opéra-tionnelles reconstruites par NAH à partir des mesures acoustiques sur le plan hologramme sont comparées aux mesures directes par vibrométrie laser.
Figure 2.6 – Processus expérimental de l’acquisition des données (acoustiques et vibro-métriques), du traitement harmonique des signaux, et de la reconstruction par NAH de la source vibrante
2.2 Formulation mathématique de la NAH
Figure 2.7 – Géométrie du problème de NAH
Nous décrivons ici le problème direct. On considère une surface plane infinie en z = 0 soumise à des vibrations qui engendrent le rayonnement d’un champ acoustique dans le demi espace z ≥ 0. Les vibrations de la source sont caractérisées par une distribution normale de vitesses ˙w(x, y, 0, ω) à la pulsation ω. Le rayonnement est décrit par des ondes
planes progressives dans le sens des z croissants. La pression p(x, y, z0, ω) rayonnée sur un
plan en z0parallèle au plan source est appelé l’hologramme. La géométrie du problème est illustrée sur la figure 2.7. Dans la suite on simplifie l’écriture en omettant la dépendance explicite des champs de pressions et de vitesses en ω. L’expression de la pression en fonction de la distribution de vitesses sur la source est donnée par la première intégrale de Rayleigh : p(x, y, z0) = Z ∞ −∞ Z ∞ −∞g(x − x0, y − y0, z0) ˙w(x0, y0, 0)dx0dy0 (2.2) L’opérateur g(x − x0, y − y0, z0) est la fonction de Green en champ libre qui traduit la propagation entre une surface élémentaire de la source vibrante et un point de mesure :
g(x − x0, y − y0, z0) = −iρck e
ik||r−r0||2
2π||r − r0||2
(2.3) où c indique la vitesse de propagation des ondes, ρ la densité de l’air et k = ω/c le nombre d’onde. On assimile ainsi chaque surface élémentaire de la source à un monopole.
r et r0 désignent respectivement les vecteurs correspondants aux points de coordonnées (x, y, z0) et (x0, y0, 0). L’équation 2.2 décrit la convolution du champ de vitesses normales
de la source avec un propagateur ce qui implique que tous les points sources (x0, y0, 0)
contribuent à un point de pression rayonnée (x, y, z0).
Dans le domaine de Fourier spatial, le produit de convolution dans l’expression 2.2 devient un produit simple :
P (kx, ky, z0) = G(kx, ky, z0) ˙W (kx, ky, 0) (2.4)
P (kx, ky, z0) et ˙W (kx, ky, 0) sont respectivement les spectres de nombre d’onde de la
pres-sion mesurée et de la vitesse source obtenues par transformée de Fourier spatiale dans le plan xy. kx et ky sont les nombres d’ondes dans les directions x et y. G(kx, ky, z0) est le propagateur qui a pour expression dans la base de Fourier :
G(kx, ky, z0) = ρ0ck
kz e
−ikzz0 (2.5)
kz est obtenu par l’équation de dispersion k2
z = k2 − k2
x− k2
y. Deux cas sont à distinguer en fonction de la valeur de k2
x+ k2
y : si k2
x+ k2
y ≤ k2 alors kz est réel, si k2
x+ k2
y > k2, alors
kz est imaginaire pur. On obtient deux expressions différentes du propagateur :
G(kx, ky, z0) = e−iz0 √ k2−kx2−k2 y si k2 x+ k2 y ≤ k2 e−z0 √ kx2+k2 y−k2 si k2 x+ k2 y > k2 (2.6)
Le propagateur fait donc la distinction entre deux types d’ondes : les ondes propagatives et les ondes évanescentes. Dans le plan des nombres d’ondes, on définit le cercle de rayon-nement de rayon k = ω/c. La figure 2.8 montre la répartition, dans le plan des nombres d’ondes P (kx, ky, z0), des ondes propagatives et évanescentes de part et d’autre du cercle
2.2. Formulation mathématique de la NAH 29 de rayonnement. Les composantes situées à l’intérieur de ce cercle (basses fréquences spatiales) correspondent à des ondes planes se propageant selon les z croissants. Leur amplitude ne varie pas mais elles subissent une rotation de phase fonction de kz et z. Les composantes situées à l’extérieur du cercle (hautes fréquences spatiales) correspondent à des ondes évanescentes dont l’amplitude décroit de façon exponentielle en fonction de la distance de propagation. On remarque sur la figure 2.8 que les ondes évanescentes, carac-térisant le champ proche de l’antenne, portent une grande partie de l’information. Il est donc nécessaire de placer l’hologramme de mesure dans le champ proche de la source afin de capter ces hautes fréquences.
Figure 2.8 – Spectre de nombre d’onde de la pression mesurée à une fréquence de 1257Hz L’intérêt d’utiliser la transformée de Fourier spatiale est qu’elle fournit une représen-tation plus simple du problème et permet une implémenreprésen-tation rapide. Il est cependant nécessaire de discrétiser le problème. En effet, le champ de pression sur l’hologramme est échantillonné par une antenne plane. Le champ de vitesses sur la surface source est également échantillonné à la même fréquence spatiale que le champ de pression. Leur re-présentation dans le domaine des fréquences spatiales est approximée par une transformée de Fourier discrète (DFT). L’écriture matricielle de l’équation 2.4 est :
Fp = GF ˙w (2.7)
où ˙w indique le vecteur source des vitesses à estimer, échantillonné sur une grille
rectan-gulaire et régulière, p est le vecteur de pression échantillonné sur le plan hologramme, F est l’opérateur de DFT 2D spatial, et G la matrice de propagation. C’est une matrice dia-gonale dont les éléments sont les G(kx, ky, z0). La pression en fonction des vitesses sources est donc :
Le produit des matrices F−1GF est noté A.
La NAH consiste à inverser le problème 2.8 afin d’estimer les vitesses normales ˆ˙w de
la source vibrante à partir des mesures p de pressions sur l’hologramme. Une première solution est d’inverser "naïvement" l’équation (2.8) :
ˆ˙
w = F−1G−1Fp = A−1p (2.9) La matrice G étant diagonale, elle est inversible. Cependant, elle est mal conditionnée ce qui rend l’inversion instable et conduit à une mauvaise estimation de ˆ˙w. En effet, à
cause de l’amortissement exponentiel des ondes évanescentes, les petites erreurs, dont le bruit de mesure, sont amplifiées exponentiellement lors du processus d’inversion. Il est donc nécessaire de régulariser le problème. La technique de régularisation de Tikhonov largement employée en NAH est décrite à la section suivante.
En considérant des structures planes, la formulation mathématique de la NAH et son implémentation numérique sont simples et permettent d’exploiter les algorithmes rapides de FFT. Pour des structures cylindriques ou sphériques, une adaptation en fonction de la géométrie de la source permet également une implémentation simple et rapide du pro-blème. Les méthodes standard de résolution pour ces types de géométrie ont été décrites par Williams [Wil99].