Optimisation du crit` ere Minimax Regret par programmation lin´ eaire

Dans cette section, nous notons A_(x,y) l’ensemble constitu´e de tous les ensembles de niveau associ´es aux alternatives x et y (cf. d´efinition 15). Plus formellement, l’ensemble A_(x,y) est d´efini par :

A_(x,y) = {X_(j): j ∈ Q} ∪ {Y_(j): j ∈ Q}

Observons que l’ensemble A_(x,y) contient au plus 2q − 1 ´el´ements et que ces derniers correspondent aux sous-ensembles de crit`eres apparaissant dans la fonction objectif du programme (2.8)-(2.11) ; la fonction objectif de ce programme lin´eaire s’exprime donc toujours avec au plus 2q − 1 variables. Cette simple observation constitue en r´ealit´e le point de d´epart de notre r´eflexion sur la simplification de ce programme : nous allons montrer que, sous certaines hypoth`eses sur la forme des donn´ees stock´ees dans P, toutes les autres variables peuvent ˆetre retir´ees du programme lin´eaire. Plus pr´ecis´ement, nous supposons `a pr´esent que les donn´ees contenues dans l’ensemble P ont toutes ´et´e obtenues en demandant

au d´ecideur de bien vouloir comparer :

• une alternative binaire de type 1A0, A ⊆ Q, repr´esentant une solution fictive avec une utilit´e maximale sur tous les crit`eres dans A et une utilit´e minimale sur tous les crit`eres dans Q\A, • `a un profil d’utilit´e constant de type Λ = (λ, . . . , λ) ∈ [0, 1]^q, repr´esentant une solution fictive

d’utilit´e constante ´egale `a λ sur tous les crit`eres.

Par exemple, pour un probl`eme de d´ecision avec 4 crit`eres (c’est-`a-dire, Q = {1, 2, 3, 4}), nous avons 1A0 = (1, 0, 0, 1) quand A = {1, 4} et 1A0 = (0, 1, 1, 1) lorsque A = {2, 3, 4}. Ces alternatives sont particuli`erement int´eressantes pour notre probl`eme d’optimisation car, pour toute capacit´e v, nous avons :

Ch(1A0, v) = v(A)

pour tout A ⊆ Q, ce r´esultat d´ecoulant directement de la d´efinition 16. `A titre illustratif, pour Q = {1, 2, 3, 4} et A = {1, 4}, nous avons : Ch(1A0, v) = 0 × v(Q) + (0 − 0) × v({1, 3, 4}) + (1 − 0) × v({1, 4}) + (1−1)×v({4}) = v({1, 4}) = v(A), en prenant la permutation des crit`eres (.) d´efinie par (1) = 2, (2) = 3, (3) = 1 et (4) = 4. Les alternatives de type Λ = (λ, . . . , λ) ∈ [0, 1]^q ont, quant `a elles, la particularit´e de v´erifier l’´egalit´e suivante :

Ch(Λ, v) = λ

Ce r´esultat est aussi une cons´equence directe de la d´efinition 16. Par exemple, pour Q = {1, 2, 3, 4} et λ = 0.5, nous obtenons : Ch((0.5, 0.5, 0.5, 0.5), v) = 0.5 × v(Q) + (0.5 − 0.5) × v({2, 3, 4}) + (0.5 − 0.5) × v({3, 4}) + (0.5 − 0.5) × v({4}) = 0.5 × v(Q) = 0.5, quand (.) est l’application identit´e.

Ainsi, `a chaque fois que le syst`eme pose une question au d´ecideur, demandant de comparer une alternative binaire 1A0, A ⊆ Q, `a un profil constant Λ = (λ, . . . , λ) ∈ [0, 1]^q :

• si 1A0 est pr´ef´er´ee `a Λ, alors la r´eponse du d´ecideur se traduit par la contrainte v(A) ≥ λ, • si Λ est pr´ef´er´ee `a 1A0, alors c’est la contrainte v(A) ≤ λ qui doit ˆetre impos´ee.

