Résultats et discussion

4.2.3.1. Formulation adimensionnelle

Au cours de la présentation des résultats, les variables adimensionnelles suivantes vont être employées : 𝑢+= ^𝑢 𝑢∗, ℎ+= ^ℎ ℎ₀, 𝑥+=^𝑥 𝐿, 𝑏+=^𝑦 𝑏, 𝜏+= ^𝜏 𝜏_𝐶 , 𝜂+= ^𝜂 𝜂∗= ^𝜂 𝑢∗ℎ₀, Avec : 𝑢∗= √^𝜏𝐶 𝜌 Et ℎ₀= ^𝜏𝐶 𝜌𝑔𝑠𝑖𝑛Θ

Respectivement les facteurs d’échelle de vitesse et de hauteur. En mécanique des fluides, u* est appelée la vitesse de frottement. Cette formulation permet d’exprimer la contrainte de cisaillement dans les unités d’une vitesse. Ce n’est pas une vitesse réelle à proprement parler mais c’est une quantité régulièrement utilisée pour décrire les champs de vitesse liés au cisaillement dans un fluide en mouvement. On la considère en général comme une vitesse représentative de la vitesse à proximité du fond. Ainsi u+ est le rapport entre la vitesse locale u (m/s) et u*. h0 correspond à la hauteur minimale nécessaire pour générer un écoulement sur un plan incliné pour un fluide à seuil (Coussot, 1994). Ainsi, h+ est le ratio entre la hauteur de l’écoulement h (m) et h0. La variable adimensionnelle x+ est définie par la distance x (m) parcourue par le fluide dans le chenal et par la longueur totale du canal L, égale ici à 5 mètres. La variable b+ est définie quant à elle par la largeur du canal b ici égale à 0,30 m. La contrainte de cisaillement τ (Pa) est introduite avec τ+, et la viscosité dynamique η avec η+.

4.2.3.2. Analyse de sensibilité au maillage

Cette analyse a été menée pour la géométrie n°1 (pente du canal de 4,9°). Les trois maillages investigués sont utilisés de façon indépendante au cours des simulations (cf. Annexe 1). La rhéologie est fixée en supposant les valeurs expérimentales, soit la configuration n°0 (cf. Tableau 10). La viscosité de régularisation est constante dans la régularisation du modèle bi-visqueux. Sa valeur est de η0+ = 2,6x 104 pour toutes les simulations effectuées ici.

La Figure 65 présente les résultats numériques obtenus pour la vitesse sous une forme adimensionnelle. Les profils de vitesse sont tracés selon la direction verticale (axe z).

Les cercles bleus représentent le profil de vitesse obtenu avec le maillage grossier. On constate que le champ de vitesse est mal représenté selon la verticale. Le modèle ne fournit que deux valeurs de vitesse locales dans la partie haute de l’écoulement (h+ > 2,50). Le modèle ne fournit pas d’informations sur les variations locales de la vitesse dans la partie basse de l’écoulement, près des parois. Or, c’est dans cette région que l’on s’attend à observer les plus fortes variations du gradient de vitesse compte-tenu des effets de cisaillement. Ce constat s’explique par le faible nombre de cellules selon l’axe vertical. En effet, seulement deux mailles décrivent la totalité de la hauteur d’écoulement. A ce stade de l’analyse, le maillage grossier ne semble donc pas satisfaire à une représentation fidèle de la physique des écoulements du point de vue du champ de vitesse. Les maillages intermédiaire (trois mailles sur la hauteur) et fin (six cellules de calcul selon la verticale) sont respectivement matérialisés par les triangles rouges et les carrés verts. En réduisant la taille des cellules de calcul, ils se distinguent nettement du maillage grossier par leur allure le long de l’axe vertical. Le maillage fin est celui qui fournit le plus d’informations concernant les variations locales du gradient de vitesse. Le maillage intermédiaire met en évidence une zone basse de l’écoulement, près de la paroi, dans laquelle le gradient de vitesse varie de façon plus importante que près de la surface libre où la vitesse semble atteindre une valeur constante. Cette tendance est confirmée avec plus précision par les résultats numériques du maillage fin. Pour ce niveau de raffinement, deux zones apparaissent clairement dans l’écoulement une hauteur de transition située autour de la valeur h+ = 2,50.

