La régularisation bi-visqueuse appliquée au fluide de type Herschel-Bulkley

La méthode Volume of Fluid est choisie pour représenter la surface libre car elle est particulièrement efficace pour localiser l’interface entre le fluide et l’air. On s’attend néanmoins à devoir gérer d’éventuelles instabilités au niveau de la surface libre du fait de la compression artificielle présente dans le code numérique.

3.6. Mode liser le comportement rhe ologique d’un fluide a seuil

Dans OpenFOAM, les solveurs de calcul sont liés à une librairie de modèles de viscosité (viscosityModels) permettant de reproduire le comportement de fluide non-newtonien. Les modèles relient la viscosité au taux de cisaillement γ̇. L’utilisateur spécifie le modèle qu’il souhaite utiliser dans le dictionnaire transportProperties situé dans le répertoire constant des simulations. Les différents modèles non-newtoniens disponibles dans OpenFOAM sont introduits ici dans un premier temps avant de s’intéresser plus en détail au modèle d’Herschel-Bulkley et à sa régularisation.

3.6.1. Les différents modèles rhéologiques proposés dans OpenFOAM

L’utilisateur a le choix entre cinq modèles de viscosité (cf. Tableau 5), en plus du modèle d’Herschel-Bulkley présenté au paragraphe suivant. Les modèles de viscosité sont stockés dans le répertoire source d’OpenFOAM selon le chemin d’accès suivant :

src/transportModels/incompressible/viscosityModels

Tableau 5 : Modèles de viscosité disponibles dans le code de base d’OpenFOAM.

Nom du modèle Formulation mathématique

powerLaw 𝜂 = 𝑘𝛾̇𝑛−1 𝜂_𝑚𝑖𝑛≤ 𝜂 ≤ 𝜂_𝑚𝑎𝑥 BirdCarreau 𝜂 = 𝜂_∞+ (𝜂₀− 𝜂_∞)[1 + (𝑘𝛾̇)𝑎](𝑛−1)/𝑎 CrossPowerLaw 𝜂 = 𝜂_∞+ ^{𝜂0− 𝜂∞} 1 + (𝑚𝛾̇)𝑛 Casson 𝜂 = (√^𝜏0 𝛾̇+ √𝑚)2 𝜂_𝑚𝑖𝑛≤ 𝜂 ≤ 𝜂_𝑚𝑎𝑥

strainRateFunction Définie par l’utilisateur

3.6.2. La régularisation bi-visqueuse appliquée au fluide de type Herschel-Bulkley

Le champ d’application de ces travaux concerne les fluides à seuil dont la rhéologie est décrite notamment par le modèle d’Herschel-Bulkley. Le taux de cisaillement subi par le matériau est relié à la contrainte par une relation non linéaire (Herschel & Bulkley, 1926) :

𝑻 = 2 [ ^𝜏𝐶

√|𝐼𝐼𝐷|^{+ 𝐾(√|𝐼𝐼𝐷|)}

𝑛−1] 𝑫 Équation (24)

avec 𝑻, le déviateur des contraintes, 𝑫, le tenseur des taux de déformations, τc (Pa) la contrainte de cisaillement seuil, K (Pa.sn) la consistance, n l’indice d’écoulement et 𝐼𝐼_𝐷, le second invariant du tenseur des taux de déformations. Ce modèle combine le comportement d’un fluide de Bingham et les fluides en loi puissance dans une seule et unique relation. Dans le code d’OpenFOAM, il n’est pas possible d’utiliser un modèle comprenant une telle discontinuité (seuil d’écoulement) dans la description de son comportement. En effet, le code de calcul peut résoudre les équations de mécanique des fluides mais pas celles correspondant à la mécanique des solides purs (Greenshields, 2015). Le code ne peut donc pas pleinement considérer le régime solide rigide quand la contrainte de cisaillement est inférieure à la contrainte seuil τc. Pour contourner cette difficulté numérique, OpenFOAM propose de décrire la rhéologie du fluide à seuil à l’aide d’un modèle régularisé : le modèle bi-visqueux (Tanner & Milthorpe, 1983). Cette régularisation est implémentée dans le code de la manière suivante :

𝜂 = 𝑚𝑖𝑛 (𝜂₀,^𝜏𝐶 𝛾̇ ^{+ 𝐾. 𝛾̇}

𝑛−1) Équation (25)

avec η (Pa.s) la viscosité dynamique, η0 (Pa.s) la viscosité de régularisation (viscosité à cisaillement nul), γ̇ (s-1) le taux de cisaillement, τc (Pa) la contrainte de cisaillement seuil, K (Pa.sn, m²/s) la consistance, et n l’indice d’écoulement (ou indice de puissance). La Figure 50 présente le paramétrage du modèle dans le dictionnaire transportProperties d’OpenFOAM.

