de Stefan
3.2.1 Synth`eses des m´ethodes num´eriques existantes
La solution analytique de ce probl`eme non-lin´eaire n’a ´et´e obtenue que dans des cas tr`es particuliers. Les solutions analytiques s’appliquent lorsque le
milieu ´etudi´e est semi-infini. Le traitement des probl`emes de changement de phase en domaine fini implique le recours au calcul num´erique. Dans le probl`eme de Stefan, les champs de temp´erature ainsi que la position de l’in-terface sont des inconnues. L’existence et l’unicit´e de la solution pour des probl`emes de Stefan ont ´et´e r´ealis´ees dans [Eva51] et dans [Dou57]. Une grande vari´et´e de champs d’application explique l’´elan des recherches pour-suivies depuis de nombreuses ann´ees pour mieux mod´eliser la dynamique de ce processus par exemple dans les domaines de la m´etallurgie ou de la surveillance de la calotte glaci`ere. Du fait de l’abondance des publications scientifiques sur l’approche num´erique du sujet, une revue non-exhaustive de ces travaux est propos´ee dans la suite. Des synth`eses beaucoup plus compl`etes des m´ethodes existantes sont fournies dans [ST09, VST90, DRBS+11, Hu96, CK09].
En m´ecanique des fluides num´erique, il existe deux types de m´ethode pour simuler des ´ecoulements avec choc, d’une part les m´ethodes de shock-capturing qui ne n´ecessitent pas la connaissance explicite de la position de l’interface et les m´ethodes de shock-fitting o`u le choc est utilis´e et cal-cul´e explicitement. Par analogie, nous avons ici pour le probl`eme de Stefan des m´ethodes `a un domaine n’utilisant pas explicitement l’interface, et les m´ethodes dites avec ”suivi de front” qui ont besoin d’une repr´esentation de l’interface.
Dans la premi`ere cat´egorie de m´ethodes pour la r´esolution du probl`eme de Stefan, on ne cherche pas directement la position de l’interface. Il s’agit de m´ethodes o`u l’interface est implicite et la grille est fixe au cours du calcul. La position de l’interface est obtenue indirectement `a partir de l’un des champs de variables du probl`eme d´efini sur l’ensemble de domaine Ω. Un exemple de ce type de m´ethode implicite est la m´ethode enthalpique utilis´ee dans [Vol87, CFC89, Dat92]. Dans cette m´ethode, le champ d’enthalpie est calcul´e sur l’ensemble du domaine Ω au lieu de celui de la temp´erature. Il permet de d´eduire la position de l’interface en rep´erant le saut induit par l’enthalpie de changement de phase (chaleur latente). L’interface dans ce cas est diffuse. D’autre m´ethodes peuvent ˆetre rang´ees dans cette cat´egorie des m´ethodes `a interface implicite comme celle utilis´ees par exemple dans [MR02, MD02, JVVVdZ06, ST09, OG].
Dans la seconde cat´egorie, c’est `a dire les m´ethodes de suivi de front, l’in-terface est explicitement rep´er´ee. Une approche est utilis´ee pour la d´eplacer. L’interface peut ˆetre rep´er´ee grˆace `a des marqueurs (points appartenant `a l’in-terface qui se d´eplacent avec elle) sur une grille cart´esienne fixe, ou grˆace `a une m´ethode de type Level Set sur une grille cart´esienne fixe [GF04, OF03], ou grˆace `a des m´ethodes sur maillages mobiles. Les ´equations (3.1) sont r´esolues s´epar´ement dans la phase liquide et dans la phase solide avec la condition
T = Tf sur Γ(t). La position de l’interface est ensuite calcul´ee en r´esolvant la condition de Stefan (3.3). Dans cette cat´egorie, on retrouve notamment les m´ethodes de type Landau, qui utilisent une tranformation de coordonn´ees entre chaque sous domaine physique mobile (Ωliq et Ωsol) et un domaine de calcul fixe. Par exemple, les m´ethodes `a maillages mobiles, o`u les maillages des sous domaines s’appuient sur l’interface, appartiennent aux m´ethodes de type Landau. Dans ce cas les ´equations (3.1) deviennent des ´equations de transport-diffusion apr`es transformation de coordonn´ees.
