2.2 Construction de la discr´etisation spatiale en 1D
2.2.2 Calcul des flux num´eriques et assemblage de la matrice 35
| {z } MB ir u+ 1 D KAXi+1 XiXi+1 −KA −Xi+1 | {z } MB s π, (2.19) o`u MA ir, MA s , MB ir et MB
s sont des sous-matrices de Mir.
Les coefficients des repr´esentations polynomiales ont ainsi ´et´e obtenus dans les cas d’une maille avec et sans interface. Ils tiennent compte des valeurs de la solution num´erique aux noeuds, ainsi que des conditions de saut dans le cas o`u l’interface est pr´esente dans la maille duale.
Remarque : Il est `a noter que dans le cas d’une maille duale irr´eguli`ere, les polynˆomes d´eg´en`erent vers celui d’une maille duale r´eguli`ere dans deux cas particuliers. On se place ici dans l’hypoth`ese o`u les sauts sont nuls donc h= 0 et g = 0 (π = 0).
Le premier cas est celui o`u le mat´eriau du domaine Ω1 est le mˆeme que celui du domaine Ω2, c’est `a dire que KA = KB. Dans ce cas, on obtient simplement α0 = β0 et α1 = β1. De plus, les coefficients de ce polynˆome de cette maille irr´eguli`ere sont ceux de la maille r´eguli`ere par unicit´e. Dans le calcul du polynˆome de la maille r´eguli`ere pr´esent´e pr´ec´edemment, il suffit de consid´erer x0 = xΓ.
Le second cas d´eg´en´er´e est le cas d’une interface qui tend `a quitter la maille duale irr´eguli`ere. Dans la premi`ere situation, Xi (respectivement Xi+1) tend vers 0 (respectivement vers 4x). Le domaine ωB tend `a devenir le domaine ωi+1
2. Les coefficients de uB tendent vers une limite ind´ependante des conductivit´es thermiques KA et KB puisque la limite du terme D est −KB4x. On retrouve le polynˆome d’une maille r´eguli`ere exprim´e avec x0 = xΓ = xi. L’analyse est similaire dans la situation o`u Xi+1 (respectivement Xi) tend vers 0 (respectivement vers −4x).
2.2.2 Calcul des flux num´eriques et assemblage de la
matrice
A partir de ces repr´esentations polynomiales dans chaque maille duale, il est alors possible de calculer analytiquement les flux sur le contour du volume de contrˆole d´efinis par le membre de gauche de l’´equation (2.7a)
− Z ∂ωi K ∇u · ~n dl = −=i+1 2 − =i−1 2 , (2.20)
o`u =i+1 2 = Z ∂ωi∩ω i+ 12 K ∇u · ~n dl, ~n = 1 en 1D. (2.21) =i+1
2 est le flux conservatif qui permet la construction du sch´ema num´erique en fonction des ui, i ∈ {0, ..., N x}, des conditions de saut et du second membre f .
Dans le cas o`u ωi+1
2 est une maille duale r´eguli`ere, on a
=i+1 2 = Ki+1 2 γ1 = Ki+1 2 ui+1− ui 4x , (2.22) avec Ki+1 2 = K1 (respectivement Ki+1 2 = K2) si ωi+1 2 ⊂ Ω1 (respectivement ωi+1 2 ⊂ Ω2).
Dans le cas d’une maille duale irr´eguli`ere ωi+1
2, deux situations sont `a envisager : soit l’interface se trouve dans le volume de contrˆole de la maille i (Γ ⊂ ωi), ou soit l’interface se trouve dans le volume de contrˆole de la maille i+ 1 (Γ ⊂ ωi+1), comme on peut le voir sur la figure Fig. 2.4.
Figure 2.4 – Deux positions possibles Γ1 et Γ2 pour une interface dans la maille duale ωi+1/2 : Γ1 (respectivement Γ2) correspond `a une interface dans le volume de contrˆole de la maille i (respectivement i + 1).
