5.4 Domaines de convexit´e
6.1.1 Rappels sur les solveurs simples pour le cas conservatif 135
On introduit tout d’abord une notation. Pour tout couple (Xg, Xd), on notera 4X = Xd− Xg. Consid´erons le syst`eme hyperbolique conservatif suivant :
∂tU + ∂xF(U ) = 0, (6.1)
avec U et F des vecteurs de RN. Habituellement, la premi`ere composante de U est la densit´e ρ qui est positive. Le flux s’exprime sous la forme F = uU +G0
o`u G0 a sa premi`ere composante nulle et u est la vitesse positive. Afin de r´esoudre num´eriquement (6.1), on introduit usuellement la notion de sch´ema de type Godunov. Soit W(x/t, Ug, Ud) une approximation du probl`eme de
Riemann suivant : ∂tU+ ∂xF(U ) = 0, U(x, t = 0) = Ug, si x ≤ 0, Ud, si x > 0.
On supposera que le syst`eme poss`ede un couple entropie-flux (s, q), ce qui signifie qu’il existe une fonction strictement convexe s(U ) et un flux d’entropie q(U ) v´erifiant la relation ∇q = ∇s∇F . On dira qu’une solution U est entropique si elle v´erifie au sens de distributions l’in´egalit´e d’entropie suivante :
∂ts+ ∂xq ≤0. (6.2) D´efinition 1. On dit que W(x/t; Ug, Ud) est consistant avec la forme int´egrale de la loi de conservation (6.1) si et seulement si l’´egalit´e suivante est v´erifi´ee pour τ suffisamment petit :
Z 4x/2 −4x/2
W(x/τ ; Ug, Ud)dx = 4x
2 (Ug+ Ud) − τ 4F . (6.3) On dit que W(x/t; Ug, Ud) est consistant avec la forme int´egrale de l’in´egalit´e d’entropie (6.2) si et seulement si l’in´egalit´e suivante est v´erifi´ee pour τ suf-fisamment petit :
Z 4x/2 −4x/2
W(x/t, Ug, Ud)dx = 4x
2 (s(Ug) + s(Ud)) − τ 4q. (6.4) Etant donn´e un pas d’espace 4x, on consid`ere une approximation (Uni)i,n
de (6.1) constante `a chaque instant tndans chaque intervalle ](i−1/2)4x, (i+ 1/2)4x]. A l’aide du solveur de Riemann W, on peut alors construire la solution `a l’instant tn+1 en utilisant la relation suivante :
Un+1i = 1 4x Z 4x/2 0 W(x/4t; Uni−1, Uni)dx + Z 0 −4x/2 W(x/4t; Uni, Uni+1)dx ! , (6.5) et on sait que si W est consistant avec la forme int´egrale de la loi de conserva-tion (6.1), alors le sch´ema (6.5) est conservatif, i.e., il existe un flux num´erique H tel que
Un+1i = Un i − 4t
De mˆeme, si W est consistant avec l’in´egalit´e d’entropie, alors il existe un flux d’entropie num´erique Q tel que
sn+1i ≤ sni − 4t 4x
Qi+1/2− Qi−1/2. (6.7)
Ceci nous conduit `a la d´efinition suivante :
D´efinition 2. Si le solveur de Riemann W est consistant avec la forme int´egrale de la loi de conservation, alors le sch´ema (6.5) est appel´e sch´ema de type Godunov. On dira alors que W est un solveur de type Godunov. Si le solveur de Riemann W est de plus consistant avec l’in´egalit´e d’en-tropie, alors le sch´ema (6.5) est appel´e sch´ema de type Godunov entro-pique. On dira alors que W est un solveur de type Godunov entroentro-pique.
Dans [Gal00] est introduite la notion de solveur de Riemann simple.
D´efinition 3. On dira que le solveur de Riemann W est simple si et seule-ment si W(x/t) a la structure de la solution d’un probl`eme de Riemann lin´eaire ; i.e W(x/t) est constitu´e de (m + 1) ´etats constants (Wk)k=1,m+1, s´epar´es par des discontinuit´es, avec W1 = Ug et Wm+1 = Ud. Il existe donc des r´eels (λk)k=1,m tels que :
W(x/t) = Ug si x/t < λ1, Uk si λk−1 ≤ x/t < λk pour k = 2, m, Ud si λm ≤ x/t. (6.8)
Le solveur de Riemann simple est donc caract´eris´e par l’application :
(Ug, Ud) → (W, λ) = ((Wk)k=1,m+1,(λk)k=1,m). (6.9)
On le notera alors simplement (W, λ).
Remarque 2. On remarquera que m n’est pas n´ecessairement l’ordre du syst`eme.
Remarque 3. Les sch´emas de Roe, HLL, HLLC fournissent des exemples connus de solveurs simples [Tor97].
Le principal int´erˆet de cette notion est qu’il est extrˆemement facile de caract´eriser un solveur simple. En effet, notons pour toute suite (Xk)k, δXk = Xk+1− Xk. On a le r´esultat suivant :
Proposition 5 ([Gal00]). Un solveur de Riemann simple est de type Godu-nov si et seulement si : 4F = m X k=1 λkδUk. (6.10)
Un solveur de Riemann simple est de type Godunov entropique si et seulement si : 4q ≤ m X k=1 λkδsk. (6.11)
Dans ce cas, le flux est donn´e par :
Hi+1/2 = 1 2(Fi+ Fi+1− m X k=1 |λk|δUk). (6.12)
6.1.2 Rappels sur les solveurs simples pour le cas
non-conservatif
On compl`ete le syst`eme (6.1) par un terme non-conservatif. On obtient le syst`eme hyperbolique non-conservatif suivant :
∂tU + ∂xF(U ) + P (U )∂xB(U ) = 0, (6.13)
avec B un vecteur de RN et P une matrice N × N .
