3.2 Probl` emes d’arbres couvrants multicrit` eres
4.1.5 Rangement par ´ elicitation incr´ ementale
Dans de nombreuses situations, il est utile de connaˆıtre les k meilleures alternatives du probl`eme, par exemple lorsque plusieurs postes sont `a pourvoir au sein d’une entreprise. Quand le profil de pr´ef´erences est parfaitement connu, les alternatives peuvent ˆetre rang´ees de la meilleure `a la plus mauvaise en suivant les scores attribu´es par la m´ethode de vote scorage (ici la m´ethode de Borda). Cependant, dans les situations o`u les pr´ef´erences individuelles ne sont pas connues de mani`ere pr´ecise, les infor-mations pr´ef´erentielles disponibles peuvent ˆetre insuffisantes pour d´eduire le rangement repr´esentant les pr´ef´erences collectives. Dans ces situations, il s’agit de poser des questions aux agents permettant de d´etecter le plus rapidement possible le rangement des alternatives associ´e `a la m´ethode de vote consid´er´ee.
Comme le nombre de rangements possibles est combinatoire, nous proposons de d´eterminer les k meilleures alternatives du probl`eme en utilisant une m´ethode par choix it´er´es (comme dans la Section 2.3.1). Plus pr´ecis´ement, dans notre contexte de vote avec la m´ethode de Borda, nous commen¸cons par engendrer des questions selon la strat´egie M-CSS0 tant que la borne sup´erieure de la valeur mMR est strictement plus grande que z´ero. D`es que ce n’est plus le cas, la proc´edure a en fait d´etect´e la meilleure alternative au sens de Borda et donc celle-ci peut ˆetre plac´ee `a la premi`ere position du rangement final. Cette alternative est ensuite retir´ee de l’ensemble des alternatives3 afin de pouvoir it´erer le processus et d´etecter la seconde meilleure alternative, etc.
Nous pr´esentons maintenant quelques r´esultats exp´erimentaux pour ´evaluer les performances cette m´ethode de rangement incr´emental par choix it´er´es. Dans la figure 4.5, nous donnons le nombre moyen de questions produites par cette m´ethode pour d´eterminer les k meilleures alternatives du probl`eme, avec k variant de 0 `a 10. Nous observons que le coˆut marginal pour identifier l’alternative en position k dans le rangement final diminue lorsque la position k augmente ; autrement dit, il nous faut de moins en moins d’informations pr´ef´erentielles pour trouver la prochaine alternative `a ins´erer dans le rangement final. Par ailleurs, nous voyons que la majeure partie des questions est engendr´ee `a la premi`ere it´eration, c’est-` a-dire lors de la d´etermination de la meilleure alternative ; ceci illustre l’int´erˆet de l’approche incr´ementale pour r´esoudre des probl`emes de rangement.
Figure 4.5 – Performance de la m´ethode de rangement incr´emental par choix it´er´es fond´es sur la strat´egie M-CSS0 et la borne sup´erieure du mMR obtenue par relaxation lin´eaire (20 agents, 5 crit`eres, 30 tests).
3. Cette alternative reste toutefois associ´ee `a des variables binaires de types bz1, bz2, bz3, dans les programmes lin´eaires en nombres entiers que nous utilisons pour calculer les valeurs de PMR (car le score de Borda d’une alternative d´epend de toutes les autres alternatives du probl`eme).
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A pr´esent, nous souhaitons comparer les performances de notre algorithme de rangement incr´emental (nomm´e RI ci-apr`es) avec celles d’autres m´ethodes de rangement. Par exemple, pour d´eterminer le rangement induit par les scores de Borda, nous pouvons envisager une m´ethode en deux phases consistant tout d’abord `a ´eliciter le profil de pr´ef´erences complet puis `a calculer les scores de Borda associ´es au profil de pr´ef´erences ainsi obtenu. Cette premi`ere phase peut ˆetre r´ealis´ee de diff´erentes mani`eres. Nous consid´erons ici les deux m´ethodes suivantes :
• S0 : pour chaque agent, nous d´eterminons le rangement des alternatives selon ses pr´ef´erences individuelles en utilisant un algorithme de tri standard : une question lui est pos´ee par com-paraison effectu´ee durant le d´eroulement de l’algorithme de tri. Cette m´ethode n´ecessite donc O(|X | log2(|X |)) questions par agent.
• S1 : les rangements individuels sont ici d´etermin´es par ´elicitation incr´ementale. Plus pr´ecis´ement, nous utilisons l’approche incr´ementale par choix it´er´es d´edi´ee au cas mono-agent et fond´ee sur la strat´egie CSS (pr´esent´ee en 1.2.4).
Dans la table 4.1, nous donnons le nombre moyen de questions par agent qui a ´et´e n´ecessaire pour identifier les 10 meilleures alternatives. Dans cette table, nous faisons varier n le nombre d’agents, q le nombre de crit`eres ainsi que |X | le nombre d’alternatives du probl`eme. Nous constatons que notre algorithme de rangement incr´emental fond´e sur les scores de Borda est plus performant que les m´ethodes en deux phases S0 et S1 sur toutes les instances consid´er´ees. Notons toutefois que le nombre de questions pos´ees augmente drastiquement avec le nombre de crit`eres du probl`eme.
n |X | q RI S0 S1
10 30 5 43.3 147.2 58.7 10 50 5 43.7 282.2 67.4 100 30 5 51.1 147.2 87.2 10 30 10 93.3 147.2 178.2
Table 4.1 – Comparaison des m´ethodes de rangement sur la base du nombre de questions (30 tests).
Dans cette section, nous nous sommes int´eress´es `a des situations de vote o`u les pr´ef´erences des agents sont mod´elis´ees `a l’aide d’une somme pond´er´ee dont les poids devaient ˆetre pr´ecis´es. Dans ce contexte, nous avons propos´e des algorithmes interactifs permettant de d´eterminer de mani`ere efficace un gagnant n´ecessaire pour la m´ethode Borda ; nous avons aussi propos´e une m´ethode par choix it´er´es fond´ee sur les scores de Borda pour la probl´ematique de rangement. Bien que ces m´ethodes se soient r´ev´el´ees relativement efficaces en pratique, celles-ci deviennent impraticables dans des contextes de vote combinatoire, dans lesquels l’ensemble des alternatives possibles est d´efini implicitement tout en ´etant de tr`es grande taille. En effet, dans ces contextes, il n’est plus envisageable d’´enum´erer toutes les paires d’alternatives (x, y) ∈ X2 pour calculer la valeur mMR(X , Ω) `a partir des valeurs PMR(x, y, Ω). C’est pourquoi nous nous attaquons `a la probl´ematique de vote sur domaine combinatoire en pr´esence de pr´ef´erences incompl`etes dans la sous-section suivante.