Compression artificielle de l’interface

Le problème récurrent dans les simulations numériques d’écoulement à surface libre utilisant la méthode VOF est d’obtenir le profil de la surface libre avec une forte résolution, tout en préservant la bornitude et la conservation de la fraction volumique. La définition de l’interface entre les deux phases est typiquement étalée sur quelques cellules de calcul et donc fortement sensible à la résolution du maillage. La conservation de la fraction volumique est essentielle, notamment si le fluide possède une masse volumique importante. Dans ce cas, une faible erreur sur la fraction volumique peut entraîner une erreur significative sur les propriétés du fluide « mélange » et donc sur la position de l’interface. Des calculs précis sont nécessaires sur la distribution de la fraction volumique afin d’évaluer correctement la courbure de l’interface. Cette dernière est essentielle pour la détermination de la force de tension superficielle au niveau de la surface libre. D’après Rusche (Rusche, 2002), l’équation d’advection ne peut satisfaire cette condition. Etant donné que l’interface est artificiellement étalée en raison de la diffusion numérique, la discrétisation propre du terme convectif possède ici une importance capitale. Dès lors, des alternatives ont été proposées pour contourner ce problèmes (Ubbink, 1997; Ubbink & Issa, 1999). Ici l’approche proposée par Rusche (Rusche, 2002) a été retenue. Dans cette approche, l’étalement des forts gradients est supprimé par l’introduction d’un terme convectif supplémentaire dans l’équation de transport de la fraction volumique : la compression artificielle. Cette méthode est la plus couramment utilisée. Dans le cas de calculs à surface libre, le solveur interFoam (Deshpande et al., 2012) utilise l’équation de transport de la fraction volumique donnée par l’Équation (18) (Berberović et al., 2009; Kissling et al., 2010).

𝜕𝛼

𝜕𝑡 ^{+ ∇. (𝛼𝑈) + ∇. [𝑈𝐶𝛼(1 − 𝛼)] = 0}

avec α la fraction volumique, t (s) le temps, U (m/s) la vitesse, UC (m/s) la vitesse relative à l’interface. Dans l’expression ci-dessus, le vecteur UC représente la vitesse relative perpendiculaire à l’interface entre les deux fluides. On parle aussi de vitesse de compression artificielle (Berberović et al., 2009; Chen et al., 2014) sur la surface. Cette vitesse relative assure le rétrécissement de l'interface tandis que le terme ∇. [𝑈_𝐶𝛼(1 − 𝛼)] garantit à la fois la conservation et la bornitude de la fraction volumique (Weller, 2006). En effet, l’influence de la vitesse de compression est limitée à la région proche de l’interface par le terme 𝛼(1 − 𝛼). Ce dernier est nul dans le reste du domaine de calcul. D’après le terme 𝛼(1 − 𝛼), la zone sous l’influence de la vitesse de compression possède des valeurs de fraction volumique autres que 0 et 1. La nouvelle équation de transport de α peut être dérivée selon une approche eulérienne des deux fluides, où les équations de fraction volumique sont résolues de manière séparée pour chaque phase individuelle. 𝜕𝛼 𝜕𝑡 ^{+ ∇. (𝛼𝑈𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑) = 0} Équation (19) 𝜕(1 − 𝛼) 𝜕𝑡 ^{+ ∇. ((1 − 𝛼)𝑈𝑔𝑎𝑠) = 0} Équation (20)

La vitesse moyenne du fluide effectif est donnée par la pondération suivante exprimée par l’Équation (21) (Weller, 2006).

𝑈 = 𝛼𝑈_{𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑}+ (1 − 𝛼)𝑈_𝑔𝑎𝑠 Équation (21)

Dès lors, l’Équation (19) peut être réécrite afin d’obtenir la même forme que l’Équation (18), utilisée en tant qu’équation d’évolution de la fraction en phase liquide (Rusche, 2002).