En cons´equence, si l’ensemble P contient uniquement des donn´ees de la forme (1A0, Λ) et/ou (Λ, 1A0), repr´esentant respectivement les pr´ef´erences observ´ees 1A0 % Λ et Λ % 1A0, alors l’´equation (2.11) peut ˆetre remplac´ee par des contraintes de bornes sur les variables. Pour assurer la compatibilit´e du mod`ele avec l’ensemble P, il suffit en effet de mettre `a jour les bornes d’un intervalle [l_A, u_A] `a chaque fois qu’une donn´ee impliquant l’alternative 1A0 est ins´er´ee dans P ; cet intervalle contient alors toutes les valeurs de v(A) qui sont compatibles avec P. Notons que nous avons n´ecessairement [l_∅, u_∅] = [0, 0] et [lQ, uQ] = [1, 1] par la contrainte de normalisation (cf. ´equation 2.9), et que nous avons initialement [lA, uA] = [0, 1] pour tout A ⊂ Q non vide. Par ailleurs, puisque ΩP∪{(1A0,Λ)} est l’ensemble des capacit´es v ∈ ΩP telles que v(A) ≥ λ et comme les capacit´es sont des fonctions monotones (cf. d´efinition13), nous avons n´ecessairement v(B) ≥ λ pour tout B ⊇ A. De ce fait, nous avons :

Similairement, comme Ω_{P∪{(Λ,1A0)}} est constitu´e des capacit´es v ∈ ΩP telles que v(A) ≤ λ, alors :

ΩP∪{(Λ,1A0)} = ΩP∪{(Λ,1B0):B⊆A}

Ainsi, apr`es chaque question faisant intervenir une alternative binaire 1A0, A ⊂ Q, et un profil constant Λ = (λ, . . . , λ) ∈ [lA, uA]<sup>q</sup>, nous pouvons r´ealiser les mises `a jour suivantes :

• si la donn´ee (1A0, Λ) est ins´er´ee dans P, alors l_B= max{l_B, λ} pour tout B tel que A ⊆ B ⊆ Q, • si la donn´ee (Λ, 1A0) est ins´er´ee dans P, alors u_B = min{u_B, λ} pour tout B ⊆ A.

Il est important de souligner que restreindre les interactions `a ce type de questions est suffisant pour ´eliciter enti`erement les pr´ef´erences du d´ecideur ; en effet, les contraintes induites par ces questions nous permettent d’approcher les valeurs v(A), A ⊆ Q, aussi finement que souhait´e. Par ailleurs, notons que, par construction, nous avons l_A≤ l_B et u_A≤ u_B pour tout A ⊂ B. Cette derni`ere observation va nous permettre d’utiliser le r´esultat suivant :

Proposition 4. Soient [lA, uA], A ⊆ Q, des intervalles d´efinissant les contraintes de borne des variables v_A, A ⊆ Q. Supposons que nous avons l_A ≤ l_B et u_A ≤ u_B pour tout A ⊂ B. Dans ce cas, pour tout A ⊂ 2^Q, le sous-r´eseau des contraintes de monotonie v_A≤ v_B, o`u A, B ∈ A et A ⊂ B, est globalement coh´erent (terme utilis´e par exemple dans [Dechter, 1992]), autrement dit toute instanciation partielle des variables dans {v_A : A ∈ A} satisfaisant les contraintes de borne et de monotonie peut ˆetre ´etendue en une instanciation de toutes les variables v_A, A ⊆ Q, v´erifiant les contraintes de borne et de monotonie.

D´emonstration. Supposons que les in´egalit´es lA ≤ l_B et uA≤ u_B sont vraies pour tous sous-ensembles A ⊂ B ⊆ Q. Soit I une instanciation des variables dans {v_A : A ∈ A} o`u A ⊂ 2<sup>Q</sup>. Supposons que cette instanciation partielle respecte les contraintes suivantes : v<sub>A</sub> ∈ [l<sub>A</sub>, u<sub>A</sub>] pour tout sous-ensemble A ∈ A (contraintes de borne) et vA ≤ v<sub>B</sub> pour tous sous-ensembles A, B ∈ A, A ⊂ B (contraintes de monotonie). Consid´erons `a pr´esent l’extension compl`ete de I d´ecrite ci-dessous :

∀A 6∈ A, v_A= max{l_A, max

A0∈A:A0⊂Av_A0} (2.18)

Nous supposons ici que la valeur max_A0∈A:A0⊂Av_A0 est ´egale `a −∞ lorsque l’ensemble {A<sup>0</sup> ∈ A : A<sup>0</sup>⊂ A} est vide. L’objectif est de montrer que cette instanciation compl`ete v´erifie `a la fois les contraintes de borne et de monotonie.

