Discussions sur l'opérateur de superposition des couleurs

sera discrétisé, il y a donc un ensemble ni de couleur reproductible). Ainsi, ces superpositions fournissent N gamut Gi, i ∈ {1 . . . N} de couleurs superposées qui sont individuellement plus petit que le gamut du système d'impression. La seule certitude du faussaire est l'appartenance de la couleur cible à tous ces gamuts Gi, c'est-à-dire à leur intersection. C'est donc cette intersection qui doit être la plus grande possible an de réduire les chances du faussaire de trouver la couleur cible.

Cette intersection est à maximiser au moment de la construction des collections en optimisant N, d0 et d1. Les deux seuils d0 et d1 limitent le cardinal des deux collections Γ0 et Γ1. Le seuil d0 dénissant la distance entre les shares codant les bits à 0 et ceux à 1, il est évident que cette distance doit être la plus grande possible (qui maximise donc le contraste). Néanmoins, augmenter cette distance implique la diminution de l'intersection des gamuts Giet par conséquent la couleur cible devient plus facile à trouver. La valeur de d0 est donc obtenue par un compromis entre sécurité et contraste (visibilité du message). En ce qui concerne d1, cette distance n'a d'inuence que sur l'uniformité de la couleur codant les bits à 1. En imposant un seuil inférieure à 1, nous nous assurons qu'aucune diérence visuelle n'est perçue sur ces couleurs. Augmenter ou diminuer d1ne limite que la taille de la collection Γ1. Nous devrons quand même choisir N couleurs à imprimer parmi les #Γ1 couleurs de la collection et la probabilité de trouver la couleur cible est inchangée. Quant au paramètre N, qui correspond au nombre de couleurs imprimé sur chaque SI a une importance plus grande. Plus N est grand plus l'intersection des gamuts des superpositions de ces N couleurs avec le gamut du système d'impression diminue, la probabilité de trouver la couleur cible augmente. Par conséquent, la valeur de N doit être la plus faible possible, soit la borne inférieure des collections : N = 2.

Il faut noter que pour des transparents et encres identiques, et pour deux cou-leurs A et B imprimées sur les deux transparents, les coucou-leurs ϕ (A, B) et ϕ (B, A) obtenues par superposition de A sur B et B sur A sont identiques. An de s'assurer que la couleur cible ne soit pas facile à trouver (comme dans ce cas), nous suppo-sons que la couleur cible ne peut pas être obtenue par les couleurs imprimées sur un même SI.

9.4 Discussions sur l'opérateur de superposition des

cou-leurs

L'opérateur de superposition de couleurs, ϕ, modélise la propagation de la lu-mière entre les deux supports imprimés. Nous pouvons exploiter ici les modèles de

180 Chap. 9  Schéma de cryptographie visuelle basé sur le color matching

prédiction des couleurs imprimées en demi-tons développés dans la partie II, chapitre 7).

Tout d'abord, lorsque la superposition met en jeu deux transparents imprimés, observés par dessus avec un éclairage lambertien provenant du dessous, les couleurs imprimées, qui se comportent comme des ltres spectraux, peuvent être décrites par leur transmittance spectrale [voir gure 9.2(a)]. Dans un premier temps, nous supposons que la transmittance de la superposition est donnée par le produit des transmittances de chaque couleur. Dans ce cas, l'opérateur ϕ s'exprime comme :

T_ϕ(A,B)(λ) = T_A(λ) T_B(λ) (9.3)

où TA(λ)et TB(λ)sont les transmittances du transparent imprimé avec les couleurs A et B, respectivement, et Tϕ(A,B)(λ) est la transmittance de la couleur ϕ (A, B) obtenue par la superposition de couleurs A et B. Cette expression suppose que

T_A(λ) Un filtre

Couleur A Couleur A Couleur B Couleur A Air Couleur B

Tϕ_(A,B)(λ) = T_A(λ)T_B(λ)

Deux filtre collés

Deux transparents superposés et séparés par de l’air

T_ϕ(A,B)(λ) = ^TA(λ)T_B(λ)

1 - R_A(λ)R_B(λ)

(a) (b) (c)

Figure 9.2  (a) Transmittance de deux ltres accolés. (b) Transmittance de deux ltres superposés sans tenir compte de l'air entre les transparents. (c) Transmittance de deux transparents superposés avec un ne couche d'air entre eux.

les deux couleurs sont superposées sans changement d'indice entre leurs interfaces comme présenté sur la gure 9.2(b). Cependant lorsque les deux transparents sont superposés, une ne couche d'air est présente entre eux créant ainsi un changement d'indice de réfraction. Dans ce cas, la lumière traversant le premier transparent sera partiellement rééchie et transmise par le deuxième transparent selon les coecients de Fresnel [BWB99]. Un processus de réexions multiples entre les deux transparents

9.4 Discussions sur l'opérateur de superposition des couleurs 181 se produit [voir Fig. 9.2(c)]. La superposition de deux transparents imprimés est donc plus complètement décrite par un modèle en transmittance prenant en compte le processus de réexions multiples. D'après la partie II, l'opérateur, ϕ peut s'exprimer :

T_ϕ(A,B)(λ) = ^{TA(λ) TB(λ)}

1 − R_A(λ) R_B(λ) (9.4) où RA(λ)et RB(λ)sont les réectances des transparents imprimés avec les couleurs A et B respectivement.

Nous pouvons remarquer que l'équation (9.3) est l'approximation à l'ordre zero de l'équation Eq. (9.4), qui est valide dans le cas où le produit RA(λ) R_B(λ) est très petit devant 1. Cette approximation est valable dans le cas à deux transparents imprimés et superposés.

Dans le cas où l'un des supports est un support papier, l'observation se fait usuellement en réexion, l'opérateur ϕ s'exprime dans ce cas (partie II, chapitre 7) :

R_ϕ(A,B)(λ) = R_A(λ) +^{TA(λ) Tin(λ) RB(λ)}

1 − r_i(λ) R_B(λ) (9.5) où RA est la réectance et TA la transmittance imprimé avec la couleur A, RB

la réectance du papier imprimé avec la couleur B. Tin est la transmittance bi-hémisphérique et ri la réectance bi-hémiphérique du transparent.

Une observation en transmission conduit à considérer la superposition d'un trans-parent avec un papier dont la transmittance (chapitre 7) est donnée par :

T_ϕ(A,B)(λ) = ^{TA(λ) Tin(λ)}

1 − r_i(λ) R_B(λ) (9.6) où les divers paramètres sont les mêmes qu'en mode réexion.

Selon les conditions d'observation (réexion, transmission) et les types de sup-ports utilisés (transparents, papier, combinaison des deux), nous pouvons prédire le résultat obtenu pour la superposition de ces supports imprimés en demi-tons. La précision des modèles, impliqués dans les expressions de l'opérateur ϕ de superpo-sition a été décrite dans le chapitre 7. Nous présentons dans le paragraphe suivant les résultats obtenus suite à des superpositions dans le contexte de la CM-VCS en transmission et en réexion.

182 Chap. 9  Schéma de cryptographie visuelle basé sur le color matching