Assemblage de la matrice en 2D

A l’aide des repr´esentations polynomiales obtenues pr´ec´edemment, comme dans l’approche en 1D, on calcule analytiquement les gradients de uA et uB :

∇uA(X, Y ) =^{ α1+ α3Y + 2α4X} α₂+ α3X+ 2α4Y  , (2.80a) ∇u^B(X, Y ) =^{ β1+ β3Y + 2β4X} β₂+ β3Y + 2β4Y  . (2.80b)

L’int´egrale du membre de droite de l’´equation (2.60) est alors ´evalu´ee avec (2.80a) et (2.80b) dans chaque maille duale

Z eM s K∇u · ~n_s dl = Z eM s ∩ω_1i,j K^A∇uA· ~n_s dl (2.81) + Z eM s ∩ω_2i,j K^B∇uB· ~n_s dl (2.82) =M1u+ M2π. (2.83)

Dans le cas d’une maille dualle irr´eguli`ere, la matrice M1 est analytiquement d´eduite de MA

ir et de MB

ir. Il en est de mˆeme pour la matrice M2 issue de MA

s et de MB

s . Pour une maille duale r´eguli`ere, M1 est calcul´ee `a partir de Mr et la matrice M2 est nulle. La matrice M1 d´etermine le stencil du sch´ema num´erique pour la discr´etisation de l’´equation elliptique, tandis que M₂ contribue au second membre du sch´ema num´erique.

Pour garantir une r´esolution num´erique `a l’ordre 2 de (2.60), les int´egrales du membre de droite sont ´evalu´ees comme suit

Z

ωi,j

f dS =ω_1i,jf(x1) +ω_2i,jf(x2), (2.84a) Z Γ_ωi,j g dl = ^X M ∈Σi,j g^M₀ l_Γ ωM i,j , (2.84b)

o`u x1 (respectivement x2) est le barycentre de ω1i,j (respectivement ω2i,j) et lΓ_ωM

i,j

la longueur du segment dans le volume de contrˆole ωi,j associ´e `a l’interface de la maille duale M . Le nombre r´eel gM

0 , introduit en (2.84b), est ´egal `a la moyenne de saut de flux le long de l’interface dans la maille duale M.

Les flux associ´es `a chaque maille duale s’appuient que sur les quatre sommets de celle-ci. Ainsi la m´ethode ici pr´esent´ee poss`ede un stencil constant de neuf-points.

Dans le cas particulier o`u le coefficient K est constant et ´egal `a 1 dans tout le domaine, qu’il n’y a pas d’interface et que le maillage est uniforme, 4x = 4y, nous obtenons le sch´ema `a neuf-points suivant pour la discr´etisation de l’op´erateur laplacien − R ωi,j∆u dS = −1 4u_i−1,j+1 −1 2u_i,j+1 −1 4u_i+1,j+1 −1

2ui−1,j +3ui,j −1 2ui+1,j −1 4u_i−1,j−1 −1 2u_i,j−1 −1 4u_i+1,j−1. (2.85)

On observe que la discr´etisation (2.85) est la combinaison de la discr´etisation standard `a cinq-points de l’op´erateur laplacien par une approche volumes-finis et du sch´ema `a cinq-points suivant :

−1 4u_i−1,j+1 −1 4u_i+1,j+1 +ui,j −1 4u_i−1,j−1 −1 4u_i+1,j−1.

L’´equation ´equivalente associ´ee au sch´ema `a cinq points standard est −∆u = ^4x 2 12 ^∂ 4 x4u+ ∂4 y4u
+ O 4x4
, (2.86) tandis que pour notre sch´ema `a neuf-points (2.85), on a

−∆u = ^4x 2 12 ^∂ 4 x4u+ ∂4 y4u+ 3 ∂4 x2y2u
+ O 4x4
. (2.87)

La diff´erence se r´esume dans le terme ^4x

2

4 ^∂

4

x2y2u qui est un terme de diffu-sion, ce qui ne d´et´eriore pas la stabilit´e du sch´ema. La matrice associ´ee est sym´etrique `a diagonale dominante ce qui pr´eserve la positivit´e du sch´ema. Notons que [S¨u03] a prouv´e la stabilit´e ainsi que la convergence num´erique au second ordre pour ce sch´ema sur une grille avec un ratio d’aspect fix´e δ= 4x4y quand le coefficient K est constant.