Contraintes de borne : il s’agit de montrer que nous avons v_A ∈ [l_A, u_A] pour tout A ⊆ Q. Notons que, pour les sous-ensembles A ∈ A, le r´esultat d´ecoule directement de nos hypoth`eses sur I. Pour tout sous-ensemble A 6∈ A, nous avons forc´ement v_A≥ l_A par d´efinition de l’extension de I (cf. l’´equation (2.18)). Pour montrer que nous avons aussi v_A ≤ u_A, rappelons que nous avons u_A0 ≤ u_A pour tout A⁰ ⊂ A. Nous obtenons alors :

v_A= max{l_A, max

A0∈A:A0⊂Av_A0} ≤ max{u_A, max

Contraintes de monotonie : il s’agit cette fois-ci de montrer que l’in´egalit´e v_A≤ v_B est vraie pour tous A ⊂ B ⊆ Q. Pour ce faire, nous distinguons les quatre cas suivants :

• A ∈ A et B ∈ A : nous obtenons directement v_A≤ v_B par d´efinition de l’instanciation I. • A ∈ A et B 6∈ A : puisque A ∈ {B⁰ ∈ A : B⁰ ⊂ B} par d´efinition, alors :

v_A≤ max

B0∈A:B0⊂Bv_B0 ≤ max{l_B, max

B0∈A:B0⊂Bv_B0} = v_B

• A 6∈ A et B ∈ A : consid´erons un sous-ensemble A⁰ ⊂ A avec A⁰ ∈ A (si un tel sous-ensemble existe). Puisque A ⊂ B, nous avons aussi A⁰ ⊂ B. Comme A⁰ et B sont deux ´el´ements de A, nous d´eduisons v_A0 ≤ v_B par d´efinition de I. Pour obtenir le r´esultat d´esir´e, il suffit finalement d’´ecrire l’expression de vAselon l’´equation (2.18) :

v_A= max{l_A, max

A0∈A:A0⊂Av_A0} ≤ max{l_B, v_B} = v_B

• A 6∈ A et B 6∈ A : puisque A ⊂ B, nous avons l_A≤ l_B par hypoth`ese. Par ailleurs, comme A ⊂ B, nous avons aussi {A⁰ ∈ A : A0 ⊂ A} ⊆ {B0∈ A : B0 ⊂ B}. Par cons´equent, en utilisant l’´equation (2.18), nous obtenons :

vA= max{lA, max

A0∈A:A0⊂AvA0] ≤ max{lB, max

B0∈A:B0⊂BvB0} = v_B

Ainsi, nous avons construit une instanciation de toutes les variables qui ´etend l’instanciation I tout en satisfaisant les contraintes de borne et de monotonie.

Puisque les sous-ensembles de A_(x,y) sont les seuls qui apparaissent dans la fonction objectif du programme (2.8)-(2.11), alors en appliquant la proposition 4 `a l’ensemble A = A<sub>(x,y)</sub>, nous savons que PMR(x, y, ΩP) peut ˆetre obtenu en consid´erant uniquement les contraintes de monotonie impliquant les variables v<sub>A</sub>, A ∈ A<sub>(x,y)</sub>. Ce r´esultat nous permet de calculer PMR(x, y, ΩP) de mani`ere exacte en utilisant un solveur pour r´esoudre le programme lin´eaire (plus simple) suivant :