Figure 65 : Sensibilité au maillage : profils de vitesse.

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 h + u+

Résultats numériques avec le maillage grossier Résultats numériques avec le maillage intermédiaire Résultats numériques avec le maillage fin

Les courbes de remous sont représentées par la Figure 66. On relève que les trois maillages employés ne conduisent pas aux mêmes allures de courbe de remous. De façon générale, la courbe de remous fournie par le maillage grossier (courbe en pointillés bleus) se distingue particulièrement de par son éloignement avec les courbes de remous des maillages intermédiaire (courbe en pointillés rouges) et fin (courbe en pointillés verts), plus proches les unes par rapport aux autres. Le maillage grossier est celui qui fournit les hauteurs d’écoulement les plus faibles. Dans la partie amont de l’écoulement (x+ < 0,80), le régime d’écoulement tend vers un régime uniforme. Dans cette région, une hauteur de h+ = 3,15 est obtenue avec le maillage grossier. Le maillage intermédiaire fournit une hauteur normale de h+ = 3,88, proche de celle du maillage fin dont la valeur est h+ = 4,12. De façon similaire aux profils de vitesse, le faible nombre de cellules du maillage grossier dégrade la représentation de l’écoulement. On constate notamment que l’écoulement ne parvient pas à chuter à l’aval du chenal. Le fluide s’arrête avant de rencontrer la chute brusque (x+ ≈ 1). Cela va à l’encontre des observations expérimentales qui ont mis en évidence que l’écoulement subissait bien une chute dans la partie aval du chenal. Ce constat permet de justifier la mise à l’écart du maillage grossier pour la suite de l’analyse.

Figure 66 : Sensibilité au maillage : courbe de remous.

Il convient de compléter l’analyse de sensibilité au maillage en évaluant les incertitudes numériques associées à la taille des mailles de calcul pour chaque grille. Le Grid Convergence Index (GCI) a donc été évalué (cf. chapitre 3.4.3) pour quantifier ces incertitudes (cf. Tableau 11). Pour le maillage intermédiaire, la qualité du maillage conduit à des incertitudes numériques de l’ordre de 24 % pour la vitesse maximale u+ et de 19 % pour la hauteur h+. Ces incertitudes sont significativement réduites en utilisant le maillage fin. Avec ce dernier, la précision du modèle pour la hauteur est de l’ordre de 5 % Cela suggère que la hauteur est comprise entre h+ = 3,91 et h+ = 4,33. Pour la vitesse, l’incertitude numérique est de l’ordre de 7 %.

Tableau 11 : GCI pour la vitesse maximale et la hauteur déterminées dans les simulations numériques.

Maillage u+ maximum GCI pour u+ h+ GCI pour h+

Grossier 5,66 - 3,15 - Intermédiaire 4,56 24 % 3,88 19 % 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 h + x+

Résultats numériques avec le maillage grossier Résultats numériques avec le maillage intermédiaire Résultats numériques avec le maillage fin

En conclusion de cette analyse, retenons que les résultats numériques fournis par le modèle 3D diffèrent selon le niveau de maillage employé. A première vue, la représentation du champ de vitesse et de la hauteur de fluide avec le maillage grossier semble être trop éloignée de la physique réelle des écoulements. Pour la suite de l’analyse, ce degré de discrétisation spatiale sera écarté. Dès lors, le choix se restreint aux maillages intermédiaire et fin. Le calcul de l’index GCI a montré que le maillage intermédiaire conduisant aux plus fortes incertitudes numériques. Par conséquent, le choix s’oriente vers le maillage fin. Ce niveau de raffinement permet de modéliser l’écoulement du fluide à seuil dans le canal avec une incertitude réduite.



Le maillage fin est retenu pour la comparaison des résultats numériques avec les données expérimentales. Cette confrontation est présentée au paragraphe suivant.

4.2.3.3. Comparaison des résultats numériques avec l’expérimental Première comparaison

Figure 67 : Etapes de l’analyse des expériences de Debiane.