De fa¸con g´en´erale, le flux s’´ecrit
=i+1 2 = Z ∂ωi∩ω i+ 12∩ωA KA ∇uA· ~n dl + Z ∂ωi∩ω i+ 12∩ωB KB ∇uB· ~n dl. (2.23)
Grˆace aux expressions (2.18) et (2.19), dans la premi`ere situation, on a donc =i+1 2 = KB β1 = K BKA D (ui− ui+1) −K BKA D h − KBXi D g, = KB β1 = K BKA D (ui− ui+1) −K BKA D h+K B` D g, (2.24)
tandis que dans le seconde situation, on a
=i+1 2 = KA α1 = K BKA D (ui− ui+1) − K BKA D h − KAXi+1 D g, = KA α1 = K BKA D (ui− ui+1) − K BKA D h − KA(4x − `) D g, (2.25)
en posant ` = xΓ− xi, voir Fig. 2.5 . Dans les deux situations, on identifie une conductivit´e ´equivalente Ki+1
2 = −K
BKA4x
D = K
BKA4x KA(4x − `) + KB`. Il s’agit de la moyenne harmonique des conductivit´es pond´er´ee par la distance des noeuds `a l’interface.
Figure 2.5 – Configuration g´eom´etrique d’une maille duale avec interface : on introduit la distance ` = xΓ− xi pour montrer la continuit´e du sch´ema num´erique en fontion de `.
Remarque : Notons que dans le cas o`u g = 0, que le flux est continue en fonction de la position ` de l’interface, c’est `a dire que pour ` = Xi+1 = −Xi = 4x2 le flux peut ˆetre calcul´e avec l’un ou l’autre des polynˆomes de la maille irr´eguli`ere.
En ce qui concerne le membre de droite de (2.7a), les int´egrales sont ap-proch´ees comme suit
fi = Z ωi f dS = 4x f (xi), si Γ * ωi, |ω1i| f (x1 i) + |ω2i| f (x2 i), si Γ ⊂ ωi, (2.26) Z Γωi g dl = 0, si Γ * ωi, g, si Γ ⊂ ωi, (2.27) o`u |.| signifie la mesure du domaine et x1
i (respectivement x2
i) est l’abcisse du barycentre du domaine ω1i (respectivement ω2i).
Il est possible de construire le sch´ema num´erique v´erifi´e par les noeuds i et i + 1. Dans la situation n°1 de la figure Fig. 2.4, c’est `a dire quand Γ ⊂ ωi∩ ωi+1
2, on obtient pour le noeud i K1K24x K1(4x − `) + K2` | {z } K∗ ui− ui+1 4x + K1 ui− ui−1 4x = fi+ K1K2 K1(4x − `) + K2`h − K2` K1(4x − `) + K2`g+ g, = fi+ K1K2 K1(4x − `) + K2`h+ K1(4x − `) K1(4x − `) + K2`g, (2.28) et pour le noeud i + 1 K2ui+1− ui+2 4x + K1K24x K1(4x − `) + K2` | {z } K∗ ui+1− ui 4x = fi+1− K1K2 K1(4x − `) + K2`h+ K2` K1(4x − `) + K2`g. (2.29)
Dans la situation de l’interface n°2, les sch´emas sont identiques `a ceux pr´esent´es ci-dessus. En effet, dans cette situation seul le membre de droite semble diff´erent du fait de la pr´esence des termes dus au saut de flux (terme en g). Pour la maille i, il vaut
Si = fi+ K1K2 K1(4x − `) + K2`h+ K1(4x − `) K1(4x − `) + K2`g, (2.30) et pour la maille i + 1 Si+1 = fi+1− K1K2 K1(4x − `) + K2`h − K1(4x − `) K1(4x − `) + K2`g+ g, = fi+1− K1K2 K1(4x − `) + K2`h+ K2` K1(4x − `) + K2`g. (2.31)
Ainsi, on constate que le sch´ema num´erique est continu en fonction de `.
