6.4 Corrections du solveur de Riemann pour traiter les ´ecoulements
7.1.3 Algorithme de couplage
m[H] = [q] + τg· ~ug. (7.17) Si le flux de masse ˙m est nul, on constate que le flux de conduction du solide est ´egale au flux total du fluide `a la paroi.
Nous avons d´etermin´e les ´equations du probl`eme sur l’interface, ainsi que de part et d’autre de celle-ci. Il faut maintenant d´efinir le processus de r´esolution num´erique pour coupler les deux domaines fluide et solide tout en garantissant les relations de saut `a l’interface.
7.1.3 Algorithme de couplage
Afin de d´efinir un algorithme de couplage, il est n´ecessaire de proc´eder `a une analyse dimensionnelle au pr´ealable pour ´evaluer les ordres de grandeur.
Analyse dimensionnelle ρ∗g, L∗, u∗ g, µ∗ g, C∗ υ,g, K∗ g et a∗
g sont respectivement les param`etres d’adimen-sionnement de la masse volumique ρg, de la longueur caract´eristique, de la vitesse u∗
g, de la viscosit´e µg, de la capacit´e calorifique `a volume constant Cυ,g
et de la conductivit´e thermique K∗
g du fluide. u∗
g est la vitesse de l’´ecoulement `a l’infini. L’´energie totale est adimensionn´ee par a∗2
g et la temp´erature par a∗2g
C∗ υ,g
.
On introduit les nombres sans dimension suivants : Re = ρ
∗ gL∗u∗g µ∗ g le nombre de Reynolds, Pr = µ ∗ gCυ,g∗ K∗ g le nombre de Prandtl, Ma = u ∗ g a∗ g le
nombre de Mach. Le temps caract´eristique de l’´ecoulement est t∗ g = L ∗ u∗ g et
celui de l’interface est t∗ w = L ∗ u∗ w . Posons Υg = t ∗ g t∗ w
. Le temps de r´ef´erence pour l’adimensionnement est t∗ w
qui est le temps caract´eristique du syst`eme complet (solide+fluide+interface). Tous calculs effectu´es, on obtient
Υg ∂ρg ∂t + ∇ · (ρg~ug) = 0, (7.18) Υg ∂ρg~ug ∂t + ∇ · (ρg~u ⊗ ~ug) + 1 Ma2∇Pg = 1 Re∇ · τg, (7.19) Υg ∂ρgEg ∂t + ∇ · (ρgHg~ug) = 1 RePr∇ · (Kg∇Tg) + Ma2 Re ∇ · (τg· ~ug). (7.20) De mˆeme pour le domaine solide, on d´efinit le temps caract´eristique pour le processus thermique t∗ s = L ∗2ρsCυ,s∗ K∗ s . On posant Υs = t ∗ s t∗ w , on obtient Υs ∂ρsEs ∂t − ∇ · (Ks∇Ts) = 0. (7.21) La vitesse d’interface est tr`es faible u∗
w << 1 et la vitesse en amont du domaine est de l’ordre de plusieurs milliers de m`etre par seconde. Or Υg = u
∗ w
u∗ g
, et donc Υg est extrˆemement faible. Par rapport `a la dynamique de l’interface, le domaine fluide peut ˆetre trait´e en stationnaire. Tandis que pour le solide, Υs = u
∗ wKs∗ L∗2ρsC∗
υ,s
n’est pas n´egligeable. Le calcul de la thermique du domaine solide sera trait´e en instationnaire.
Algorithme de r´esolution
Nous allons maintenant d´efinir l’algorithme de couplage du domaine so-lide avec le domaine fluide en utilisant les conditions d’interface. L’analyse dimensionnelle pr´ec´edente a mis en avant la n´ecessit´e de calculer le domaine fluide en stationnaire et le domaine solide en instationnaire. L’algorithme doit prendre en compte cette disparit´e de traitement. La paroi Γ doit ˆetre ´egalement d´eplac´ee au cours du temps en fonction des conditions de saut.