La Figure 68 présente la comparaison entre les données expérimentales (croix noires sur la Figure 68) et les résultats numériques (carrés verts sur la Figure 68) obtenus pour la vitesse sous une forme adimensionnelle avec le maillage fin. Les incertitudes liées à la mesure de la vitesse n’ont pas été représentées pour la série de données expérimentales sur la Figure 68. En effet, leur faible valeur conduit à des barres d’erreurs plus petites que la taille des croix noires sur le graphique. De façon générale, le maillage fin fournit des résultats proches de l’expérimental sur la hauteur totale de l’écoulement. On constate néanmoins que le modèle numérique a tendance à surestimer la vitesse maximale dans la partie supérieure de l’écoulement (h+ > 2,50). L’écart relatif δ entre les données expérimentales et les résultats numériques a été déterminé selon l’expression fournie par l’Équation (42) :

𝛿 =^{|𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 − 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 𝑒𝑥𝑝é𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒|} 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 𝑒𝑥𝑝é𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒

Équation (42)

L’écart entre la vitesse maximale numérique et expérimentale est de 3,6 % sur cette valeur maximale. Au vu de l’allure du profil de vitesse numérique, deux zones distinctes apparaissent dans l’écoulement. Au fond du canal (h+ < 2,50), le gradient de vitesse est fort. Le matériau est ainsi cisaillé et déformé. Près de la surface libre (h+ > 2,50), le gradient de vitesse varie très peu traduisant une vitesse quasiment constante. Par conséquent, dans cette zone, le fluide demeure rigide. La contrainte de cisaillement est théoriquement sous la contrainte seuil τc avec une valeur proche de zéro mais non nulle (Coussot, 1994; Balmforth & Craster, 1999).

Figure 68 : Première comparaison des résultats numériques avec l’expérimental : profil de vitesse dans la direction verticale.



^{A ce stade de l’analyse, on note que le comportement physique du Carbopol, en tant que} fluide non-newtonien à seuil, est bien représenté par le modèle numérique du point de vue de la vitesse.

La Figure 69 propose une comparaison entre les courbes de remous numériques (courbe en pointillés verts) et expérimentales (croix noires). Dans la zone où l’écoulement tend vers un régime uniforme (x+ < 0,80), la hauteur expérimentale vaut h+ = 4,73 alors que la hauteur numérique est de h+ = 4,12. Cela correspond à un écart relatif de l’ordre de 12,8 %. Cette région de l’écoulement correspond à la zone où les écarts sont les plus élevés. De façon plus générale, la hauteur numérique est toujours inférieure aux valeurs expérimentales sur toute la longueur du chenal. Près de la chute située à l’aval du chenal (x+ > 0,80), l’écoulement est accéléré. La hauteur diminue graduellement et atteint la hauteur critique dans une section de l’écoulement près de la chute. Dans cette région, la courbe de remous numérique a tendance à se rapprocher des valeurs expérimentales.

Afin de compléter l’analyse, les courbes de remous sont également comparées avec le modèle analytique proposé par Piau (Piau, 1996). Ce modèle est une extension de la formulation des équations de Saint Venant (cf. Annexe 5). Il permet de prendre en compte l’influence des contraintes normales selon l’axe y due à la contrainte seuil. Les résultats du maillage fin sont assez proches de la hauteur déterminée par le modèle analytique dans la zone amont où l’écoulement est uniforme (h+ = 3,80). L’écart est de - 8,7 %. Cependant, près de la chute à l’aval, le modèle analytique se rapproche davantage des résultats expérimentaux.

L’analyse est parachevée avec une comparaison de la hauteur normale (zone d’écoulement uniforme à l’amont du chenal) avec deux modèles analytiques proposés par Coussot (Coussot, 1994) et Burger (Burger et al., 2010). Ces modèles ont été établis pour des cas d’écoulement à surface libre de fluides à seuil dans des canaux rectangulaires prismatiques (cf. Annexe 5). Le Tableau 12 présente les résultats de l’analyse comparative. On constate que les écarts avec les résultats numériques sont en moyenne de l’ordre de 11,7 % ; au maximum de 15 % avec le modèle

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 h + u+

Résultats numériques avec le maillage fin Résultats expérimentaux (Debiane, 2000)

Figure 69 : Première comparaison des résultats numériques avec l’expérimental : courbe de remous.

