Nous allons dans cette section examiner l'in uence du nombre d'iterations permis a l'algorithme de point xe pour la resolution de (3.29).
Pour ce qui concerne l'estimation du noyau h, la calcul de hn+1 dans (3.30) peut
simplement se faire par une unique iteration (sur l), etant donne l'importance que prend notre contrainte (3.56) dans sa reconstruction. Il n'est en eet alors nul besoin de le traiter par regularisation de maniere aussi intensive que l'image f, puisque sa forme, ses contours, sont alors essentiellement determines par le seuillage mis en œuvre.
Comme nous l'avons dit precedemment, ni Chan et Wong dans [40] ni Vogel dans [197] n'etudient la question du nombre d'iterations de point xe. Dans leurs tests, Chan et Wong indiquent seulement qu'ils ont laisse iterer les boucles de point xe 10 fois, sans justi cation ou indication du sens de ce reglage. Cependant, comme nous l'avons vu, et comme cela est visible sur leurs experimentations, ce reglage ne mene pas a des resultats vraiment satisfaisants si le parametre de tolerance residuelle du gradient conjugue est regle a une valeur trop importante de 10−1. Si on reduit celle-ci, par exemple a 10−5,
alors la deconvolution se deroule de maniere bien plus e cace, et les resultats sont bien plus convaincants. Le desavantage est cependant le cout de calcul necessite, qui augmente fortement. On illustre ceci dans ce qui suit.
Prenons a titre d'exemple le cas de l'image en Fig. 3.13 (c) (p. 92), aectee par un ou de defocalisation ainsi que par un bruit gaussien d'ecart type σ = 3. L'image degradee resultante est presentee sur la meme gure, en (e). Nous lui appliquons notre version de l'algorithme de deconvolution par double regularisation TV. Les parametres de regularisation ont ete xes a α1 = 20et α2 = 9.107 : ce sont les parametres optimaux des
problemes de deconvolution simples de l'image a partir du ou connu, et de reconstruction du noyau a partir de l'image nette (Cf. Annexe A), dans le cas d'un nombre d'iterations suivant critere d'arret, mais borne a 10, ceci a n de limiter le temps de calcul possible.
Notons que, a une etape n donnee de la reconstruction alternee, l'iteration l de point xe est arretee des que
kfn
l − fl−1n k
kfn l−1k
≤ . (3.60)
Les resultats obtenus sont donnes en Fig. 3.7. De toute evidence, la restauration est de bonne qualite. Le ou est bien reconstruit, et l'image apparat bien nette. Les indicateurs de PSNR et de SSIM sont utilises pour mesurer la qualite des reconstructions ; ils presentent
des valeurs nales plutot bonnes (resp. 21,7 dB et 0,65) par rapport a celles de l'image de depart. Cependant cette reconstruction presente deux defauts qui peuvent etre relativement genants. Le premier reside dans le fait que l'image de ouee apparat assez synthetique, ceci en raison du lissage speci que par variation totale, qui induit un eet particulier de ¾ paliers ¿, et resulte en la perte d'un certain nombre de details ns presents dans l'image originale. L'autre probleme majeur rencontre est un temps de calcul qui peut etre tres lourd20. Cela peut etre parfois tolerable, mais il faut comprendre que, face a une image
degradee inconnue, pour laquelle on n'a a priori pas la connaissance des caracteristiques du bruit, ni de la scene originale, le reglage des parametres de regularisation α1 et α2 peut
necessiter plusieurs essais, ce que nous avions deja evoque en Section 5.3. On a donc tout interet a reduire au maximum le temps de calcul autorise par essai. On donne egalement sur cette meme gure les criteres d'evolution d'estimation de f et h au fur et a mesure des iterations de l'algorithme de minimisation alternee :
kfn− fn−1k
kfn−1k et
khn− hn−1k
khn−1k . (3.61)
Rappelons que c'est le critere sur f qui controle l'arret de l'algorithme (cf. (3.47)). A n de reduire le temps de calcul, nous refaisons alors le meme test, mais en revanche en nous limitant a une seule iteration de point xe sur f, comme cela etait deja le cas pour la reconstruction du ou. On prend cette fois α1= 10−3 et toujours α2 = 9.107. Les
resultats obtenus sont visibles en Fig. 3.8. Tout d'abord, precisons que le temps de calcul est ici approximativement divise par un facteur dix, ce qui n'est pas negligeable. Cela n'a donc rien de commun avec ce qui etait necessaire dans le cas precedent. L'avantage est alors un reglage plus aise des parametres, dans le sens ou chaque tentative de restauration est bien plus rapide, et que l'on peut donc se permettre plus facilement de tester dierentes combinaisons de valeurs. Visuellement, l'image est egalement plutot bien restauree, bien qu'elle puisse apparatre legerement moins nette que dans le cas precedent. De meme, alors que l'image precedente etait trop lissee, celle-ci pourrait l'etre davantage dans ses zones homogenes. En revanche, elle ne presente plus ce cote d'image en ¾ escalier ¿. Nous donnons en n egalement a titre illustratif en Fig. 3.9 la representation tridimen- sionnelle des noyaux reconstruits dans les deux cas ci-dessus : une seule iteration de point xe, et iteration libre a critere d'arret.
