6.4 Corrections du solveur de Riemann pour traiter les ´ecoulements
6.5.3 Correction Low Mach
Cas test monophasique
Nous proposons de montrer les effets des corrections Low Mach introduites au chapitre pr´ec´edent. Il s’agit d’un cas test propos´e par [Del10]. Le domaine 2D [0, 4] × [0, 1] a sur sa fronti`ere inf´erieure une bosse donn´ee par
y(x) = 0.1[1 − cos((x − 1)π)] in x ∈ [1, 3]
0 sinon .
Le fluide est un gaz parfait : P = ρ(γ − 1)ε = ρCυ(γ − 1)T avec γ = 1.4 et Cυ = 717.5kg−1K−1. L’´etat initial du domaine est d´efini par (P0, h0, u0) avec P0 = 105P a, h0 = ε0+P0
ρ0 = 25kJ kg−1(ce qui implique que ρ0 = 14kg.m−3). Le vecteur vitesse ~u0 = (u0, v0) est tel que u0 est strictement positif. u0 est choisi de sorte que le nombre de mach initial Ma = |u0|
pγP0/ρ0 soit ´egal `a 10−1, ou 10−2, ou 10−3. Le choix des param`etres de l’´etat initial permet d’avoir u0 = 10−2Ma.
Ce calcul Euler est r´ealis´e avec des conditions de paroi sur les bords haut et bas. La condition du bord gauche (x = 0) correspond `a une entr´ee
subsonique utilisant les donn´ees de l’´etat initial. Pour la condition de sortie subsonique du bord droit x = 4, on impose la pression P0.
Le cas test est r´ealis´e sur un maillage 40 × 10. La pression normalis´ee est donn´ee par P − P0
P0
.
Sans correction Low Mach, la solution num´erique ne capte pas la solution incompressible. En effet, la solution num´erique, comme on peut le voir sur la figure pour un nombre de mach de Ma = 10−2 poss`ede des fluctuations de pression de l’ordre de Ma−1. Les fluctuations attendues devraient ˆetre sym´etriques et de l’ordre de Ma−2.
Avec les deux corrections propos´ees au chapitre pr´ec´edent pour le solveur entropique, nous obtenons les r´esultats attendus comme le montre la figure Fig. 6.7. Les solutions convergent vers une approximation raisonnable de la solution incompressible [Mur03]. En effet, les fluctuations sont de l’ordre de l’ordre de Ma−2 et quasi-sym´etriques.
On a ainsi montr´e la n´ecessit´e et aussi l’efficacit´e des corrections low Mach dans la simulation num´erique `a faible nombre de Mach en monophasique. Dans le cas test suivant, on aborde le cas diphasique.
Cas test diphasique
Le cas test low Mach diphasique consid´er´e ici `a ´et´e propos´e dans [Mur03] avec le mod`ele diphasique avec le terme source sur l’´equation de la fraction volumique (4.1). Il s’agit de la remont´ee d’une bulle d’air dans l’eau. Nous nous pla¸cons dans la configuration propos´ee par [Mur03]. Le domaine est un carr´e de 2m de cot´e. La bulle circulaire est initialement de centre (0m, 0.3m) et de rayon R = 0.2. Les lois d’´etats de l’air et de l’eau sont de type stiffened gas avec les param`etres suivants donn´es par le tableau Tab. 6.4. La gravit´e est fix´ee `a g = 9.81m.s−1. Les forces de tension de surface et de viscosit´e ne sont pas consid´er´ees ici. Initialement la bulle est au repos et le champ de pression est hydrostatique.
ρ (kg.m−3) P (P a) γ P∞ (P a) eau 1000 105 4.4 6.0 × 108
air 10 105 1.4 0
Table 6.4 – Donn´ees initiales du cas test diphasique low Mach [Mur03, GM04, Bra07].
Du point de vue num´erique, ce cas test est relativement difficile. En effet, la bulle est initialement au repos, ce qui signifie que le nombre de mach est nul
dans l’ensemble du domaine. Au cours du calcul il va croˆıtre pour atteindre lentement une valeur d’environ 10−1 en fin de calcul. De plus, le rapport de densit´e entre les deux fluides est ´egal `a 1000.
Nous avons utilis´e la correction propos´ee par [TMD+08], pr´esent´ee au cha-pitre pr´ec´edent. Le calcul est men´e avec le sch´ema explicite `a l’ordre un en espace et en temps avec un CFL de 0.45. La figure 6.8 montre les r´esultats du champ de fraction volumique aux instants t=0s, 0.15s, 0.35s, 0.55s, 0.75s, 1.0s sur un maillage de 100 × 100 cellules. La bulle remonte sous l’effet d’une sur-pression `a sa base. Le centre de la bulle remonte plus vite que ses extr´emit´es car la surpression y est plus forte. Il y a formation de deux vortex se mettant `a tourner sur eux-mˆemes. Ils se s´eparent en formant ainsi deux petites bulles. Les r´esultats obtenus sont en accord avec ceux de [Mur03, GM04], voir figure Fig. 6.9, qui utilise une correction low Mach bas´ee sur le pr´econditionnement de type Turkel du syst`eme diphasique avec terme source dans l’´equation d’advection de la fraction volumique 4.1. Nous avons ´egalement constat´e que la correction que nous avons ´elabor´ee en s’inspirant de celle de Rieper, est instable pour ce cas test. Une analyse plus pouss´ee pour connaˆıtre les rai-sons des ces instabilit´es serait n´ecessaire. Nous retiendrons donc la correction propos´ee par [TMD+08] qui a l’avantage d’ˆetre simple et stable.