La solution num´erique du probl`eme (2.4)-(2.5)-(2.6) est issue de la r´esolution du syst`eme lin´eaire suivant
M U = F (2.32)
o`u M la matrice tridiagonale, U le vecteur des inconnues tel que Uk = ukpour 0 ≤ k ≤ N x, S le vecteur du second membre. Les coefficients de la matrice M sont issus d’un assemblage des sous-matrices Mr, MA
ir ou MB
ir selon les cas. Tandis que dans le second membre, on retrouve les termes associ´es aux int´egrales de f et aux conditions de saut par l’interm´ediaire des coefficients des sous-matrices MA
s et MB s
Ce sch´ema a ´et´e obtenu par [LFK00] par une approche diff´erences finies. La matrice M est sym´etrique et toujours inversible. Il montre que ce sch´ema est d’ordre 2 sur quelques cas tests num´eriques.
Une ´etude analytique a ´et´e r´ealis´ee pour ce schema dans le cas h = g = 0 par [REH97]. Il d´emontre la consistance du sch´ema num´erique ainsi que l’ordre 2 en norme L∞.
2.2.3 Extension de la m´ethode pour imposer des
condi-tions de Dirichlet et de Neumann au bord
Traitement d’une condition de Dirichlet sur Γ. La m´ethode pr´esent´ee pr´ec´edemment a l’avantage majeur d’ˆetre continue par rapport `a la position de l’interface. Nous souhaitons l’´etendre pour le traitement des conditions de bord de type Dirichlet sur un bord captur´e. Le probl`eme se formule comme suit
− ∂x(K∂xu) = f, dans Ω1\ Γ , (2.33) u|Γ = h sur Γ, (2.34) voir Fig. 2.6. Les conditions sur le bord ∂Ω\Γ peuvent ˆetre indiff´eremment des conditions de type Neumann
−K1∇u = q, sur ΓN eumann,
et/ou Dirichlet
u= u, sur ΓDirichlet,
o`u q et u sont des fonctions d´efinies sur ΓN eumann et ΓDirichlet respectivement avec ΓN eumann∪ ΓDirichlet = ∂Ω1\ Γ et ΓN eumann∩ ΓDirichlet = ∅.
Figure 2.6 – Principe du traitement d’une condition de Dirichlet sur Γ : On utilise la solution d’un probl`eme global avec des conditions particuli`eres sur le domaine Ω2(`a droite) pour approcher la solution du probl`eme (2.33)-(2.34) (`a gauche).
La difficult´e principale est d’imposer la condition (2.34) sur Γ, sur une grille cart´esienne avec une m´ethode volumes finis d’ordre 2. Il est possible de r´esoudre le probl`eme (2.33)-(2.34) en s’appuyant sur l’analyse asymptotique suivante.
Soit uε la solution du syst`eme (2.4)-(2.5)-(2.6) avec g = 0 et K2 = K1 ε sur Ω2 o`u ε est un param`etre r´eel non nul de petite valeur. uεest utilis´e pour approcher la solution du probl`eme (2.33)-(2.34) (voir 2.6). Les conditions suivantes sont ajout´es pour les conditions de bord sur le domaine Ω2, ainsi que sur la d´efinition du second membre sur ce mˆeme domaine
uε = 0, sur ∂Ω2\Γ, (2.35) f = 0 sur Ω2. (2.36)
On proc`ede `a une analyse asymptotique de la solution uε quand ε tend vers 0. On d´efinit ci-dessous le developpement asymptotique de uε
uε= uε
1 = uε,01 + εuε,11 sur Ω1, (2.37) uε= uε
2 = uε,02 + εuε,12 sur Ω2, (2.38) o`u uε,kj est l’approximation de uε `a l’ordre k sur le domaine Ωj. Grˆace `a (2.38), (2.36) et (2.4), on obtient `a l’ordre 0
∂xuε,02 = 0, sur Ω2. (2.39)
De plus, (2.6) fournit
car K2 = K1
ε . Les relations (2.40), (2.39) et (2.35) permettent de conclure uε,02 = 0, sur Ω2. (2.41) Finalement, grˆace (2.41) et (2.5), on a
uε,01 = h, sur Γ. (2.42) La r´esolution de l’´equation (2.4) implique
− ∂x· K∂xuε,01 = f, dans Ω1\ Γ. (2.43) On en conclut qu’il est possible de r´esoudre le syst`eme (2.33)-(2.34) par la m´ethode mise au point pour le syst`eme (2.4)-(2.5)-(2.6) avec les hypoth`eses suivantes g = 0, K2 = K1
ε sur Ω2, uε = 0 sur ∂Ω2\Γ et f = 0 sur Ω2.