Tableau 12 : Comparaison des hauteurs normales numériques h+ avec les modèles analytiques de Coussot et Burger. Résultat numérique Modèle analytique de Coussot Ecart numérique / Coussot Modèle analytique de Burger Ecart numérique / Burger 4,12 3,59 15,0 % 3,80 8,5 %

Sachant que le modèle numérique fournit une hauteur précise à 5 % près (incertitude numérique évaluée précédemment pour ce niveau de maillage), cela signifie qu’elle peut valoir a minima h+ = 3,92. Dans ce cas de figure, les déviations sont réduites avec les modèles analytiques à 9,2 % (avec l’approche de Coussot) et 3,1 % (modèle de Burger).

En conclusion de cette analyse, retenons que le maillage fin reproduit les variations de hauteur dans le canal avec de faibles écarts par rapport à l’expérimental. Au maximum l’écart a été évalué à 12,8 %.



De façon générale, les faibles déviations observées entre le numérique et l’expérimental, ou entre le numérique et les modèles analytiques, traduisent une bonne capacité du code de calcul à représenter la physique des écoulements du point de vue de la hauteur pour cette typologie d’écoulement.

A présent, nous souhaitons investiguer la sensibilité des résultats aux paramètres rhéologiques car ils constituent une donnée d’entrée clé du modèle 3D.

Sensibilité à la rhéologie

Figure 70 : Etapes de l’analyse des expériences de Debiane.

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 h + x+

Résultats numériques avec le maillage fin Résultats expérimentaux (Debiane, 2000) Modèle analytique (Piau, 1996)

Bien que l’écart entre les résultats numériques et expérimentaux soit réduit avec l’utilisation du maillage fin, il subsiste des déviations non négligeables en termes de hauteur (cf. Figure 66). Pour l’analyse de sensibilité au maillage, la rhéologie employée (configuration N°0 dans le Tableau 10) correspond aux paramètres déterminés par ajustement des mesures rhéométriques et de la courbe théorique du modèle Herschel-Bulkley. La littérature (Debiane, 2000) indique que cet ajustement a été effectué au préalable de la mise en œuvre des écoulements dans le chenal. Par la suite, au cours des expériences, les paramètres rhéologiques ont été réévalués. A partir des caractéristiques de l’écoulement observé dans le chenal, des lois de régime uniforme sont employées pour retrouver les valeurs de τc, K et n correspondantes. Un écart global d’environ 20 % est relevé entre l’évaluation des paramètres par mesures rhéométriques (avant l’expérimentation dans le canal) et par analyse des caractéristiques de l’écoulement (pendant l’expérimentation). Cet écart est plutôt raisonnable au regard des incertitudes liées aux mesures rhéométriques qui sont annoncées de l’ordre de 30 % (Debiane, 2000).



A première vue, cette valeur de 30 % d’incertitudes annoncé dans la littérature nous paraît importante. Habituellement, les mesures rhéométriques conduisent à des incertitudes prononcées plutôt sur la contrainte seuil τc et la consistance K. Il est peu fréquent d’obtenir une incertitude de cet ordre de grandeur pour l’indice d’écoulement n.

Compte-tenu de ces observations, la sensibilité des résultats numériques a été jugée en modifiant les valeurs des trois paramètres rhéologiques du modèle Herschel-Bulkley. Le maillage utilisé pour la géométrie N°1 (pente d’écoulement de 4,9°) correspond au maillage fin. Chacun des trois paramètres rhéologiques (τc, K et n) subit une variation arbitraire de plus ou moins 30 % de sa valeur (relativement aux valeurs mesurées testées avec la configuration N°0). Lors les simulations, la viscosité de régularisation dans la régularisation bi-visqueuse est arbitrairement fixée avec une valeur de η0+ = 2,6 x 104 pour tous les calculs.

Les résultats de l’analyse de sensibilité à la rhéologie sont présentés de la manière suivante : - Etape 1 : nous évaluons seulement la sensibilité des résultats numériques à la rhéologie ; - Etape 2 : nous jugeons la sensibilité des modèles 1D retenus (Coussot, 1994; Burger et al., 2010; Piau, 1996) aux mêmes variations rhéologiques, puis nous les comparons aux résultats numériques ;

- Etape 3 : enfin les résultats expérimentaux seront confrontés aux résultats numériques.