max v q X j=1  y_(j)− y_(j−1) v_Y(j)−x_(j)− x_(j−1) v_X(j)^ (2.19) s.c. v_X(j+1) ≤ v_X (j), ∀j ∈ {1, . . . , q − 1} (2.20) (LP₁) v_Y(j+1)≤ v_Y(j), ∀j ∈ {1, . . . , q − 1} (2.21) vX_(j) ≤ v_Y(k), ∀j, k ∈ Q : X_(j)⊂ Y_(k) (2.22) vY_(j) ≤ v_X(k), ∀j, k ∈ Q : Y_(j)⊂ X_(k) (2.23) lX_(j) ≤ v_X(j) ≤ u_X(j), ∀j ∈ Q (2.24) l_Y(j) ≤ v_Y(j) ≤ u_Y(j), ∀j ∈ Q (2.25)

de monotonie et de pr´ef´erences. Le programme LP1 comprend au plus 2q − 1 variables (au lieu de 2^q) et seulement un nombre quadratique de contraintes (au lieu d’un nombre exponentiel).

Le programme lin´eaire LP₁peut en r´ealit´e ˆetre davantage simplifi´e, de sorte `a obtenir une formulation ne faisant intervenir qu’un nombre lin´eaire de contraintes. Pour le montrer, nous notons cAle coefficient de la variable de d´ecision v_A, A ∈ A_(x,y), dans la fonction objectif du programme LP₁. Cette fonction peut donc s’´ecrireP

A∈A_(x,y)c_Av_Ao`u :

c_A= −(x_(j)− x_(j−1)) ≤ 0, si A = X_(j) et A 6= Y_(j)pour un certain j ∈ Q, cA= y_(j)− y_(j−1)≥ 0, si A 6= X_(j) et A = Y_(j) pour un certain j ∈ Q,

cA= y_(j)− y_(j−1)− (x_(j)− x_(j−1)), si A = X_(j) et A = Y_(j) pour un certain j ∈ Q.

Remarquons que nous ne pouvons pas avoir X_(j) = Y_(k) avec j 6= k puisque ces deux ensembles de niveau auraient dans ce cas des cardinalit´es diff´erentes. Notons par ailleurs que toutes les variables vA, A ∈ A_(x,y), telles que cA = 0 n’ont en r´ealit´e aucun impact sur la fonction objectif (2.19). Par cons´equent, en utilisant la proposition4, nous pouvons retirer toutes ces variables du programme lin´eaire pour obtenir une formulation plus simple. Cependant, pour all´eger la pr´esentation des r´esultats qui vont suivre, nous supposons `a pr´esent que cA6= 0 pour tout A ∈ A_(x,y).¹

Tout d’abord, nous souhaitons montrer que l’´equation (2.22) peut ˆetre enlev´ee du programme LP₁car celle-ci engendre des redondances. Notons LP⁰₁ le programme lin´eaire obtenu en retirant cette ´equation du programme LP₁. La proposition suivante va nous permettre d’´etablir le r´esultat d´esir´e :

Proposition 5. Soit v une solution optimale de LP⁰₁. Pour tout A ∈ A_(x,y) tel que c_A> 0, nous avons :

v_A= min{u_A, min

A0∈P a(A)v_A0} (2.26)

o`u P a(A) = {A⁰∈ A_(x,y): A⁰ ⊃ A et c_A0 < 0} est l’ensemble des “parents n´egatifs” de l’ensemble A.

D´emonstration. Soit v^∗ une solution optimale du programme LP⁰₁. Supposons que v^∗ ne v´erifie pas l’´equation (2.26) pour au moins un ensemble A ∈ A_(x,y) tel que cA> 0. Soit ˆv la solution d´efinie par :

• ˆvA= v^∗_A pour tout A ∈ A_(x,y) tel que cA< 0. • ˆv_A= min{u_A, min

A0∈P a(A)vˆ_A0} pour tout A ∈ A_(x,y) tel que c_A> 0.

Par construction, la solution ˆv v´erifie l’´equation (2.26) pour tout A ∈ A_(x,y) tel que c_A > 0. Notre objectif est de montrer que ˆv est aussi une solution r´ealisable du programme LP⁰₁ et que ˆv est strictement meilleure que la solution v^∗ (ce qui soul`eve une contradiction).