Cependant dans notre cas g´en´eral avec interface, nous ne sommes pas en mesure de donner une preuve math´ematique de l’ordre et de la stabilit´e de la m´ethode. Comme le confirme [OK06], les configurations diff´erentes de l’interface rendent difficiles les calculs. Dans le cas g´en´eral, la matrice est non sym´etrique sauf dans le cas particulier ou K est constant. Le defaut de sym´etrie est dˆu `a la pr´esence de l’interface dans le domaine. Le ratio du nombre de points concern´es par l’interface Ninterf ace sur le nombre total de points du maillage Ntotal = Nx × N<sub>y</sub> tend vers zero `a mesure que Ntotal

augmente. La matrice tend donc vers une matrice sym´etrique.

Dans la section suivante, nous aborderons l’extension de la m´ethode pour imposer des conditions de Dirichlet et de Neumann au bord du domaine.

Extension de la m´ethode pour imposer des conditions de Dirichlet et Neumann au bord du domaine

La m´ethode pour imposer une condition de Dirichlet et de Neumann sur l’interface est l’extension de celle developp´ee en 1D, voir section 2.2.3. Elle s’appuie sur une analyse asymptotique du probl`eme elliptique g´en´eral (2.4)-(2.5)-(2.6).

Comme pour la m´ethode explicit´ee en 1D, pour imposer la condition de Dirichlet on fait apparaˆıtre un param`etre ε dans le domaine Ω2 associ´e `a des conditions de bord particuli`eres. Dans le cas 2D, ce param`etre est choisi tel que ε=  1 N_x^2, 1 N_y²  .

Dans nos applications, l’interface peut ˆetre relativement complexe (avec des changements de topologie par exemple). Il est pour cela n´ecessaire d’avoir le domaine Ω2 le plus minimal possible. Ainsi les conditions impos´ees sur les bords du domaine Ω2 seront mieux pris en compte. Comme dans l’analyse en 1D, le domaine Ω2 doit ˆetre nul. On propose donc de prendre en compte cela en modifiant le stencil des inconnues du domaine Ω1 dans une bande proche de l’interface (i.e. l’ensemble des points appartenant `a une maille duale irr´eguli`ere, voir Fig. 2.11). Lors de l’assemblage de la matrice globale, pour tous les points du domaine Ω1 proches de l’interface (noeuds verts sur la figure Fig. 2.11), on annule dans leurs stencils les coefficients les liants aux noeuds du domaine Ω2 (noeuds bleus sur la figure Fig. 2.11). Ainsi, vu du domaine Ω1, les inconnues du domaine Ω2 sont per¸cus comme nuls. Les deux domaines sont alors disjoints. On peut donc prendre dans le reste du domaine Ω2 K₂ = K1, ce qui aura pour avantage d’am´eliorer le conditionnement de la matrice globale du sch´ema num´erique.

Figure 2.11 – Modification de stencil pour imposer une condition de Diri-chlet en 2D. L’interface est mat´erialis´ee par le trait rouge, les mailles duales irr´eguli`eres par les rectangles de couleur. Uniquement les noeuds bleus du domaine Ω2 sont `a retirer du stencil des noeuds verts du domaine Ω1 en les consid´erant comme nuls.

Une strat´egie similaire est envisag´ee pour la condition Neumann. Cette fois ci il s’agit d’imposer une condition de flux nul provenant du reste du domaine Ω2 sur l’ensemble des inconnues du domaine Ω2 appartenant `a une maille duale irr´eguli`ere. Il s’agit ici encore d’une modification locale de stencil. Les deux domaines sont alors disjoints `a l’exception des inconnues de Ω2 dans la bande proche de l’interface (voir Fig. 2.12).

Nous avons obtenu la discr´etisation spatiale `a l’ordre deux pour des probl`emes elliptiques `a fronti`eres immerg´ees. Dans la section suivante, nous

Figure 2.12 – Modification de stencil pour imposer une condition de Neu-mann en 2D. L’interface est mat´erialis´ee par le trait rouge, les mailles duales irr´eguli`eres par les rectangles de couleur. Seuls les noeuds rouges du do-maine Ω2 sont `a retirer du stencil des noeuds bleus de ce mˆeme domaine en consid´erant une condition de flux nul.

utiliserons la m´ethode d´ecrite pr´ec´edemment afin de r´esoudre des ´equations paraboliques `a fronti`eres immerg´ees telle que les probl`emes de thermique multi-mat´eriaux.