Le choix du nombre d'iterations de point xe que l'on va permettre pour l'image repose donc sur un compromis ; un compromis portant essentiellement sur le temps de calcul que l'on voudra - ou pourra - autoriser, et sur la ¾ qualite ¿ de reconstruction que l'on cherche a obtenir. Qualite subjective cependant, car liee a ce que l'on voudra en priorite voir apparatre (ou pas) dans l'image (details, textures, bords, etc.).
En revanche, on notera bien que, plus faible est le nombre d'iterations de point xe autorise, plus faible doit etre regle le parametre de regularisation α1. Garder la valeur
optimale determinee dans le cas d'une deconvolution a noyau connu, avec un nombre d'iterations suivant critere d'arret, pour le probleme aveugle a une seule iteration de point xe, ne menera a rien, car cela resulte malheureusement en la divergence de l'algorithme, ou, pour etre plus exact, en une convergence vers des donnees plates, hyperlissees, et non vers l'image nette recherchee. Ceci est illustre en Fig. 3.10. Il en est en fait de meme si
20. Puisqu'il est ici de plus d'une heure (t > 4000 sec) sur un ordinateur equipe d'un processeur de type Pentium R 4, cadence a 3,2 GHz.
(a) Flou reconstruit (b) Image reconstruite
(c) Evolution du PSNR du ou (d) Evolution du PSNR et SSIM de l'image
(e) Critere d'evolution sur le ou (f) Critere d'evolution sur l'image
Figure 3.7 Deconvolution aveugle de l'image Nid de cailloux defocalisee et bruitee (σ = 3), avec α1 = 20et α2 = 9.107 (iteration de point xe a critere d'arret).
(a) Flou reconstruit (b) Image reconstruite
(c) Evolution du PSNR du ou (d) Evolution du PSNR et SSIM de l'image
(e) Critere d'evolution sur le ou (f) Critere d'evolution sur l'image
Figure 3.8 Deconvolution aveugle de l'image Nid de cailloux defocalisee et bruitee (σ = 3), avec α1= 10−3 et α2= 9.107 (une seule iteration de point xe).
(a)
(b)
Figure 3.10 Flou et images ¾ reconstruits ¿ avec α1 = 20 et α2 = 9.107 (une seule
iteration de point xe). La valeur de α1 etant ici fortement surevaluee pour une recons-
truction e ciente.
l'on souhaite deconvoluer une image oue avec la connaissance parfaite du noyau : le parametre de regularisation sera alors fonction du nombre d'iterations de point xe permis. Un autre argument peut jouer en faveur d'un faible nombre de ces iterations. En ef- fet, lors du processus d'estimation du noyau, tant que ce dernier n'a pas atteint sa taille de nitive, eectuer beaucoup d'iterations de point xe a l'etape d'estimation de l'image n'a en fait aucun eet reel sur sa qualite de reconstruction a ce moment. Ceci car un nombre important d'iterations n'a pour but que d'arriver a une tres bonne reconstruction nale, ce qui est evidemment totalement impossible avec un noyau qui n'a pas encore at- teint sa forme de nitive, et est donc inadequat. Par contre, si la reconstruction du noyau est (quasi-) parfaite, ce que l'on escompte evidemment a la n du processus de minimisa- tion alternee, alors seulement a ce moment la un nombre d'iterations eleve peut se reveler vraiment pertinent.
5.6 In uence du nombre d'iterations de l'algorithme de gradient