Pour prouver que ˆv est une solution r´ealisable de LP⁰₁, nous devons montrer que la solution ˆv v´erifie les ´equations (2.20), (2.21), (2.23), (2.24) et (2.25) :

1. Dans le cas contraire, tous les r´esultats ´etablis dans cette sous-section peuvent ˆetre obtenus en restreignant A(x,y)aux ensembles A tels que cA6= 0 et en utilisant les mˆemes arguments sur cette version simplifi´ee du programme.

• ´Equation (2.20) : soient A, B ∈ A_(x,y) tels que A ⊂ B, c_A < 0 et c_B < 0. Nous voulons montrer que l’in´egalit´e ˆvA ≤ ˆvB est forc´ement vraie. Puisque A ⊂ B et v^∗ est une solution r´ealisable de LP⁰₁, alors nous avons v^∗_A≤ v∗

Bpar l’´equation (2.20). Comme par ailleurs nous ˆv_A= v_A^∗ et ˆv_B = v_B^∗ par d´efinition de ˆv, alors nous avons bien ˆvA≤ ˆvB.

• ´Equation (2.21) : soient A, B ∈ A_(x,y) tels que A ⊂ B, cA > 0 et cB > 0. Il s’agit de montrer que l’in´egalit´e ˆv_A ≤ ˆv_B est v´erifi´ee. Comme A ⊂ B, alors nous avons u_A ≤ u_B par hypoth`ese et P a(B) ⊆ P a(A) par d´efinition. Par ailleurs, puisque ˆv v´erifie l’´equation (2.26) pour tout X ∈ A_(x,y) tel que cX > 0, alors nous avons :

ˆ

v_A= min{u_A, min

A0∈P a(A)vˆ_A0} ≤ min{u_B, min

B0∈P a(B)ˆv_B0} = ˆv_B

• ´Equation (2.23) : soient A, B ∈ A_(x,y) tels que A ⊂ B, c_A> 0 et c_B < 0. Montrons que ˆv_A≤ ˆv_B est vraie. Comme B ⊃ A, alors B ∈ P a(A) par d´efinition de P a(A). En utilisant l’´equation (2.26), nous obtenons donc :

ˆ

v_A= min{u_A, min

A0∈P a(A)ˆv_A0} ≤ min{u_A, ˆv_B} ≤ ˆv_B

• ´Equations (2.24) et (2.25) : nous devons montrer que les in´egalit´es lA≤ ˆvA≤ u_Asont vraies pour tout A ∈ A_(x,y). Remarquons que, pour tout A ∈ A_(x,y) tel que c_A< 0, nous avons n´ecessairement lA≤ ˆvA ≤ u_A puisque ˆvA = v_A^∗ et v^∗ est une solution r´ealisable. Soit A ∈ A_(x,y) tel que cA> 0. Par d´efinition, nous avons ˆv_A ≤ u_A (cf. ´equation (2.26)) est vraie. Par cons´equent, nous avons juste `a montrer que ˆv_A≥ l_A. Puisque l_A0 ≥ l_Apour tout A⁰ ∈ P a(A), nous obtenons finalement :

ˆ

vA= min{uA, min

A0∈P a(A)vˆ_A0} ≥ min{l_A, min

A0∈P a(A)l_A0} ≥ l_A

Ainsi, ˆv est bien une solution r´ealisable du programme LP⁰₁. Montrons maintenant que ˆv est stricte-ment meilleure que v^∗. En d’autres termes, il s’agit de d´emontrer que l’in´egalit´e suivante est v´erifi´ee :

X

A∈A_(x,y)

c_Avˆ_A> ^X

A∈A_(x,y)

c_Av^∗_A

Comme v^∗_A= ˆvA pour tout A ∈ A_(x,y) tel que cA< 0, alors il suffit de montrer :

• v^∗_A≤ ˆvA pour tout A ∈ A_(x,y) tel que cA> 0,

• v^∗_A< ˆv_A pour au moins un ensemble A ∈ A_(x,y) tel que c_A> 0.