Figure 50 : Exemple de paramétrage du modèle rhéologique HerschelBulkley dans le dictionnaire

transportProperties d’OpenFOAM (Greenshields, 2017).

La régularisation du modèle bi-visqueux fonctionne de la manière suivante (cf. Figure 51). Le code considère une valeur de viscosité très haute (η0), mais finie, quand le fluide agit comme un solide rigide, c’est-à-dire quand la contrainte de cisaillement est inférieure à la contrainte seuil τc. Au-delà (τ > τc), la viscosité dans la maille de calcul est déterminée par une loi de puissance tel que décrit dans l’Équation (25). Plus précisément, à chaque pas de temps et à chaque point de l’espace, le code détermine la valeur de la viscosité à partir de la loi d’Herschel-Bulkley, exprimée sous une unité de viscosité (membre de droite de la fonction min de l’Équation (25)). La viscosité qui sera retenue dans la cellule élémentaire de calcul correspond à la valeur minimum entre cette viscosité et la valeur de la viscosité de régularisation η0. Si la valeur retenue par le code correspond au terme calculé par la loi d’Herschel-Bulkley, cela signifie que le fluide est dans un état liquide. A l’inverse, le modèle retient la valeur de la viscosité de régularisation η0 dans la cellule de calcul. Cela signifie alors que le fluide est dans un état rigide à cet endroit de l’espace.

Figure 51 : Représentation de la régularisation du modèle bi-visqueux employée dans le code de calcul d’OpenFOAM.

La littérature ne fournit pas de valeur typique à renseigner pour la viscosité de régularisation η0. A titre d’exemple, pour un fluide de Bingham (fluide non-newtonien à seuil présentant un comportement newtonien linéaire au-delà du seuil), η0 devrait être au moins 1 000 fois plus grand que la viscosité dans la partie cisaillée liquide (O'Donovan & Tanner, 1984). La définition de la viscosité de régularisation est assez arbitraire et n’est absolument pas basée sur des mesures réelles du seuil de contrainte (Rudert & Schwarze, 2009).



Le calcul de la viscosité pour le modèle d’Herschel-Bulkley régularisé est contenu dans le code dans le dictionnaire HerschelBulkley.C, situé dans l’arborescence à l’emplacement suivant :

src/transportModels/incompressible/viscosityModels/HerschelBulkley

La Figure 52 illustre la partie du code du dictionnaire HerschelBulkley.C où le calcul de la viscosité est effectué selon la contrainte seuil (tau0_), la consistance (k_), l’indice d’écoulement (n_) et la viscosité de régularisation (nu0_). Dans le code de calcul, la viscosité est calculée en sélectionnant la valeur minimum entre la viscosité de régularisation (nu0_) et la viscosité apparente calculée par ailleurs à partir de l’expression d’Herschel-Bulkley.

Le calcul de la viscosité fait appel à la quantité strainRate() représentant le taux de cisaillement γ̇. Son expression est donnée par l’Équation (26) :

𝛾̇ = √2𝑑𝑖𝑗𝑑_𝑖𝑗 Équation (26)

Le taux de cisaillement est déterminé dans le code de calcul à partir de l’expression (cf. Figure 53) incluse dans le dictionnaire viscosityModel.C situé dans l’arborescence à l’emplacement suivant :

src/transportModels/incompressible/viscosityModels/viscosityModel

Figure 53 : Extrait du dictionnaire viscosityModel.C d’OpenFOAM permettant le calcul du taux de cisaillement.



La régularisation bi-visqueuse sera investiguée afin de déterminer le paramétrage à adopter afin de reproduire la rhéologie d’un fluide non-newtonien à seuil tout en rendant les résultats numériques indépendants du paramétrage numérique. L’analyse permettra notamment d’évaluer la capacité de cette régularisation à identifier la position des zones rigides et liquides au sein de l’écoulement.