Résultats expérimentaux

x = arg min ˜ x N X n=1 k ˜x_nk2 tel que ky − Q˜xk₂ ≤ ε (4.17) On retrouve le vecteur x avec les coefficients SH correctement estimés en résolvant le problème inverse

x = R⁻¹˜x (4.18)

R étant une matrice carrée triangulaire supérieure, elle est en effet inversible.

4.3.3 Résultats expérimentaux

Afin d’apprécier l’utilité d’un dictionnaire de rayonnement complexe de source, nous procédons dans un premier temps à des simulations de sources complexes dans un plan de reconstruction. L’antenne plane utilisée est l’antenne semi-circulaire décrite figure 3.8 rapprochée à 3m de l’antenne. On simule une source dipolaire qui rayonne à 1kHz au point de coordonnées (0.5, 1)m. Ce dipole est construit comme la somme des SH d’ordre 1 j(Y₁⁻¹+ Y₁¹). La figure 4.3 (a) montre le résultat de l’estimation du dipole en utilisant un dictionnaire simple monopolaire. De la même manière que le "beamforming" (BF) fait apparaître deux lobes secondaires correspondant à de potentiels monopoles, OMP trouve deux sources écartées de la position d’origine. En optimisant le dictionnaire avec des fonctions de rayonnements complexes, groupe OMP identifie une source parfaitement positionnée (cf. figure (b)). La figure (c) illustre l’estimation des coefficients du sous-vecteur source xs correspondant à la localisation du dipole au point s. Les coefficients simulés et ceux estimés se superposent. Notons que la source est simulée sur un point du maillage. Dans le cas contraire, l’écart entre la source et le point du maillage localisé peut engendrer l’apparition de composantes SH "fantômes" qui viennent fortement perturber l’identification. Ce problème sera développé plus en détail dans la section suivante. Le dictionnaire est ici limité à l’ordre 2. Remarquons que dans le cas de notre simulation, en deux dimensions dans le plan xy où se trouvent les sources, et à une telle distance de l’antenne, certaine composantes SH sont colinéaires vues de l’antenne. Du point de vue du dictionnaire A, cela implique une forte corrélation d’ensembles d’atomes correspondant à des ordres différents. Si on appelle (a^q_l)_n l’atome correspondant au mode d’ordre l et de degré q pour le point de grille n, les vecteurs (a₀)_n, (a0

1)_n, et (a0

2)_n sont fortement corrélés. Il en est de même pour les vecteurs (a⁻¹₁ )_n et (a⁻¹₂ )_n, ainsi que pour (a1

1)_n et (a¹₂)n. Pour s’en convaincre, l’allure explicite des harmoniques sphériques est illustré en Annexe B. L’orthogonalisation de ces composantes dans le dictionnaire pose problème pour la localisation. Il est donc important de retirer du dictionnaire les composantes (a0

1)_n, (a0

2)_n, (a₂⁻¹)_n, et(a1

2)_n pour une identification optimale.

On s’inspire de l’étape de sélection des atomes par groupe OMP pour proposer une variante de beamforming avec un dictionnaire de rayonnement complexe. Par analogie

4.3. Adaptation des algorithmes de reconstruction parcimonieuse ⁸⁷ avec groupe OMP, on l’appelle "groupe BF" :

ˆ

x_gBf = ||Q^H_nRQ_n||₂ (4.19) où R est la matrice de covariance mesurée. On illustre sur la figure (c) l’estimation de

ˆ

x_gBf. Bien que le lobe principal soit très large, le maximum est atteint à l’emplacement de la source.

(a) (b) (c)

Sources Dipole Dipole Dipole

Méthode OMP+BF Groupe OMP+BF Estimation OMP des coeffs SH Fréquence 1KHz 1KHz 1KHz

(d) (e) (f)

Sources Monopole+dipole Dipole+quadripole Dipole+quadripole Méthode Groupe OMP+BF Groupe OMP+BF Groupe OMP+BF Fréquence 1KHz 1KHz 6KHz

(g) (h) (i)

Sources Monopole+dipole Dipole+quadripole Dipole+quadripole Méthode Groupe BPDN Groupe BPDN Groupe BPDN Fréquence 1KHz 1KHz 6KHz