Notons que nous avons forc´ement v^∗_A≤ u_A(par l’´equation (2.25)) et v_A^∗ ≤ min_A0∈P a(A)v_A^∗0 (par l’´equation (2.23)) puisque v^∗est une solution r´ealisable ; par cons´equent, nous avons v_A^∗ ≤ min{u_A, min_A0∈P a(A)v_A^∗0}. Comme par ailleurs v_A^∗0 = ˆv_A0 pour tout A⁰∈ P a(A), alors nous obtenons :

v_A^∗ ≤ min{u_A, min

A0∈P a(A)v_A^∗0} = min{u_A, min

Observons que la premi`ere in´egalit´e est stricte si l’´equation (2.26) n’est pas v´erifi´ee. Comme il existe bel et bien un sous-ensemble A ∈ A<sub>(x,y)</sub>, cA> 0, tel que cette ´equation n’est pas satisfaite (par d´efinition de v<sup>∗</sup>), alors nous concluons que la solution ˆv est strictement meilleure que la solution v<sup>∗</sup>; cette conclusion contredit nos hypoth`eses initiales.

Cette proposition, donnant une condition n´ecessaire d’optimalit´e, nous permet de d´emontrer le r´esultat suivant :

Proposition 6. Toute solution optimale de LP⁰₁ est une solution optimale de LP1.

D´emonstration. Soit v une solution optimale du programme LP⁰₁. Nous devons montrer que la solution v v´erifie l’´equation (2.22) : il s’agit de prouver que nous avons n´ecessairement v_X(j) ≤ v_Y(k) pour tous j, k ∈ Q tels que X_(j) ⊂ Y_(k). Puisque cY_(k) > 0, alors vY_(k) = min{uvY(k), min_{A∈P a(Y(k))}vA} d’apr`es la proposition5. Nous distinguons alors les deux cas suivants :

• v_Y

(k) = u_Y(k) : dans ce cas, puisque X_(j) ⊂ Y_(k), alors u_X(j) ≤ u_Y

(k). Par ailleurs, nous avons v_X(j) ≤ u_X(j) par l’´equation (2.24). Par cons´equent :

vX_(j) ≤ u_X(j) ≤ u_Y(k) = vY_(k)

• v_Y(k) = min_{A∈P a(Y(k))}v_A : si P a(Y_(k)) = ∅, alors v_Y(k) = u_Y(k) et donc le r´esultat peut ˆetre obtenu comme dans le cas pr´ec´edent. Dans le cas contraire, remarquons que nous avons forc´ement P a(Y_(k)) ⊆ {A ∈ A_(x,y) : c_A < 0} ⊆ {X_(l) : l ∈ Q}. Par cons´equent, il existe l ∈ Q tel que v_Y(k) = min_{A∈P a(Y(k))}v_A = v_X(l). Par ailleurs, puisque X_(j) ⊂ Y_(k) (par hypoth`ese) et que Y_(k)⊂ X_(l)(par d´efinition de P a(Y_(k))), alors nous avons X_(j)⊂ X_(l)par transitivit´e de l’inclusion. Enfin, comme v v´erifie l’´equation (2.20), alors nous en d´eduisons :

v_X(j) ≤ v_X(l) = v_Y(k)

Cette proposition nous permet de conclure que l’´equation (2.22) n’est pas n´ecessaire pour d´eterminer la solution optimale du programme LP₁. En r´ealit´e, nous pouvons encore retirer des contraintes de ce programme lin´eaire. Plus pr´ecis´ement, certaines contraintes correspondant `a l’´equation (2.23) ne sont pas utiles. En effet, s’il existe j, k ∈ Q tels que Y_(j) ⊂ X_(k), alors nous avons aussi Y_(j) ⊂ X_(l) pour tout l ∈ {1, . . . , k − 1} car les ensembles de niveau de x forment une s´equence emboˆıt´ee. Par cons´equent, il existe des redondances entre les ´equations (2.23) et (2.20). Pour les ´eviter, il suffit d’imposer vY_(j) ≤ v_X(k) uniquement lorsque Y_(j)⊂ X_(k) et Y_(j) 6⊆ X_(k+1). Par ailleurs, nous avons Y_(l)⊂ X_(k) pour tout l ∈ {j + 1, . . . , q}, car les ensembles de niveau de y forment eux aussi une s´equence emboˆıt´ee ; ceci provoque une redondance avec l’´equation (2.21) cette fois-ci. En cons´equence, il convient d’imposer vY_(j) ≤ v_X(k) uniquement lorsque Y_(j) ⊂ X_(k), Y_(j)6⊆ X_(k+1) et Y_(j−1) 6⊆ X_(k). Toutes ces simplifications

