Choix du dictionnaire de décomposition

w = Dx (2.17)

où le vecteur x ne contient que K  N éléments non nuls. Le choix du dictionnaire D dans lequel ˙w est le plus parcimonieux est une étape cruciale. En effet, plus la solution

est parcimonieuse, plus facile est sa reconstruction par échantillonnage compressé avec un faible nombre de mesures.

Dans le cadre de la régularisation parcimonieuse, le problème de NAH peut être redéfini ainsi : étant donné un ensemble de mesures p, on recherche le jeu de coefficients dans x le plus parcimonieux tel que :

p = GDx (2.18)

Notons que dans ce cas, par rapport à la régularisation de Tikhonov, on évite le calcul de la transformée de Fourier spatiale de p et les effets nuisibles à la reconstruction dûs a la troncature et la discrétisation du plan de mesures. En notant A = GD, le problème à inverser p = Ax, où x ne contient que peu de composantes non nulles, peut être résolu par les algorithmes OMP ou BPDN présentés dans la section 1.2.2.

Nous justifions dans la section suivante le choix d’un dictionnaire adapté à la NAH plane.

2.4.1 Choix du dictionnaire de décomposition

En NAH, les reconstructions intéressantes sont les modes de vibrations de la source ou bien les déformées opérationnelles qui sont une combinaison linéaire de ces modes. Le dictionnaire qui admet la représentation la plus parcimonieuse du champ des vitesses sources est donc la collection des déformées modales. Malheureusement, elles ne peuvent être connues explicitement que dans des cas rares très particuliers où les conditions aux limites sont bien maîtrisées. Pour cette raison, le dictionnaire à utiliser doit être plus générique afin d’être aussi adapté aux cas de conditions aux limites arbitraires.

Considérons une plaque S fine, dans le sens où l’épaisseur est très inférieure aux longueurs d’ondes, de dimensions finies L_x× L_y et située en z = 0. En négligeant l’amor-tissement, le déplacement normal w(x, y, ω) au point (x, y) ∈ S à la fréquence ω est régi par l’équation :

D∆²w − ρhω²w = 0 (2.19)

où ∆2 est l’opérateur bilaplacien, D la rigidité de la plaque, h son épaisseur et ρ sa masse volumique. Si (σ_j)_j>0 et (e_j)_j>0 sont les valeurs propres et vecteurs propres associés au

2.4. Régularisation parcimonieuse ³⁵ bilaplacien, on montre que les vitesses normales ˙w(x, y, ω) = ^∂w(x,y,ω)_∂t sont la combinaison de modes propres qui s’écrivent :

˙ w(x, y, ω) =^X j>0 (xjδ√ σj+ ¯xjδ−√ σj)ej(x, y) (2.20) A chaque fréquence ω_j =√

σ_j correspond un mode propre dont les coefficients x_j et les formes modales e_j dépendent des conditions aux limites et des conditions initiales.

Dans le cas particulier de la plaque rectangulaire S = [0, L_x] × [0, L_y], dont les bords sont en appui simple (les conditions aux limites vérifient w = ∆w = 0), les modes propres sont de la forme :

e_j(x, y) = sin(k_xjx) sin(k_yjy) (2.21) avec k_xj = ^πn_L^xj

x et k_yj = ^πn_L^yj

y où n_xj et n_yj sont des entiers positifs.

Si on choisit les éléments du dictionnaire tels que d_n = e_j, alors les déformées opé-rationnelles de la plaque rectangulaire aux bords appuyés sont très parcimonieuses dans

D. Pour une plaque rectangulaire avec des conditions aux limites quelconques, un

pre-mier choix de dictionnaire serait de prendre les éléments de la base de Fourier sur S qui généralisent les fonctions e_j et qui s’écrivent :

d_n(x, y) = d_nx,ny(x, y) = e^i(2πnxxLx +^{2πny y}_Ly )

(2.22) Ce dictionnaire est cependant mauvais du point de vue de la parcimonie car il correspond à des conditions aux limites périodiques. Comme les modes vibratoires d’une plaque avec des conditions aux limites quelconques ne vérifient pas de telles conditions, leur représentation précise dans ce dictionnaire nécessite beaucoup de coefficients x_n (décroissance lente des coefficients de Fourier aux discontinuités).

Afin d’améliorer la parcimonie, il faudrait alors intégrer les conditions aux limites spécifiques au problème dans le choix du dictionnaire, mais cela semble délicat car les fonctions ej résultantes n’ont pas nécessairement une expression analytique explicite et peuvent nécessiter un calcul numérique introduisant de nouvelles sources d’erreur. Une approche plus raisonnable consiste à se donner un domaine ¯S = [0, D_x]×[0, D_y] plus grand que la plaque tel que S ⊂ ¯S. On choisit alors un dictionnaire de type base de Fourier sur

¯

S restreint à S dont l’expression des atomes est :

d_n(x, y) = d_nx,ny(x, y) = χS(x, y)e^i(2πnxxDx +^{2πny y}_Dy )

(2.23) où n_x = −N_x. . . N_x, n_y = −N_y. . . N_y et χS(x, y) est une fonction qui indique la restric-tion des atomes de Fourier au domaine S de la plaque. La résolurestric-tion d’un problème fini impose de ne considérer les nombres d’ondes que jusqu’à un seuil tel que k_xmax = πNx

Lx et

k_ymax = ^πNy

Ly . Notons que l’on peut choisir de remplacer les exponentielles complexes par les fonctions sinus et cosinus réels. La figure 2.10 illustre par exemple le mode (5,3) de Fourier (restreint aux fonctions sinus) sur ¯S restreint à S.