Nous ´etendons maintenant la notion de solveur de Riemann simple aux syst`emes non-conservatifs de la forme (6.13).
D´efinition 4. On dira que W est de type Godunov pour le syst`eme (6.13) s’il est consistant, i.e. si et seulement si il existe une matrice P telle que P(U , U ) = P et v´erifiant la relation
m
X
k=1
λkδUk= 4F + P4B. (6.14)
Dans ce cas, le sch´ema num´erique devient [Gal02] :
Un+1i = Un i − 4t
4x Hi+1/2− Hi−1/2 − 4t
24x (P4B)i−1/2+ (P4B)i+1/2. (6.15)
6.1.3 Liens entre solveurs eul´eriens et solveurs
lagran-giens
Pour d´efinir la forme lagrangienne du syst`eme (6.13), on d´efinit les variables τ = t, m =R ρdx et les vecteurs :
n= (1, 0, . . . , 0)t, U = ρn + U0, V = υn + V0, G= −un + G0. (6.16)
La forme lagrangienne de (6.13) est alors la suivante :
∂τ V + ∂mG(V ) + P (V )∂mB(V ) = 0. (6.17)
Consid´erons un sch´ema de type Godunov pour le syst`eme lagrangien (6.17) et supposons le associ´e `a un solveur de Riemann simple (V, Λ) d´efini par les pentes (Λk)k=1,m et les ´etats interm´ediaires suivants :
WL(m/τ ) = Vg si m/τ < Λ1, Vk si Λk−1 ≤ m/τ < Λk pour k = 2, m, Vd si Λm ≤ m/τ. (6.18)
Puisque le sch´ema associ´e est de type Godunov, il existe P tel que l’on ait la relation suivante
m
X
k=1
ΛkδVk = 4F + P4B. (6.19)
Rappelons ici que la premi`ere ´equation du syst`eme lagrangien a la forme suivante :
∂τυ − ∂mu= 0, (6.20)
qui correspond `a la conservation de la masse en coordonn´ees eul´eriennes :
∂tρ+ ∂xρu= 0. (6.21)
Ceci implique qu’au travers d’un choc de pente Λ, on a la relation de saut :
4u + Λ4υ = 0. (6.22)
Dans la suite on consid´erera des solveurs simples v´erifiant l’analogue discret de (6.20) au travers de chaque changement d’´etat, i.e., on supposera que :
Cette hypoth`ese est naturelle car l’´equation (6.20) est lin´eaire. Soient (a, b) un couple de r´eels conjugu´es, i.e., v´erifiant, a+b = 1, ainsi qu’une suite (Xk)k. On notera alors : Xa,k = aXk+ bXk+1. Soient enfin deux couples (Xg, Xd) et (Yg, Yd) ; alors, on a l’identit´e :
4(XY ) = Xa4Y + Yb4X. (6.24)
En utilisant la notation pr´ec´edente, on note que si (6.23) est v´erifi´e, on a alors pour tout a et tout k :
ua,k+ Λkυa,k = uk+ Λkυk = uk+1+ Λkυk+1. (6.25)
On notera dans ce cas :
λk= ua,k+ Λkυa,k. (6.26)
On remarque en outre que si les quantit´es (υk)k sont positives, alors la suite (λk)k est croissante. Ceci nous am`enera `a consid´erer par la suite l’hypoth`ese suivante :
υk ≥ 0 pour k = 1, m. (6.27)
On construit pour le syst`eme eul´erien (6.13) le solveur de Riemann suivant (U, λ) d´efini par les pentes (λk)k=1,m et les ´etats interm´ediaires ci-dessous :
WE(x/t) = Ug si x/t < λ1, Uk = U (Vk) si λk−1≤ x/t < λk pour k = 2, m, Ud si λm ≤ x/t. (6.28)
On a alors le r´esultat suivant :
Proposition 6 ([Gal02]). Supposons (6.23) et (6.27) v´erifi´ees. Le solveur de Riemann simple lagrangien(V, Λ) (6.18) induit un sch´ema de type Godunov si et seulement si le solveur de Riemann eul´erien (U, λ) (6.28) induit un sch´ema de type Godunov. Dans ce cas, les pentes eul´eriennes (λk)k=1,m s’ex-priment `a partir des pentes lagrangiennes(Λk)k=1,m par la relation (6.26). Les ´etats interm´ediaires eul´eriens sont d´efinis en fonction des ´etats interm´ediaires lagrangiens par Uk = U (Vk), k = 1, m.
Proposition 7 ([Gal02]). Supposons (6.23) et (6.27) v´erifi´ees. Le solveur de Riemann simple lagrangien (6.18) est positif si et seulement si le solveur de Riemann simple eul´erien (6.28) est positif.
En outre, on a le r´esultat suivant permettant de construire facilement des sch´emas entropiques en coordonn´ees eul´eriennes :
Proposition 8 ([Gal02]). Supposons (6.23) et (6.27) v´erifi´ees. Le solveur de Riemann simple lagrangien (6.18) est entropique si et seulement si le solveur de Riemann simple eul´erien (6.28) est entropique.
La condition CFL associ´ee au syst`eme (6.15) pour le syst`eme non-conservatif est 4t ≤ CF L max i 4x 2 maxkλk,i+1/2