Cas particulier des images a fond noir : exemple

5.4 Contraintes imposees dans la reconstruction et cas particulier des

5.4.3 Cas particulier des images a fond noir : exemple

Examinons plus en details le cas bien particulier de la deconvolution aveugle d'images a fond noir, ou, plus mathematiquement, a support compact, par le schema de deconvolution aveugle a double regularisation considere. De telles images orent, comme nous l'avons deja evoque, un cadre bien particulier, puisque toute l'information est concentree en leur centre, et que le pourtour entier est de niveau de gris nul.

Pour illustrer cette particularite, et son lien avec les contraintes imposees, nous allons de nouveau considerer l'image Satellite presentee en Fig. 3.3. Celle-ci est tres souvent utilisee comme reference dans la thematique de la deconvolution aveugle. Elle contient un certain nombre de details ns pour lesquels il est interessant d'observer l'ecacite des dierentes reconstructions possibles. Elle a ete en particulier utilisee comme unique scene test par Chan et Wong dans leur article sur la double regularisation TV. Malheureusement, il n'a pas ete possible de reproduire exactement leur experimentation, dans la mesure ou le noyau qu'ils ont utilise n'a pas ete explicitement donne. Nous savons seulement qu'il s'agit d'un ou de defocalisation, mais son rayon n'est pas precise. Nous allons pour notre part proposer un test se rapprochant du leur, en defocalisant l'image par un noyau de rayon ρ = 5.

Nous avons consciencieusement respecte leurs reglages de parametres, du moins pour ceux qui etaient precises, et eectue les trois iterations prescrites de minimisation alternee sur n, avec, a chaque fois, les dix iterations de point xe sur l, ou chaque inversion du systeme lineaire requis pour le calcul de la correction (cf. (3.43) et (3.44)) est eectuee par gradient conjugue, avec une valeur de tolerance residuelle17 _{xee a 10}−1_{. Nous avons}

considere un reglage empirique des parametres de regularisation a α1 = 10−5 et α2 = 10−5.

Figure 3.3 Image Satellite utilisee par Chan et Wong, et image ouee par un noyau de defocalisation de rayon ρ = 5.

On montre tout d'abord les performances obtenues par le modele double TV tel qu'il a ete mis en œuvre par les auteurs, c'est-a-dire sans operation de seuillage sur le ou comme deni en (3.56), mais avec contrainte de positivite sur la luminance de l'image. On constate une reconstruction plutot tres grossiere de l'image (Fig. 3.4), celle-ci etant due a la valeur tres basse a laquelle est regle le parametre de tolerance residuelle de l'algorithme de gradient conjugue evoque plus haut. En eet, la correction calculee sur f est alors assez grossiere. De meme, la conjonction de ce reglage avec les trois iterations de minimisation alternee ne releve pas reellement d'un choix pertinent. En eet, dans le cas present, eectuer d'avantage d'iterations alternees n'apporte rien, car le probleme principal reside dans la mauvaise correction qui est calculee. L'algorithme (et le reglage) initial de Chan et Wong donne donc, meme dans le cas plutot favorable d'image a fond noir, un resultat plutot mitige. En revanche, on peut penser qu'une meilleure correction (qui requiert alors une tolerance residuelle plus stricte, i.e. une valeur plus basse du parametre), combinee avec davantage d'iterations de minimisation alternee, peut mener a des reconstructions plus satisfaisantes.

C'est ce que l'on a voulu voir, en reglant dorenavant ce parametre de tolerance residuelle a 10−5_{. Trois iterations pour la minimisation alternee sont totalement insuf-}

santes, et nous avons du aller jusqu'a 50 iterations pour obtenir un resultat qui soit convaincant. Celui-ci est visible en Fig. 3.5, ou l'image reconstruite est bien plus proche de l'originale que pour le cas avec les reglages preconises par Chan et Wong utilises precedemment. Cependant, le gros defaut est que la contrainte de positive imposee a l'image continue de ronger sa dynamique (soit le niveau de gris de ses pixels), et que l'on constate alors une perte de contraste relativement importante.

Fondamentalement, l'approche initiale preconisee par les auteurs, et surtout les contraintes imposees sur l'image et le ou18_{, fonctionnent relativement bien pour les}

images a fond noir, avec des reglages adequats. Ceci dans le sens ou, si ces reglages sont judicieux, l'algorithme semble converger vers une image qui soit plus nette. En revanche, le temps de calcul necessaire pour obtenir une image deouee avec une qualite susante est plutot redhibitoire en pratique, puisque se comptabilisant en (dizaines de) minutes, suivant le type d'ordinateur PC utilise. Il faut de plus ajouter que les valeurs des parametres de regularisation ne sont pas connues a priori, et que leur reglage necessite donc plusieurs essais avant d'arriver a une reconstruction correcte. Il est donc dicile de

18. A savoir : respectivement, la positivite d'une part, et la positivite avec normalisation (3.55), et symetrisation, d'autre part.

(a) Flou identie, vu de haut (b) Image deouee

Figure 3.4 Deconvolution aveugle de l'image Satellite defocalisee, avec l'algorithme de Chan et Wong (CW), d'apres les reglages originaux de ces auteurs.