Le principal degré de liberté dans le choix de ce type de dictionnaire est la taille de ¯S de dimensions D_x× D_y. Remarquons que ce dictionnaire est redondant : les atomes d_n

forment une famille de fonctions qui ne sont pas linéairement indépendantes. Plus D_x et

Dy sont larges par rapport à Lx et Ly, plus le dictionnaire est redondant. La parcimonie du signal est alors améliorée ce qui implique une meilleure reconstruction avec un algorithme qui favorise la parcimonie de la solution. L’inconvénient est que la dimension du problème augmente ce qui entraîne des artefacts de résolution numérique. D’un autre côté, si la surface du dictionnaire est trop petite (D_x proche de L_x et/ou D_y proche de L_y) on perd la parcimonie. Il convient de trouver un compromis entre parcimonie et temps de calcul. Dans toutes nos expériences, le dictionnaire sera construit sur une surface ¯S qui vaut le double de S, c’est-à-dire ¯S = ^h−Lx

2 ,3Lx 2 i ×^h−^Ly 2 ,^3Ly 2 i

. On note que les déformées opérationnelles ne sont pas exactement parcimonieuses dans ce dictionnaire approximatif.

(a) (b)

Figure 2.10 – Un atome du dictionnaire de décomposition parcimonieuse. a) Forme S d’une plaque et domaine rectangulaire ¯S sur lequel est construit la base de Fourier. b) Atome du dictionnaire de Fourier sur ¯S restreint à S

Afin de valider le modèle de décomposition parcimonieuse, c’est-à-dire le choix du dictionnaire D, on montre grâce à une expérience préliminaire que les déformés opéra-tionnelles (ODS) de la plaque rectangulaire à bords libres 2.2 sont bien approximées dans

D par quelques coefficient non nuls. Nous mesurons grâce au vibromètre laser la

distri-bution des vitesses normales ˙w de la plaque rectangulaire. On ne sélectionne que 33 ODS

parmi tout le spectre entre 58Hz à 3297Hz. On souhaite décomposer ces déformés dans le dictionnaire en inversant le système ˙w = Dx. Pour ce faire, on utilise l’algorithme

OMP décrit dans la section 1.2.2.2 qui permet un contrôle de la parcimonie K de la so-lution. On estime alors l’approximation parcimonieuse x des déformées. La qualité des approximations est évaluée grâce au coefficient de corrélation défini par l’équation (2.1). Il apparait que toutes les ODS peuvent être décomposées avec un maximum de 8 atomes en maintenant une qualité d’approximation supérieure à 86%. La figure 2.11 montre par exemple l’approximation de deux ODS à 402Hz et 3297Hz (b) que l’on compare avec les mesures directes (a). L’ODS à 402Hz est approximée avec seulement 2 coefficients dans

2.4. Régularisation parcimonieuse ³⁷

x. Le coefficient de corrélation avec la mesure directe est de 95%. L’ODS à 3297Hz est

approximée avec 5 coefficients non nuls. La corrélation obtenue est de 87%. Globalement, les coefficients de corrélation ont tendance à diminuer avec la fréquence mais témoignent d’une excellente qualité d’approximation. Remarquons que le nombre optimal d’atomes qui approximent une ODS ne dépend pas forcément de la fréquence temporelle, mais de la structure plus ou moins complexe de la déformée.

Figure 2.11 – Approximation de deux ODS à 402Hz et 3297Hz. a) mesures directes par vibromètre laser. b) approximations parcimonieuses

On peut conclure de cette étude, au moins dans le cas d’une plaque rectangulaire à bords libres, qu’une petite quantité d’atomes du dictionnaire D suffit à bien approxi-mer les ODS. Cela justifie l’utilisation de modèles parcimonieux pour la résolution du problème 2.18. On montrera dans la section 2.5 que ce dictionnaire peut également être utilisé sur des plaques plus complexes comme la plaque en forme de D (cf. figure 2.3).

La méthode est néanmoins limitée à des structures planes, homogènes et isotropes, ce qui inclut les plaques minces. De plus, la plaque doit être de forme étoilée. En particulier toutes les formes convexes sont étoilées. Une plaque convexe est un type de plaque sur laquelle tous segment séparant deux points est entièrement inclus dans la plaque. Dans le cas contraire, des singularités apparaissent dans les formes modales de vibrations qui ne sont pas prises en compte par les atomes de Fourier restreints à la structure.

limites qui ne sont pas connues a priori. Par exemple, il peut être utilisé pour étudier des éléments plans convexes d’une structure vibrante complexe sans tenir compte de la manière dont ils sont attachés à cette structure.