Afin de r´esoudre num´eriquement le probl`eme (2.33)-(2.34), il reste `a d´efinir le param`etre ε. Pour approcher la solution `a l’ordre 2 il est judicieux de prendre ε= 1 Nx2 .
En introduisant le param`etre ε dans le sch´ema num´erique, dans le cas d’une interface dans la maille duale i +1
2, on a pour expression du flux =i+1 2 = − K14x ε4x+ (1 − ε)` ui− ui+1 4x + K1 ε4x+ (1 − ε)`h, (2.44) o`u ` = xΓ− xi est la distance entre le noeud Pi et l’interface (voir Fig. 2.5). On choisit d’imposer directement ui+1 = 0, c’est `a dire que l’on rapproche de l’interface la condition (2.35). Il s’agit d’une modification locale du stencil de la maille i. En effet, il suffit d’annuler lors de l’assemblage de la matrice le coefficient liant i `a i + 1. On choisit le domaine Ω2 le plus minimal pos-sible, qui correspond `a la maille duale irr´eguli`ere, pour faire le d´eveloppement asymptotique. De cette fa¸con le conditionnement de la matrice globale est am´elior´ee. En effet, au del`a des mailles duales irr´eguli`eres, on peut prendre un coefficient K2 de l’ordre de K1 car du fait de la modification la solution dans le domaine Ω1 per¸coit celle du domaine Ω2 comme ´etant strictement nulle. Avec ou sans cette modification, la m´ethode reste d’ordre 2.
Le flux dans la maille duale i + 1
2 re¸cu par la maille i devient donc =i+1
2 = − K14x
ε4x+ (1 − ε)` ui− h
Dans le cas d’une m´ethode de type cut cell ou diff´erences finies comme celle propos´ee dans [CFGK00] le flux pour imposer u = h sur Γ en tenant compte de la distance par rapport `a l’interface est
=∗i+1
2 = −K1
ui− h
` . (2.46)
On constate que la limite du flux =i+1
2 est =∗
i+12 quand ε tend vers 0. Cepen-dant, il a une singularit´e quand ` −→ 0. Le flux de notre m´ethode (2.45) a pour avantage d’ˆetre continue en ` pour ` ∈ [0, 4x].
Traitement de la condition de Neumann sur Γ. Par une analyse asymptotique similaire `a celle effectu´ee pr´ec´edemment, il est possible de trai-ter le probl`eme suivant
− ∂x· (K∂xu) = f, dans Ω1 \ Γ , (2.47) K1∂nu|Ω
1 = g sur Γ. (2.48) La figure Fig. 2.7 montre sch´ematiquement la d´emarche suivie pour r´esoudre le probl`eme pr´ec´edent. Les conditions sur le bord ∂Ω\Γ peuvent ˆetre in-diff´eremment des conditions de type Neumann
−K1∇u = q, sur ΓN eumann, et/ou Dirichlet
u= u, sur ΓDirichlet,
o`u q et u sont des fonctions d´efinie sur ΓN eumann et ΓDirichlet respectivement avec ΓN eumann∪ ΓDirichlet = ∂Ω1 \ Γ, ΓN eumann∩ ΓDirichlet = ∅. Dans le cas o`u l’on souhaite imposer une condition de Neumann sur le bord Γ, il est n´ecessaire que ΓDirichlet6= ∅ pour que le probl`eme soit solvable.