^{Dans cette partie, la présentation des résultats a été restreinte : seules les courbes de} remous et les hauteurs normales sont proposées au lecteur. Les profils de vitesse n’ont pas été traités.

 Etape 1 : sensibilité des résultats numériques à la rhéologie

La première étape présente les résultats numériques obtenus en faisant varier indépendamment chacun des trois paramètres rhéologiques. Les Figure 71, Figure 72 et Figure 73 introduisent les courbes de remous numériques correspondant respectivement aux variations de ± 30 % réalisées sur la contrainte seuil, la consistance et l’indice d’écoulement.

Pour la contrainte seuil τc, on observe que globalement les résultats numériques sont plus sensibles à une augmentation de la contrainte qu’à la diminution de sa valeur. En effet, la courbe de remous numérique obtenue avec une contrainte augmentée de 30 % (courbe en pointillés verts sur la Figure 71) est la plus éloignée de celle correspondant à la rhéologie expérimentale (courbe en pointillés rouges sur la Figure 71) dans la zone où l’écoulement atteint le régime permanent uniforme. Dans ce cas, on relève que la hauteur normale (loin en amont de la chute) varie de + 8,5 % (h+ = 4,47). Au contraire, en diminuant de 30 % la contrainte, les hauteurs numériques sont nettement inférieures (courbe en pointillés bleus sur la Figure 71) : la hauteur normale décroit de 6,8 % (h+ = 3,84) par rapport à la configuration n°0 (h+ = 4,12).

Figure 71 : Sensibilité à la contrainte seuil τc : courbe de remous numériques.

Pour la consistance K, on note globalement une sensibilité plus marquée des résultats numériques que pour la contrainte seuil. En effet, les courbes numériques se distinguent de celle obtenue avec la rhéologie expérimentale (courbe en pointillés rouges sur la Figure 72), quel que soit la variation de K. Les résultats indiquent qu’augmenter de 30 % le paramètre K conduit à des hauteurs d’écoulement plus importantes (courbe en pointillés verts sur la Figure 72) ; de l’ordre de + 8,9 % pour la hauteur normale (h+ = 4,49 contre h+ = 4,12 avec la rhéologie expérimentale). L’écart est plus important quand K est diminué de 30 % (courbe en pointillés bleus sur la Figure 72). Les hauteurs numériques sont nettement inférieures à la simulation modélisant la rhéologie expérimentale. En termes de hauteur normale, celle-ci diminue de h+ = 4,12 à h+ = 3,27, soit une variation de – 20,7 %.

Enfin, les variations de l’indice d’écoulement engendrent les plus fortes variations en termes de hauteurs numériques. Augmenter de 30 % l’indice n (courbe en pointillés verts sur la Figure 73) provoque une élévation de la hauteur d’écoulement. En termes de hauteur normale, on passe de

h+ = 4,12 (simulation avec la rhéologie expérimentale ; courbe en pointillés rouges sur la Figure 73) à h+ = 4,70, soit une déviation de + 14,0 %. La hauteur d’écoulement est diminuée avec un écart plus important quand n est réduit de 30 % (courbe en pointillés bleus sur la Figure 73). La hauteur normale vaut h+ = 3,14, soit un écart de – 23,8 % par rapport à la rhéologie expérimentale.

2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.05 1.10

h

+

x

+

Résultats numériques pour τ+=1 (configuration N 0) Résultats numériques pour τ+=1.3 (configuration N 1) Résultats numériques pour τ+=0.7 (configuration N 2)

Figure 72 : Sensibilité à la consistance K : courbe de remous numériques.

Figure 73 : Sensibilité à l’indice d’écoulement n : courbe de remous numériques.

Une synthèse des résultats en termes de hauteurs normales (hauteurs constantes loin en amont de la chute) est proposée par le Tableau 13. L’écart relatif a été déterminé par rapport à la simulation effectuée avec la rhéologie expérimentale.

Tableau 13 : Sensibilité à la rhéologie : hauteurs normales numériques h+.