La m´ethode que nous avons choisie appartient `a la cat´egorie des m´ethodes de suivi de front explicite. En effet, ce choix nous permet de d´efinir un algo-rithme de r´esolution commun entre la m´ethode sur grille cart´esienne fixe que nous allons utilis´ee dans cette partie (l’interface est captur´ee par la m´ethode Level Set) et la m´ethode sur maillages mobiles qui sera pr´esent´ee dans la derni`ere partie avec prise en compte de l’´ecoulement dans le fluide.
3.2.2 Algorithme de r´esolution du probl`eme de Stefan
L’algorithme d´ecrit dans la suite permet de r´esoudre le probl`eme de Ste-fan `a deux phases au premier ordre en temps. Il s’agit d’un algorithme qui d´ecompose la r´esolution du probl`eme de Stefan en trois grandes ´etapes pour chaque pas de temps.
Tout d’abord, les champs sont initialis´es comme d´ecrit dans la section 3.1. Le champ de temp´erature T (−→x , t) (respectivement l’interface Γ(t)) est donn´e par
T(−→x , t= 0) = T0(−→x) sur Ω
(respectivement Γ(t = 0) = Γ0) au temps t = 0. Soit 4t le temps pas de temps de couplage. Le temps physique de couplage tn correspond `a n4t. L’exposant .n renvoie au temps tn dans la suite de ce chapitre.
La premi`ere ´etape de l’algorithme consiste `a d´eterminer la vitesse de l’in-terface au temps tn+1`a partir de sa position en tnet du champ de temp´erature pris ´egalement en tn. Pour faire cela, on calcule la vitesse −→v n+1 de l’interface grˆace `a la condition de Stefan (3.3). On a donc
[qn] = −ρL−→v(tn+1)· −→nint, sur Γ(tn), (3.5)
o`u [qn] est calcul´e avec les champs au temps tn (voir relation (3.4).
La deuxi`eme ´etape consiste `a d´eplacer l’interface. Avec le champ de vi-tesse, l’interface peut ˆetre advect´ee de sa postion Γ(tn) `a sa position Γ(tn+1). On en d´eduit les sous domaines Ωliq(tn+1) et Ωsol(tn+1).
Dans la derni`ere ´etape, le champ de temp´erature au temps tn+1 est cal-cul´e dans chaque sous domaine Ωliq(tn+1) et Ωsol(tn+1) avec la condition de
Dirichlet pour la temp´erature sur l’interface
T(−→x , t) = Tf, ∀−→x ∈Γ(tn+1). (3.6) Cette condition de Dirichlet d´ecouple les deux sous domaines qui sont r´esolus s´epar´ement. Pour la r´esolution dans chaque sous domaine de l’´equation (3.1), on utilisera la m´ethode mise au point dans le chapitre pr´ec´edent avec quelques am´enagements qui seront d´etaill´es dans la suite.
Avec ces nouveaux champs de temp´eratures au temps tn+1 associ´es `a la position de l’interface, on a compl´etement d´etermin´e la solution du probl`eme de Stefan au temps tn+1. On passe `a la r´esolution du pas de temps sui-vant tn+2 en recommen¸cant `a la premi`ere ´etape et ainsi de suite. Cet al-gorithme, utilis´e dans [CFGK00, OF03], est le plus simple envisageable. Il s’agit d’une r´esolution de probl`eme non-lin´eaire par un algorithme explicite bas´e sur un couplage faible. En effet, il n’y a pas de r´etroaction des champs de temp´erature au temps tn+1 sur la vitesse de d´eplacement ainsi que sur la position de l’interface du temps tn+1. Cet algorithme lin´earise la r´esolution de probl`eme de Stefan.
Dans la section suivante, la m´ethode retenue pour rep´erer et advecter l’interface sera pr´esent´ee. La troisi`eme ´etape du processus de r´esolution du probl`eme de Stefan consiste `a r´esoudre sur chaque sous domaine l’´equation de la chaleur. Cependant, du fait du d´eplacement de l’interface entre les temps tnet tn+1, il y a apparition de nouveaux noeuds dans les sous domaines. Il est n´ecessaire d’apporter une solution pour utiliser la m´ethode pr´esent´ee dans le chapitre pr´ec´edent pour la r´esolution de l’´equation de la chaleur.