conduisent finalement au programme suivant : max v q X j=1  y_(j)− y_(j−1) v_Y(j)−x_(j)− x_(j−1) v_X(j)^ (2.27) s.c. v_X(j+1) ≤ v_X(j), ∀j ∈ {1, . . . , q − 1} (2.28) (LP2) vY_(j+1) ≤ v_Y(j), ∀j ∈ {1, . . . , q − 1} (2.29) vY_(j) ≤ v_X(k), ∀j, k ∈ Q : Y_(j)⊂ X_(k), Y_(j)6⊆ X_(k+1), Y_(j−1)6⊆ X_(k) (2.30) lX_(j) ≤ v_X(j) ≤ u_X(j), ∀j ∈ Q (2.31) l_Y(j) ≤ v_Y(j) ≤ u_Y(j), ∀j ∈ Q (2.32)

Cette formulation lin´eaire implique au plus 2q − 1 variables (associ´ees aux ´el´ements de A_(x,y)) reli´ees par au plus 3(q − 1) contraintes de monotonie (cf. ´equations (2.28)-(2.30)).

Exemple 17. Consid´erons un probl`eme de d´ecision avec cinq crit`eres (c’est-`a-dire, Q = {1, 2, 3, 4, 5}), et deux alternatives x = (1, 0.8, 0.4, 0.5, 0.1) et y = (0.8, 1, 0.6, 0.2, 0.4). Nous avons ici :

Ch(x, v) = 0.1v(Q) + 0.3v({1, 2, 3, 4}) + 0.1v({1, 2, 4}) + 0.3v({1, 2}) + 0.2v({1}) Ch(y, v) = 0.2v(Q) + 0.2v({1, 2, 3, 5}) + 0.2v({1, 2, 3}) + 0.2v({1, 2}) + 0.2v({2})

Le programme lin´eaire LP2 associ´e au calcul de PMR(x, y, ΩP) est donc le suivant :

max v 0.2(v_{1,2,3,5}+ v_{1,2,3}+ v_{2}− v_{1}) + 0.1(vQ− v_{1,2}− v_{1,2,4}) − 0.3v_{1,2,3,4} s.c. v_{1}≤ v_{1,2} ≤ v_{1,2,4}≤ v_{1,2,3,4}≤ v_Q (2.33) v_{2}≤ v_{1,2} ≤ v_{1,2,3}≤ v_{1,2,3,5}≤ v_Q (2.34) v_{1,2,3}≤ v_{1,2,3,4} (2.35) l_{1}≤ v_{1} ≤ u_{1}, l_{1,2}≤ v_{1,2}≤ u_{1,2}, l_{1,2,4}≤ v_{1,2,4}≤ u_{1,2,4} l{1,2,3,4}≤ v_{1,2,3,4}≤ u_{1,2,3,4}, lQ ≤ vQ ≤ uQ, l{2} ≤ v_{2}≤ u_{2} l{1,2,3}≤ v_{1,2,3}≤ u_{1,2,3}, l{1,2,3,5}≤ v_{1,2,3,5}≤ u_{1,2,3,5}

o`u les ´equations (2.33) et (2.34) correspondent respectivement aux contraintes des ´equations (2.28) et (2.29), tandis que l’´equation (2.35) nous donne la seule contrainte associ´ee `a l’´equation (2.30) ; toutes les autres contraintes proviennent des ´equations (2.31)-(2.32). Ainsi, nous avons besoin ici de seulement 8 variables (au lieu de 32) et 9 contraintes de monotonie (au lieu de 80).