La minimisation (4.66) n'est pas triviale, mais se rapproche tres fortement de celle utilisee pour (3.8). Tout d'abord, nous commen cons de nouveau par appliquer les conditions d'optimalite de premier ordre, en utilisant les conditions aux bords de Neumann11. Ceci
mene a un ensemble de trois equations, qui correspondent aux minimisations par rapport a υ, f, et h : ∂QMSTV ∂υ = 2ξυ|∇f | + α υ − 1 2η − 2ηα∇2υ = 0 (4.69) ∂QMSTV ∂f = (h ∗ f − g) ∗ h ~− ξdiv υ2 ∇f |∇f | = 0 (4.70) ∂QMSTV ∂h = (h ∗ f − g) ∗ f ~− γdiv ∇h |∇h| = 0 . (4.71)
Nous suivons ensuite fondamentalement le meme schema de minimisation alternee que dans l'algorithme de Chan et Wong [40] : a chaque etape, on minimise par rapport a une variable, en gardant les deux autres xees. L'algorithme generique est alors :
Initialiser f0avec g et h0 avec une impulsion de Dirac.
Pour i = 1 a i = imax:
1. Resoudre (4.69) pour υ (avec f et h fixes) 2. Resoudre (4.70) pour f (avec h et υ fixes) 3. Resoudre (4.71) pour h (avec f et υ fixes) 4. Contraindre h
Fin
Bien entendu, la contrainte de seuillage (3.56) sur h est de nouveau totalement necessaire a n de forcer l'energie du noyau a etre localisee au centre de l'operateur.
La resolution de (4.69) a ete detaillee en Section 3.2. L'equation (4.71) est la meme EDP non-lineaire en h que celle apparaissant dans la minimisation du modele a double regularisation TV du chapitre precedent. Sa resolution est donc rigoureusement identique. Seule la presence du terme en υ2 dans l'operateur de divergence fait dierer (4.70) de
l'equation aux derivees partielles sur f obtenue dans le modele de Chan et Wong. Le schema de resolution utilise est donc le meme ici, avec une adaptation permettant de prendre en compte la carte des bords υ, comme cela est fait en Section 3.2.
6 Experimentations en aveugle
On va proposer ici plusieurs tests, dont un certain nombre identiques a ceux eectues dans le chapitre precedent en utilisant la double regularisation TV, en considerant ici la minimisation du modele (4.66). Ceci va nous permettre de veri er ce qui a ete constate dans le cadre de la deconvolution MSTV a ou connu par rapport a la deconvolution TV a ou connu, a savoir des resultats legerement superieurs pour le cas MSTV (en precisant bien qu'il s'agit la plupart du temps de superiorite au sens de la nettete des bords) en presence d'images oues aectees par du bruit blanc gaussien. De meme que dans le chapitre precedent, la valeur de seuillage du noyau est toujours xee a ζ = 1/10, sauf quand une autre valeur est precisee.
6.1 Test sur une image aectee par un ou de defocalisation
On commence par examiner le cas de l'image Nid de cailloux en Fig. 3.13 (e), toujours defocalisee par un noyau de rayon ρ = 5, et aectee par un bruit blanc gaussien d'ecart-type σ = 3. Les parametres de regularisation ont ete xes en accord avec les valeurs optimales obtenues ci-avant, dans le probleme a noyau connu, a α = 105, ξ = 20,
η = 10−3, γ = 9.107. Les resultats de deconvolution obtenus par notre modele (4.66) sont donnes en Fig. 4.6.
On peut constater plusieurs choses : tout d'abord, les indicateurs de l'image recons- truite, et l'image elle-meme, montrent une qualite tres proche de celle obtenue en restaurant l'image a partir du noyau connu, par utilisation du modele (4.65). En eet, le PSNR de l'image reconstruite est ici de 21,74 dB, et son SSIM de 0,6467, contre des valeurs res- pectives de 22,16 dB et 0,6612. Ceci est donc une excellente chose puisque la qualite de restauration obtenue par le schema aveugle est quasi-identique a celle obtenue avec le
schema a noyau connu. Cela montre, au moins pour ce cas, la performance de notre ap- proche. La deuxieme chose a constater est la presence d'une carte des bords bien nette qui tend a prouver que la deconvolution s'est bien deroulee, et que l'image restauree comporte des aretes bien franches. Le troisieme point interessant est la comparaison du resultat ob- tenu avec celui resultant de l'algorithme double TV du chapitre precedent, comparaison qui sera detaillee en Section 6.3. En n, signalons que la croissance monotone des indicateurs de PSNR et SSIM, de meme que la decroissance monotone des courbes d'evolution est un signe de bon comportement de l'algorithme dans le cas ci-present.
6.2 Test sur une image aectee par un ou de mouvement
Nous considerons maintenant le cas de l'image Reprise de beton en Fig. 3.13 (f), aectee par un ou de mouvement presentant les memes caracteristiques que dans les experimentations du precedent chapitre : longueur l = 11 et angle θ = 45◦, avec
ajout d'un bruit blanc gaussien d'ecart-type σ = 3. Nous avons alors envisage deux possibilites de restauration : la premiere avec nombre d'iterations de point xe sur l'image suivant critere d'arret (c'est-a-dire avec arret a convergence, et bridage a dix iterations si non-convergence), et la deuxieme avec une seule iteration de point xe, a n d'accelerer l'algorithme.
Dans le cadre de l'iteration de point xe a critere d'arret, on a xe la valeur des parametres de regularisation a α = 105, ξ = 30, η = 10−2, γ = 9.107, ceci pour les memes
raisons que celles evoquees dans la section ci-dessus. Les resultats obtenus pour ce premier cas sont presentes en Fig. 4.7. Ils sont plutot satisfaisants, et autant le noyau que l'image sont bien reconstruits, avec une carte des bords signi cative.
Pour le deuxieme cas, avec une seule iteration de point xe, la valeur des parametres a ete xee a : α = 10−1, ξ = 10−2, η = 10−1. Cela nous donne alors les resultats de la Fig. 4.8.
De maniere non surprenante12, la qualite de l'image obtenue ici est legerement inferieure,
mais tout de meme totalement acceptable par rapport a celle presentee par l'image ouee. De plus, le temps de calcul est alors largement inferieur, divise globalement par un facteur dix.