Comme il a ´et´e dit auparavant, on travaille dans des r´egimes o`u la loi d’ablation est dirig´ee par la r´eaction de sublimation (la temp´erature de la paroi est sup´erieure `a 3000K). Cette loi cherche `a retrouver l’´equilibre chi-mique entre les phases gazeuse et solide. Il est donc n´ecessaire que la
re-cherche de l’´etat stationnaire pour le domaine fluide se fasse en ad´equation avec l’´equilibre de r´eaction de sublimation `a la paroi.
Nous proposons l’algorithme de couplage suivant :
1. La premi`ere ´etape consiste `a initialiser les domaines fluide et solide en tout point. La position de la paroi est connue.
2. A partir des champs de pression partielle de C3 connue dans le domaine fluide et de la temp´erature de paroi fournie par le domaine solide, on calcule le flux de masse ˙m en tout point de la paroi grˆace `a la relation de sublimation (7.5).
3. La connaissance du flux de masse ˙m sur Γ d´efinit le champ de vitesse de recul de la paroi par la relation (7.12).
4. L’interface est d´eplac´ee vers sa nouvelle position.
5. On calcule la solution stationnaire du mod`ele Navier-Stokes multi-esp`eces. Le calcul stationnaire est obtenu par convergence en pseudo-temps du mod`ele (7.7). Le processus de recherche de la solution sta-tionnaire est initialis´e avec la solution stasta-tionnaire du pas de temps (temps de couplage) pr´ec´edent.
Les conditions de bord (comme par exemple les caract´eristiques de l’´ecoulement amont) du domaine fluide sont fixes sauf au niveau de la paroi. En ce qui concerne la paroi, le champ de temp´erature de la paroi Tw est fourni par la domaine solide comme condition de Dirichlet sur Γ. Les conditions de bord pour les vitesses, la pression et toutes les quan-tit´es li´ees aux fractions massiques des esp`eces gazeuses sont obtenues grˆace au bilan (7.14). Dans ce bilan, le flux de masse ˙m(PC3, Tw) est alors actualis´e `a chaque it´eration de recherche de la solution station-naire. La temp´erature de la paroi Tw est fixe et la pression partielle PC3
est d´eduite `a partir de l’int´erieur du domaine fluide `a chaque it´eration. Le but ´etant de trouver la solution stationnaire qui garantit l’´equilibre (c’est-`a-dire que les fractions massiques des esp`eces ont converg´es au cours des it´erations en pseudo-temps).
6. On calcule le flux de conduction qs, qui servira de condition de bord pour le domaine solide, grˆace au bilan d’´energie (7.17). Le flux de masse a ´et´e actualis´e `a la suite du calcul stationnaire du domaine fluide. Les autres quantit´es telles que l’enthalpie Hg, le flux qg et les flux vis-queux sont issues de la solution converg´ee du domaine fluide de l’´etape pr´ec´edente.
7. On proc`ede au calcul de la solution instationnaire thermique (7.8) dans le domaine solide `a partir de la solution du pas de temps de couplage pr´ec´edent. Les conditions de bord `a la paroi se r´esument en une condi-tion de Neumann en imposant le flux de conduccondi-tion calcul´e `a partir du bilan d’´energie de l’´etape pr´ec´edente.
8. De la solution du domaine flux, on en d´eduit la temp´erature de paroi pour le pas de couplage suivant.
9. La solution du pas de couplage actuel est d´etermin´ee : on connaˆıt la position de la paroi ainsi que les champs de variables respectifs des domaines fluide et solide. On passe au pas de temps de couplage suivant en retournant `a l’´etape 2 de l’algorithme.
L’algorithme est un algorithme de couplage explicite. Il est possible de coupler plus fortement en it´erant `a chaque pas de temps de couplage des ´etapes 2 `a 8 jusqu’`a convergence des diff´erents champs de variables de chacun des domaines.
On peut noter que le fait d’avoir le flux de masse dans la recherche de la solution du domaine fluide `a temp´erature de paroi fix´ee permet de traiter les domaines ferm´es ´egalement. En effet, la solution dans le domaine ferm´e v´erifie
˙
m= 0 pour la temp´erature Tw fix´ee ce qui est possible avec cet algorithme.