi-tons

des mesures sans composante spéculaire (géométrie de:8), nous mesurons un fac-teur de réexion qui est égal à la réectance diuse Kρ (λ) avec K = 1 puisque le réecteur considéré ici est Lambertien. Dans le cas d'un imprimé en demi-tons, nous pouvons prédire la réectance diuse ρ (λ) à partir des réectances ρk(λ) mesurées pour les diérents colorants k :

ρ (λ) =

8

X

k=1

a_kρ_k(λ) . (6.31)

L'équation (6.31) suppose implicitement que la contribution de chaque colorant est proportionnelle à son taux de couverture. Nous supposons également que la réectance d'un transparent est la même des deux côtés, ce qui n'est généralement vrai qu'en première approximation. Le principe de retour inverse de la lumière stipule l'égalité entre les réectances mesurées dans les géométries 0◦:d et d:0◦ [Gla95].