𝜕𝛼

𝜕𝑡 ^{+ ∇. (𝛼𝑈) + ∇. [𝑈𝑟𝛼(1 − 𝛼)] = 0}

Équation (22)

Dans l’Équation (22), 𝑈_𝑟 = 𝑈_{𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑}− 𝑈_𝑔𝑎𝑠 est le vecteur de vitesse relative entre la phase liquide et la phase gazeuse. Ce vecteur est modélisé par la vitesse de compression 𝑈_𝐶 dans l’Équation (18). Le terme « compression » renvoie au rôle de cette vitesse à réduire la zone de l’interface vers une plus petite (Klostermann et al., 2012). Le terme de compression ne doit pas biaiser la solution en aucune façon et ne devrait introduire le flux de α dans la direction normale à l’interface. Le terme artificiel de compression est utile pour maintenir une surface libre bien définie dans des écoulements très diffus. La vitesse de compression UC est définie comme suit :

𝑈_𝐶 = 𝐶_𝛼|𝑈| ^∇𝛼 |∇𝛼|

Équation (23)

avec Cα, un coefficient modifiable par l’utilisateur, et ∇α / |∇α|, le vecteur unitaire normal à

l’interface entre les phases. Dans OpenFOAM, la vitesse de compression artificielle est donc contrôlée par le paramètre Cα. Ce paramètre intervient dans le dictionnaire fvSolution du répertoire system des simulations. Le paramètre est renseigné au niveau de la configuration choisie pour la résolution de l’équation sur la fraction volumique notée alpha.water dans OpenFOAM (cf. Figure 48).

Le rôle et l’impact du paramètre Cα ont été décrits par de nombreux travaux (Afshar, 2010; Piro & Maki, 2013; Wardle & Weller, 2013). Aucune vitesse de compression artificielle n’est employée si la valeur du paramètre Cα est égale à zéro. Pour des valeurs de Cα supérieures à zéro, des vitesses de compression correspondantes sont générées au niveau de l’interface (cf. Figure 49). Dans les cas où Cα vaut 0, le profil de l’interface est estompé et diffusé. Bien que la dispersion de l’interface et la diffusion numérique puissent être diminuées en augmentant le niveau de maillage (raffinement), les ondulations de surface perdent leur forme et disparaissent. Cela conduit à des profils de surface libre sans ondulations de surface. En augmentant la valeur de Cα à 1, la diffusion de l’interface est réduite sensiblement. En somme, l’augmentation ou la diminution de Cα accentuent les erreurs de calcul de la courbure de l’interface ou sur sa diffusion (Deshpande et al., 2012). Des précautions particulières doivent être ainsi prises lorsque Cα prend des valeurs différentes de 0.

Figure 48 : Coefficient Cα (cAlpha) intervenant dans le dictionnaire fvSolution d’OpenFOAM.

Figure 49 : Illustration du calcul du coefficient de compression Cα intervenant dans le dictionnaire fvSolution d’OpenFOAM (Piro & Maki, 2013).

Les performances du solveur interFoam ont été évaluées par une série de tests (Deshpande et al., 2012). Les résultats mettent en avant le fait que le solveur interFoam assure une très bonne conservation de la masse, engendre des erreurs de transport convenables, et présente des performances intéressantes notamment dans le cas d’écoulements dominés par les forces inertielles (Deshpande et al., 2012; Recoquillon, 2013).



La méthode Volume of Fluid est choisie pour représenter la surface libre car elle est particulièrement efficace pour localiser l’interface entre le fluide et l’air. On s’attend néanmoins à devoir gérer d’éventuelles instabilités au niveau de la surface libre du fait de la compression artificielle présente dans le code numérique.

3.6. Mode liser le comportement rhe ologique d’un fluide a seuil

Dans OpenFOAM, les solveurs de calcul sont liés à une librairie de modèles de viscosité (viscosityModels) permettant de reproduire le comportement de fluide non-newtonien. Les modèles relient la viscosité au taux de cisaillement γ̇. L’utilisateur spécifie le modèle qu’il souhaite utiliser dans le dictionnaire transportProperties situé dans le répertoire constant des simulations. Les différents modèles non-newtoniens disponibles dans OpenFOAM sont introduits ici dans un premier temps avant de s’intéresser plus en détail au modèle d’Herschel-Bulkley et à sa régularisation.