Nous examinons dans cette section la maniere dont doivent etre regles les parametres de regularisation α1 et α2, a n d'arriver a un schema de minimisation convergent,
ainsi qu'a une reconstruction e cace du ou et de l'image recherches. De maniere non surprenante, on montre que α1 depend directement du niveau de bruit present dans
l'image a de ouer. En eet, il en est de meme dans le cas de la deconvolution a ou connu, a laquelle nous sommes ramenes si nous considerons la minimisation de (3.8) par rapport a f. Quant a α2, Chan et Wong ont montre que sa valeur controle le niveau d'etalement
du ou, c'est-a-dire sa taille [40].
A n d'argumenter leur propos, Chan et Wong ont propose de considerer la minimisation sous contrainte de bruit de la fonctionnelle suivante :
min f,h Z (|∇f | + α|∇h|) sous kh ∗ f − gk2 L2 = σ2, (3.52)
13. Presentees au Chapitre 2, Section 2.2.1.
ou σ represente l'ecart-type du bruit present dans l'image. La formulation du Lagrangien14
pour (3.52) est donnee par L(f,h) = Z (|∇f | + α|∇h|) +λ 2 kh ∗ f − gk 2 L2 − σ2 , (3.53)
ou λ est le multiplicateur de Lagrange. Il s'en suit que les problemes de minimisation (3.8) et (3.52) sont identiques si α1 = 2λ et α2= 2αλ .
En utilisant la formulation sous contrainte de bruit (3.52), les auteurs proposent quelques elements guides pour la selection des valeurs de reglage de α1 et α2.
De maniere claire, si le rapport signal/bruit de l'image g est faible (c'est-a-dire que σ est grand), alors λ devrait etre petit pour que RΩ|∇f |soit su samment important a n de regulariser l'image reconstruite. D'ou s'en deduit l'heuristique consistant a supposer que λest proportionnel au SNR de l'image oue. Par consequent, on s'attend a ce que α1 = 2λ
soit directement proportionnel au niveau de bruit σ.
Pour ce qui est du parametre α2, quand sa valeur est reglee a un niveau plus important,
l'operateur de regularisation sur h, RΩ|∇h|, doit etre faible pour pour pouvoir minimiser (3.52). La valeur pic de h sera donc plus basse quand α2 devient plus grand, ce qui, si
l'on considere les contraintes physiques telles que la normalisation du noyau RΩh = 1, fait que ce dernier doit s'etaler, s'elargir. D'ou un choix de la valeur de α2 proportionnel a
l'intensite du outage present, ce qui, bien entendu, est dans une certaine mesure contraire au principe de la deconvolution ¾ aveugle ¿, puisque de toute evidence, on ne connat pas a priori le niveau de ou present dans l'image a traiter. Ceci oblige donc a proceder de maniere heuristique, et met bien en evidence la limite du quali catif d'aveugle applique a cette classe de problemes.
Il convient de preciser certaines choses quant a la valeur de α1. Bien que son reglage
optimal soit proportionnel au niveau de bruit present dans l'image, il n'existe, selon nous, aucune relation explicite connue entre la valeur de α1 et l'intensite du bruit
contaminant l'image. On ne peut donc utiliser des techniques automatiques de mesure du bruit present, pour escompter un reglage automatique de la regularisation. Quand bien meme cela serait possible, il serait alors a craindre que l'incertitude d'estimation sur l'intensite du bruit mene a des erreurs importantes de reglage de α1. En outre,
comme on le verra plus loin, le bruit n'est pas une problematique essentielle dans le cas de l'application pratique nous interessant. En eet, les images acquises le sont dans de bonnes conditions de luminosite, et donc contaminees par un bruit de capteur optique de l'appareil qui s'avere alors faible. Ce qui ne serait pas le cas si les conditions de prise de vue impliquaient des images sombres, alors beaucoup plus aectees par le bruit du capteur. Comme on le verra ci-apres, la regularisation sur f servira ici essentiellement a ¾ guider ¿ l'algorithme vers l'image cible recherchee, en lui fournissant une information sur la structure de la variable bidimensionnelle f a reconstruire.
En ce qui concerne le reglage de α2, parametre de regularisation sur le ou, on verra
que celui-ci ne requerra pas une precision tres importante. En eet, c'est essentiellement une contrainte que nous imposerons a la forme du noyau qui permettra d'arriver a une reconstruction e cace, et non une valeur tres precise de α2. En outre, bien que des auteurs
comme You et Kaveh aient revendique un reglage automatique (de α2 comme pour α1),
malgre des resultats tres peu etayes, nous ne pensons pas que ceci soit realiste, en l'absence d'indication a priori sur la taille du noyau recherche. Ou prendre en eet une information su samment able dans un probleme aveugle, sans donnees sur la degradation ? De plus, You et Kaveh indiquent d'un autre cote que leurs ¾ simulations ont montre que la qua- lite de la restauration aveugle est habituellement peu sensible au reglage des parametres de regularisation ¿ , ce qui met en evidence des avis assez varies dans la communaute scienti- que a ce sujet. Ceci va donc bien dans le sens de que ce nous avan cons : c'est davantage la fa con dont l'evolution de la forme du noyau est contrainte qui est primordiale, par rapport au reglage de la valeur de son parametre de controle.
5.4 Contraintes imposees dans la reconstruction et cas particulier des