De fa¸con similaire au cas de la condition de Dirichlet, soit uε la solution du syst`eme (2.4)-(2.5)-(2.6) avec h = 0 et K2 = εK1 sur Ω2 o`u ε est un param`etre r´eel non nul de petite valeur. La solution uε est utilis´ee pour approcher la solution du probl`eme (2.47)-(2.48).
Les conditions suivantes sont ajout´ees pour les conditions de bord sur le domaine Ω2, ainsi que pour la d´efinition du second membre sur ce mˆeme domaine
∂xuε= 0, sur ∂Ω2\Γ, (2.49) f = 0 sur Ω2. (2.50) On proc`ede `a une analyse asymptotique de la solution uε quand ε tend vers 0 comme pour le cas Dirichlet.
Figure 2.7 – Principe du traitement d’une condition de Neumann sur Γ : On utilise la solution d’un probl`eme global avec des conditions particuli`eres sur le domaine Ω2 (`a droite) pour approcher la solution du probl`eme (2.47)-(2.48) (`a gauche).
Grˆace `a (2.38), (2.50) et (2.4), on obtient `a l’ordre 0
M uε,02 = 0, sur Ω2. (2.51) La relation (2.6) fournit K1∂xuε,01 = g sur Γ, (2.52) ∂xuε,11 = ∂xuε,02 sur Γ. (2.53) car K2 = εK1. A partir de (2.5), (2.37) et (2.38) on a uε,01 = uε,02 sur Γ, (2.54) uε,11 = uε,12 sur Γ. (2.55) Ainsi la solution dans le domaine Ω2 ne d´epend que de celle du domaine Ω1 puisque l’on a (2.51), (2.49), (2.50), (2.54) et (2.53). La r´esolution de l’´equation (2.4) implique
− ∂x· K∂xuε,01 = f, dans Ω1\ Γ. (2.56) On en conclut que le syst`eme (2.47)-(2.48) peut ˆetre r´esolu par la m´ethode mise au point pour le syst`eme (2.4)-(2.5)-(2.6) avec les hypoth`eses suivantes : h= 0, K2 = εK1 sur Ω2, ∂uε = 0 sur ∂Ω2\Γ et f = 0 sur Ω2.
De la mˆeme fa¸con que pour le cas Dirichlet, le param`etre ε sera pris comme suit ε= 1 Nx2 .
Du point de vue du sch´ema num´erique, le sch´ema num´erique associ´e `a la maille i pour une interface dans la maille duale i + 1
2 donne K1ε4x (4x − `) + ε` ui− ui+1 4x + K1 ui− ui−1 4x = fi+ (4x − `) (4x − `) + ε`g, (2.57)
Lorsque ε est tr`es petit, ce sch´ema a pour limite le sch´ema que l’on obtient en consid´erant directement =∗
i+12 = g
K1ui− ui−1
4x = fi+ g. (2.58)
Comme pour le cas Dirichlet, les conditions appliqu´ees sur le bord du domaine Ω2 (2.49) sont rapproch´ees de l’interface en imposant dans le cas d’une inter-face dans la maille duale i +1
2 directement lors de l’assemblage de la matrice ui+1= ui+2. Ainsi le domaine Ω1 se dissocie du domaine Ω2 tout en concer-vant la mˆeme m´ethode partout. Ceci permettra d’am´eliorer l’impl´ementation de cette m´ethode en 2D.
En conclusion, la discr´etisation spatiale que nous avons developp´ee per-met de r´esoudre des probl`emes elliptiques avec des conditions de saut sur la solution et son flux au travers d’une interface. Cette m´ethode est d’ordre 2, des r´esultats num´eriques seront pr´esent´es dans la suite. Elle est continue par rapport `a la position de l’interface.
Grˆace `a des modifications l´eg`eres, cette m´ethode permet ´egalement de r´esoudre des probl`emes `a fronti`eres immerg´ees `a l’ordre 2. Nous proposons dans la suite l’extension de cette m´ethode hybride ´el´ements finis - volumes finis en 2D.