Table 4.1 – Légende de la figure 4.3

Sur les figures 4.3(d),(e), et (f) on illustre les estimations par groupe OMP et groupe BF pour plusieurs configurations de sources différentes. On simule deux sources dans des conditions idéales de champ libre, s₁ au point (-0.5, 1.5)m et s₂ au point (0.5, 1)m. La distance entre les deux sources est telle que l’on ait aucun biais dans la localisation si

s₁ et s₂ sont deux monopoles. Sur la figure d, s₁ est un monopole et s₂ un dipole. Ils émettent à une fréquence de 1kHz. Sur la figure (e), s₁ est un quadripole et s₂ le même dipole que précédemment toujours à 1kHz. Enfin sur la figure (f), s₁ est un quadripole et s₂ un dipole. Ils rayonnent à 6kHz. Les configurations des figures (g), (h), et (i) sont respectivement les mêmes que (d), (e), et (f). Les sources sont cependant estimées avec groupe BPDN. Groupe BF réussit à localiser simultanément un monopole et un dipole là où échoue la simple sommation des "sous-beamformers" correspondant chacun à une composante SH et proposé par Bouchard et Al [BHB09]. La sommation est justifiée dans le cas où les composantes SH sont correctement estimées, ce qui n’est pas réalisable. La sommation au carré de "sous-beamformers" dont les composantes SH sont orthogonalisés 2 à 2 est beaucoup plus efficace. Cette méthode est la base de sélection de groupe OMP qui montre une localisation parfaite dans le cas de sources plus complexes (cf. figure (d)) et en hautes fréquences (cf. figure (f)). Groupe BPDN offre les même performances que groupe OMP. Les maxima des lobes visibles correspondent à la position exacte des sources. De la même manière qu’en utilisant BPDN pour la localisation de sources simples, son pouvoir de résolution augmente avec la fréquence (cf. figure (i)).

(a) (b) (c) (d) (e) (f ) (g) (h) (i) Figure 4.3 – Lo calisation de sources comple xes a v ec plusieurs métho des. Légende de la figure dans le tableau 4.1. Niv eau de couleur de 20dB de dynamique : noir = 0dB, blanc = -20dB

4.3. Adaptation des algorithmes de reconstruction parcimonieuse ⁸⁹ La méthode de localisation de sources complexes par groupe OMP a pu être validée expérimentalement dans une configuration particulière. On dispose deux haut-parleurs non bafflés sur un plan à 5m de l’antenne plane illustré sur la figure 3.9(a). La direc-tivité des haut-parleurs non bafflés, mesurée et illustrée sur la figure 4.15, est de type dipolaire. Les deux haut-parleurs sont orientés différemment. Ils sont indiqués par les chiffres 4 et 5 sur la figure 3.9(b). Les mesures ont été réalisées dans la salle anéchoïque du LNE (Trappes). On utilise ici les 120 micros qui composent l’antenne. La figure 4.4 illustre la comparaison de localisation avec un dictionnaire monopolaire (a) classiquement utilisé, et un dictionnaire complexe limité à l’ordre 2 (b). Les sources sont localisées à une fréquence moyenne de 1300Hz. Sur la figure (a) on montre les résultats obtenus par BF, avec 20dB de dynamique (noir = 0dB, blanc = -20dB) et OMP (croix oranges). Les positions mesurées (donc approximatives) des sources sont indiquées par les ronds bleus. On voit apparaitre l’axe du dipole qui se comporte comme deux monopoles proches dé-phasés de π. L’algorithme OMP est stoppé après 2 itérations. Les deux premières sources sélectionnées correspondent à ces deux monopoles virtuels. Sur la figure (b), on montre les résultats obtenus par groupe OMP et groupe BF. Les sources sont mieux localisées avec un léger biais potentiellement dû aux erreurs de localisation des microphones. Les résultats de simulations sur la pertinence de l’utilisation d’un dictionnaire complexe sont ainsi confirmés par les expériences.

(a) (b)

Figure 4.4 – Localisation expérimentale de deux sources dipolaires à 1300 Hz par BF et OMP. (a) Dictionnaire monopolaire. (b) Dictionnaire complexe limité à l’ordre 2

Les performances de reconstruction obtenues avec groupe BPDN et groupe OMP sont similaires. Groupe BPDN est cependant plus lent à converger que groupe OMP qui sera préféré dans les applications expérimentales d’identification de directivité présentées dans la section suivante.

4.4 Application à la mesure de directivité 3D par