6.6 Conclusion
Dans ce chapitre, `a partir des travaux de [Gal02, Gal03], nous avons mis au point un solveur de Riemann positif et entropique en s’inspirant des travaux de [Gal02]. Ce solveur approch´e de type Godunov utilise la correspondance entre les formalismes eul´erien et lagrangien. L’´equation d’advection de la fraction volumique est r´esolue sous une forme non-conservative en accord avec la litt´erature afin de pr´eserver les discontinuit´es de contact. On montre que le sch´ema num´erique suivant poss`ede des propri´et´es int´eressantes telles que la positivit´e Un+1i = Uni − 4t 4x Hi+1/2− Hi−1/2 − 4t 24x (P4B)i−1/2+ (P4B)i+1/2, (6.86) o`u Hi+1/2 = 1 2(Fi + Fi+1− Pm k=1|λk|δUk).
Nous avons ´egalement adapt´e des corrections au solveur de Riemann pour traiter des ´ecoulements de type Low Mach. Comme nous travaillons sur des maillages structur´es curvilignes, le passage au 2D se fait naturellement.
Dans ce chapitre, nous avons montr´e `a travers des exp´eriences num´eriques que le sch´ema num´erique mis au point pour le mod`ele diphasique permet de traiter des ´ecoulements faibles ou fortement compressibles.
En ce qui concerne l’implicitation d’un tel sch´ema, nous avons eu recours `a deux variantes pour la lin´earisation. Ces deux voies se distinguent par la fa¸con d’impliciter la partie d´ecentr´ee des flux. La premi`ere voie consiste `a majorer les pentes du solveur pour la partie implicite, ce qui simplifie comme suit la partie d´ecentr´ee |λmax|4U. La partie implicite s’apparente alors au solveur de Rusanov [P´e03]. L’autre voie est l’inplicitation que nous qualifierons de totale. On calcule les jacobiennes de la partie d´ecentr´ee du flux en consid´erant les pentes comme constantes. Pour faciliter les calculs des jacobiennes, nous avons eu recours au moteur de diff´erentiation automatique TAPENADE mis au point par l’´equipe TROPICS de l’INRIA-Sophia-Antipolis (Institut National de Recherche en Informatique et Automatique) [HP04].
Figure 6.4 – Fraction volumique de l’h´elium pour les temps 0.1s, 0.15s, 0.20s et 0.24s pour le cas test bi-dimensionnel avec le sch´ema `a l’ordre 1.
Figure 6.5 – Fraction volumique de l’h´elium pour les temps 0.1s, 0.15s, 0.20s et 0.24s pour le cas test bi-dimensionnel avec le sch´ema `a l’ordre 2.
Figure 6.6 – Isovaleurs de la pression normalis´ee pour Ma = 10−2 pour le solveur entropique sans correction low Mach.
Correction low Mach adapt´ee de [Rie11] Correction low Mach adapt´ee de [TMD+08]
Ma = 10−1 Ma = 10−1
Ma = 10−2 Ma = 10−2
Ma = 10−3 Ma = 10−3
Figure 6.7 – Isovaleurs de la pression normalis´ee pour Ma = 10−1 (haut), Ma = 10−2 (milieu), Ma = 10−3 (bas), avec la correction du solveur entro-pique inspir´ee de [Rie11] (gauche) et de celle de [TMD+08] (droite).
Figure 6.8 – Fraction volumique pour six temps diff´erents 0s, 0.15s, 0.35s, 0.55s, 0.75s et 1s pour le cas de l’ascension d’une bulle d’air dans l’eau sur un maillage de 100 × 100 cellules.
Figure 6.9 – Fraction volumique pour six temps diff´erents 0s, 0.15s, 0.35s, 0.55s, 0.75s et 1s pour le cas de l’ascension d’une bulle d’air dans l’eau sur un maillage de 100×100 cellules pour le syst`eme diphasique 4.1 avec terme source sur l’´equation d’advection de la fraction voumique en utilisant une correction low Mach bas´ee sur le pr´econditionnement de type Turkel [Mur03].
Etude de couplages fluide-solide
Etude num´erique de diff´erents
couplages fluide-solide pour la
rentr´ee atmosph´erique
Les conditions de couplages entre le domaine solide et le domaine fluide sont d´etaill´ees : bilans de masse et d’´energie. En ce basant sur une analyse des temps caract´eristiques, nous proposons des algorithmes pour la r´ealisation de ces couplages. Nous proposons deux exemples permettant d’appr´ehender de fa¸con pr´eliminaire la ph´enom´enologie num´erique des diff´erents couplages.