source à estimer. Un algorithme similaire à LASSO est utilisé pour résoudre le problème inverse. Cependant, leur manière de procéder basée sur la matrice de covariance ˆR à une
fréquence donnée, rend l’exploitation de sources corrélées lourde numériquement.
Dans les études de localisation par minimisation `1, la détermination du paramètre λ, qui contrôle la parcimonie de la solution dans l’algorithme LASSO, pose un problème ma-jeur. Si λ est surévalué, la forte contrainte de parcimonie empêche l’estimation de certaines sources. Dans le cas contraire, on perd la parcimonie et on localise des sources parasites. Le problème est le même si on utilise l’algorithme BPDN à la place de LASSO. Par ailleurs, les temps d’exécutions de ces deux algorithmes sont longs. Nous proposons une alternative beaucoup plus rapide à ces méthodes en localisant les sources par algorithme OMP.
3.2 Exploitation de la parcimonie des sources par
OMP
Dans cette section, on exploite le caractère parcimonieux des sources dans l’espace de reconstruction en localisant et en estimant les coefficients non nuls du vecteur source x par OMP. Afin de rendre la méthode plus robuste au rapport signal sur bruit, on base notre étude sur l’utilisation de la matrice de covariance des signaux mesurés.
3.2.1 Traitement des signaux
Comme pour les algorithmes BF, Capon et MUSIC, une étape initiale consiste à calculer la matrice de covariance ˆR, définie dans 3.5, pour rendre l’estimation des sources
plus robuste au rapport signal sur bruit. On cherche à construire un vecteur signal à partir de cette matrice en éliminant les composantes associées au bruit. Pour ce faire, décomposons ˆR aux valeurs propres :
ˆ
R = UΛUH (3.17)
Les vecteurs propres us associés aux valeurs propres λs les plus grandes sont extraits de
ˆ
R. On travaille donc avec l’espace signal, contrairement à la méthode MUSIC qui n’utilise
que le sous-espace bruit. Dans le cas où l’on a S valeurs propres significatives, on construit le vecteur de mesure y dénué des effets du bruit :
y = S X s=1 q λsus (3.18) Dans un cadre simulé, la figure 3.2 illustre l’erreur d’estimation ε du vecteur source en fonction du RSB dans les deux cas suivant :
– Utilisation du vecteur signal y issu de la matrice de covariance calculée avec un nombre suffisant d’observations.
Figure 3.2 – Simulations de l’erreur ε de reconstruction par OMP en fonction du RSB à partir des signaux issus d’une observation ˜y ou des signaux y issus de l’espace signal de
la matrice de covariance
– Utilisation du vecteur signal mesuré sur une seule observation que l’on nomme ˜y.
La courbe d’erreur de reconstruction en fonction du rapport signal sur bruit est moyennée sur 50 tirages de signaux aléatoires. L’erreur ε est calculée de la manière suivante :
ε = kˆx − xthk2
kxthk2 (3.19)
ˆ
x et xth sont respectivement les vecteurs sources estimés et théoriques. L’algorithme est bien plus robuste lorsque y est utilisé en présence de RSB faible. Néanmoins, en présence d’un RSB grand la méthode OMP est performante en utilisant directement le signal reçu ˜y et non le signal issu de la matrice de covariance. Ceci constitue un avantage non
négligeable dans les cas où la matrice de covariance n’est pas accessible. C’est par exemple le cas lorsque l’on cherche à localiser des sources qui émettent des signaux transitoires courts. Dans la suite, comme dans le cas réel où le RSB peut être faible, nous utiliserons les algorithmes de localisations parcimonieuses avec le vecteur signal extrait de ˆR.
3.2.2 Algorithme de localisation par OMP
L’algorithme OMP présenté à la section 1.2.2.2 est directement applicable dans le cas de sources en champ lointain. Remarquons que l’étape de sélection des atomes de l’algo-rithme est identique à la sélection du maximum d’amplitude du diagramme de directivité obtenu par la forme la plus basique de la méthode "beamforming". En effet, elle s’écrit :
s = arg max
n AHr(i) (3.20)
s correspond à la source sélectionnée et r(i) est le résidu à la ième itération. On rappelle que r(0) = y. On verra dans la section 3.3.1 que cette étape est à l’origine d’une faiblesse de résolution de la méthode.
3.2. Exploitation de la parcimonie des sources par OMP 65 L’algorithme implique le choix du nombre d’itération qui est dans notre cas le nombre de sources à estimer. Ce paramètre est a priori inconnu. Cependant, en observant la norme `2 du résidu
r(i)
2 à chaque itération i on remarque que lorsque le nombre total de sources a été estimé,
r(i)
2 converge vers une valeur faible. Dans l’exemple illustré sur la figure 3.3) deux sources corrélées sont actives. A chaque fois qu’une source est sélectionnée, l’énergie du résidu chute de manière significative. Lorsque le rapport signal sur bruit est suffisant, l’allure typique de la courbe de l’énergie du résidu en fonction du nombre d’itérations laisse apparaître un coude franc à l’itération correspondant au nombre de sources. La valeur de la norme du résidu atteint ensuite le RSB. L’observation du résidu pour la détermination du critère d’arrêt de OMP est cependant limitée lorsque le niveau des sources est inférieur au niveau de bruit. Cela rend la détermination du critère d’arrêt problématique bien que la source puisse être correctement localisée.
Figure 3.3 – Évolution de la norme du résidu en fonction du nombre d’itérations pour la localisation par OMP de 2 sources simulées. Les 2 sources de niveaux 0dB et -40dB sont corrélées. 3 RSB différents sont étudiés.
Le critère d’arrêt de l’algorithme est donc obtenu empiriquement, en observant le résidu. Le maximum de courbure peut être calculé pour sélectionner ce critère d’arrêt correspondant au nombre de sources. Une alternative serait d’appliquer la technique de validation croisée à l’algorithme de reconstruction OMP. Cette démarche a été proposée théoriquement par P. Boufounos et Al [BDB07]. Le principe consiste à diviser les mesures en deux jeux de données : celui servant à l’estimation ˆx des sources par OMP et celui
permettant la validation croisée de l’estimation. On teste à chaque itération de l’algo-rithme si ˆx permet de prédire précisément les mesures de validation croisée. Des études