Contrainte seuil τC - 30 % - +30 %

h+ numérique 3,84 4,12 4,47

Ecart par rapport à simulation avec la rhéologie expérimentale - 6,8 % - + 8,5 %

Consistance K - 30 % - +30 %

h+ numérique 3,27 4,12 4,49

Ecart par rapport à simulation avec la rhéologie expérimentale - 20,7 % - + 8,9 %

Indice d’écoulement n - 30 % - +30 % h+ numérique 3,14 4,12 4,70 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 h + x+

Résultats numériques pour K=4.60 Pa.s^n (configuration N°0) Résultats numériques pour K=5.98 Pa.s^n (configuration N°3) Résultats numériques pour K=3.22 Pa.s^n (configuration N°4)

2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 h + x+

Résultats numériques pour n=0.390 (configuration N°0) Résultats numériques pour n=0.507 (configuration N°5) Résultats numériques pour n=0.273 (configuration N°6)



En termes de hauteurs, les résultats numériques sont sensibles aux variations indépendantes des trois paramètres rhéologiques (τc, K, n). Ils diffèrent des résultats obtenus avec l’hypothèse de la rhéologie mesurée expérimentalement. Les déviations les plus fortes par rapport à la rhéologie expérimentale simulée sont observées quand l’indice d’écoulement n est modifié. Au contraire, les résultats numériques présentent une faible sensibilité aux variations de la contrainte seuil τc, en comparaison des deux autres paramètres (K et n).

 Etape 2 : sensibilité des modèles analytiques 1D et comparaison aux résultats numériques

La première confrontation entre résultats expérimentaux et numériques a été complétée par une comparaison avec les modèles analytiques de Piau (Piau, 1996), Coussot (Coussot, 1994) et Burger (Burger et al., 2010). Ces modèles sont employés de nouveau dans le cadre de l’analyse de sensibilité à la rhéologie. En premier lieu, nous avons souhaité évaluer la sensibilité de ces modèles aux mêmes variations des trois paramètres rhéologiques (τc, K, n), avant toute comparaison avec les valeurs numériques.

Le modèle analytique de Piau est investigué. Les Figure 74, Figure 75, et Figure 76 introduisent les courbes de remous analytiques correspondant respectivement aux variations de ± 30 % réalisées sur la contrainte seuil, la consistance et l’indice d’écoulement. Une synthèse des résultats obtenus avec le modèle de Piau est proposée par le Tableau 14. L’écart relatif a été déterminé par rapport à la simulation effectuée avec la rhéologie expérimentale.

Tableau 14 : Sensibilité à la rhéologie : hauteurs normales h+ déterminées avec le modèle analytique de Piau (Piau, 1996).

Contrainte seuil τC - 30 % - + 30 %

h+ analytique 3,51 3,80 4,10

Ecart par rapport à la rhéologie expérimentale - 7,6 % + 7,9 %

Consistance K - 30 % - + 30 %

h+ analytique 3,18 3,80 4,36

Ecart par rapport à la rhéologie expérimentale - 16,3 % + 14,7 %

Indice d’écoulement n - 30 % - + 30 %

h+ analytique 3,11 3,80 4,51

Ecart par rapport à la rhéologie expérimentale - 18,2 % + 18,7 %

Le tracé des courbes de remous analytiques conduisent à des variations de hauteurs dont les tendances sont identiques à celles observées pour les résultats numériques, à savoir :

- quel que soit le paramètre rhéologie considéré, une augmentation de 30 % de sa valeur conduit à une élévation des hauteurs d’écoulement ; à l’inverse une diminution de la hauteur est relevée si le paramètre est réduit de 30 % ;

- quand la contrainte seuil τc est modifiée de ± 30 %, la hauteur normale, déterminée par le modèle analytique, varie dans un intervalle de l’ordre de 16 % ;

- quand la consistance K est modifiée de ± 30 %, la hauteur normale, déterminée par le modèle analytique, varie dans un intervalle de l’ordre de 31 ;

- quand l’indice d’écoulement n est modifié de ± 30 %, la hauteur normale, déterminée par le modèle analytique, varie dans un intervalle de l’ordre de 37 %.

Figure 74 : Sensibilité à la contrainte seuil τc : courbe de remous analytiques d’après le modèle de Piau (Piau, 1996).

Figure 75 : Sensibilité à la consistance K : courbe de remous analytiques d’après le modèle de

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