(a) Flou identie, vu de haut (b) Image deouee

Figure 3.5 Deconvolution aveugle de l'image Satellite defocalisee, avec l'algorithme de Chan et Wong (CW), avec nos reglages propres.

se permettre que chaque tentative prenne autant de temps.

A titre de comparaison, nous avons eectue le meme test de deconvolution a l'aide du modele de You et Kaveh [213], modele sans prise en compte des discontinuites, car utilisant la regularisation H1 _{sur l'image et le noyau de ou, comme nous l'avions evoque}

en (3.7). Nous en avons mis en œuvre une minimisation par une approche tres simple basee sur l'utilisation de la transformee de Fourier rapide (qui n'est pas la technique initialement choisie par les auteurs). Insistons donc bien sur sur le fait que nous traitons de leur modele, c'est-a-dire du meme type de fonctionnelle, et non de leur methode a proprement parler, car (au moins) le schema d'optimisation utilise est dierent, et que nous n'avons pas mis en œuvre leur contrainte sur le noyau (i.e. mise a zero des coecients hors d'un support predeni). C'est ici en eet principalement le temps de calcul et l'inuence des operateurs (et non des parametres) de regularisation qui nous interesse.

Pour cela, on commence par appliquer les conditions d'optimalite de premier ordre a (3.7), ce qui donne19 _: ∂J ∂f = (h ∗ f − g) ∗ h ~_{− α} 1div (∇f) = 0 (3.57) ∂J ∂h = (h ∗ f − g) ∗ f ~_{− α} 2div (∇h) = 0 . (3.58)

Nous eectuons alors, comme dans le cadre de la methode de Chan et Wong avec regularisation TV, une minimisation alternee sur f et h, ce qui donne l'algorithme general :

Initialiser f0 _{avec g et h}0 _{avec une impulsion de Dirac.}

Pour n = 1 a n = nmax (indice de nombre d'iterations de minimisation

alternee) :

1. Resoudre (3.57) pour f (avec h fixe) 2. Resoudre (3.58) pour h (avec f fixe) Fin

Dans ce qui suit, d est la matrice issue de la discretisation de div (∇f) dans (3.57), de telle sorte que cette equation s'ecrive aussi

∂J

∂f = (h ∗ f − g) ∗ h

~_{− α}

1d ∗ f = 0 . (3.59)

A chaque iteration de la boucle ci-dessus, nous utilisons un schema base sur l'inversion de Fourier pour estimer fn _{et h}n _{dans les deux equations. Ce schema a ete propose}

dans [195] :

Initialiser f0 _{avec g et h}0 _{avec une impulsion de Dirac.}

Pour n = 1 a n = nmax : • ˆd :=fft2(d) • ˆh :=fft2(h) • ˆg :=fft2(g) • ˆf :=conjˆh ˆg |ˆh|2_+α 1dˆ • f =ifft2( ˆf ) Fin

(a) Flou identie vu de haut (b) Image deouee

Figure 3.6 Deconvolution aveugle de l'image Satellite defocalisee, avec le modele de You et Kaveh (regularisation H1_).

Dans ceci, fft2 denote la transformee de Fourier rapide 2D, ifft2 son inverse, et conj l'operateur de conjugue. La meme approche s'opere de maniere symetrique pour l'estimation de hn_{, et ceci de maniere extremement rapide.}

Nous avons alors reconsidere le meme cas test que celui presente ci-haut avec l'image Satellite, en utilisant l'algorithme de deouage a regularisation H1 _{presente ci-dessus. Le}

resultat obtenu est presente en Fig. 3.6. Pour cela, les parametres de regularisation ont ete regles a α1 = 10−5 et α2 = 105. Ces valeurs ont ete choisies de maniere heuristique,

car elles menaient a la convergence de l'approche. On constate au nal une reconstruction de qualite bien superieure a celle qui avait ete obtenue precedemment avec la methode a double regularisation TV de Chan et Wong, et ce d'autant plus que le deouage a ete bien plus rapide. Le seul inconvenient est alors que les contours de l'image deouee n'apparaissent pas totalement nets, mais un peu lisses, ce qui n'est guere surprenant avec une regularisation quadratique.

Pour resumer sur cette thematique de l'inuence du fond noir, nos investigations nous

amenent a armer que, certes, l'approche de Chan et Wong, si elle apparat ne pas reellement fonctionner pour des images sans fond noir, permet somme toute des deouages corrects dans le cas ou les scenes a traiter comportent eectivement de tels fonds noirs. Neanmoins, meme dans ce cas particulier favorable, ce schema a prise en compte des discontinuites n'apporte pas systematiquement d'avantage par rapport a des techniques bien plus simples (et rapides) telles que le modele double H1 _{avec utilisation de la transformee}

de Fourier, comme l'a montre notre exemple. Et ce, bien que ce dernier modele ne com- prenne pas d'operateurs de regularisation a preservation des discontinuites. Dans les cas generaux sans fond noir en revanche, outre le probleme de la preservation des discontinuites, il nous a ete impossible d'arriver a des reconstructions d'une image plus nette avec ce simple modele H1_{, en raison de la reconstruction d'un noyau trop contamine par des}

artefacts.

Dans le document Déconvolution aveugle d'images mono- et multicanales par méthodes variationnelles - Application à l'imagerie aérienne (Page 84-90)